状态和状态空间表达式Read课件

系统解耦(1/3)4.4系统解耦耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。在一个MIMO系统中,每一个输入都受多个输出的影响,每个输出受多个输入的控制,当一个控制量的变化必然会波及其它量的变化,这种现象称为耦合。所谓解耦,就是消除系统间耦合关联作用。如果一个输入量只受一个输出量影响,即一个输出仅受一个输入控制,这样的系统称为无耦合系统。系统解耦(1/3)4.4系统解耦1系统解耦(2/3)在许多工程问题中,特别是过程控制中,解耦控制有着重要的意义。目前许多在航天,发电,化工等方面的控制系统难于投入运行,不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题的研究十分重要。若一个m维输入u和一个m维输出y的动力学系统,其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式矩阵则称该多变量系统是解耦的。系统解耦(2/3)在许多工程问题中,特别是过程控制中,解耦控2系统解耦(3/3)实现解耦有两种方法:补偿器解耦状态反馈解耦。前者方法简单,但将使系统维数增加,后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的条件比补偿器解耦相对苛刻。系统解耦(3/3)实现解耦有两种方法:3补偿器解耦(1/7)4.4.1补偿器解耦图4-3所示的为前馈补偿器解耦框图。图4-3中,Gp(s)为原系统的传递函数阵,Gc(s)为补偿的传递函数矩阵,即解耦控制器。图4-3

串联解耦方框图补偿器解耦(1/7)4.4.1补偿器解耦4补偿器解耦(2/7)根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向通路的传递函数为G(s)=Gp(s)Gc(s)其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I,那么系统的闭环传递函数为:W(s)=[I+Gp(s)Gc(s)]-1Gp(s)Gc(s)用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有[I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s)即Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)补偿器解耦(2/7)根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补5补偿器解耦(3/7)分别用

，[I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此,I-W(s)也为对角线矩阵。故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。补偿器解耦(3/7)分别用，[I-W6补偿器解耦(4/7)—例6-8例4-8已知系统如图4-4所示,图4-4串联解耦及补偿器方框图补偿器解耦(4/7)—例6-8例4-8已知系统如图4-4所7补偿器解耦(5/7)试设计一补偿器Gc(s),使闭环系统的传递函数矩阵为:解

由图4-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为:补偿器解耦(5/7)试设计一补偿器Gc(s),使闭环系统的传8补偿器解耦(6/7)根据补偿器Gc(s)的求解公式,有补偿器解耦(6/7)根据补偿器Gc(s)的求解公式,有9补偿器解耦(7/7)基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近似实现。补偿器解耦(7/7)基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图10状态反馈解耦(1/16)4.4.2状态反馈解耦所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反馈律,构造状态反馈闭环控制系统,使得闭环系统的输入输出间实现解耦。状态反馈解耦问题的模型描述为:对给定的被控系统的状态空间模型为其中u,y为m维向量,x为n维向量,A为n×n方阵,B为n×m矩阵,C为m×n矩阵。状态反馈解耦(1/16)4.4.2状态反馈解耦11状态反馈解耦(2/16)对上述系统,构造如下状态反馈控制律:u=-Kx+Hv使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。这里K是一个m×n的非奇异的反馈矩阵,H是一个m×m的实常数非奇异矩阵,v是m维的外部输入向量。我们通常将v作为系统的输入,y作为系统输出时,求使该系统解耦的K和H的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。状态反馈解耦(2/16)对上述系统,构造如下状态反馈控制律:12状态反馈解耦(3/16)如图4-5所示的为用状态反馈实现解耦的系统。图4-5用状态反馈实现解耦状态反馈解耦(3/16)如图4-5所示的为用状态反馈实现解耦13状态反馈解耦(4/16)将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上,可得如下闭环控制系统状态空间模型状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K与H,从而使闭环系统是解耦的。对于该解耦控制问题,有如下完全状态反馈解耦控制律存在的条件。状态反馈解耦(4/16)将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模14状态反馈解耦(5/14)状态反馈解耦条件对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦系统实现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩阵E是非奇异矩阵。其中是系统输出矩阵C中第i行向量,是从0到n-1之间的某一正整数,且li

应该满足不等式的一个最小j,状态反馈解耦(5/14)状态反馈解耦条件15状态反馈解耦(6/16)即li的定义为:该解耦条件的证明思路为:根据上述定义的li,定义状态反馈解耦(6/16)即li的定义为:16状态反馈解耦(7/16)若选取反馈矩阵K和前馈矩阵H如下至此,把所得的代入闭环系统状态空间模型,得:状态反馈解耦(7/16)若选取反馈矩阵K和前馈矩阵H如下17状态反馈解耦(8/16)则可以证明系统闭环传递函数矩阵为状态反馈解耦(8/16)则可以证明系统闭环传递函数矩阵为18状态反馈解耦(9/16)可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解耦系统。另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统为具有积分型的解耦系统。下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。状态反馈解耦(9/16)可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其19例4-9

设系统的状态空间模型为：试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。解

给定系统的传递函数矩阵为状态反馈解耦(10/14)例4-9设系统的状态空间模型为：状态反馈解耦(10/14)20状态反馈解耦(11/16)因此,系统存在耦合现象。系统的状态图如图4-6所示。状态反馈解耦(11/16)因此,系统存在耦合现象。21状态反馈解耦(12/14)图4-6

开环系统方框图状态反馈解耦(12/14)图4-6开环系统方框图22状态反馈解耦(13/16)由C1B=[10],C2B=[01]知l1=l2=0此时有状态反馈解耦(13/16)由23状态反馈解耦(14/16)由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。因此,状态反馈解耦矩阵为状态反馈解耦(14/16)由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦24状态反馈解耦(15/16)此时闭环系统状态方程和输出方程为：状态反馈解耦(15/16)此时闭环系统状态方程和输出方程为：25状态反馈解耦(15/16)其传递函数为则系统变成两个互相无耦合的子系统,如图4-7所示。状态反馈解耦(15/16)其传递函数为26状态反馈解耦(16/16)图4-7解耦后的系统框图另一方面,从式(4-34)可以看出,积分型解耦系统的闭环极点全是零,显然系统是不稳定的,所以这种解耦方法不令人满意。不过可以对完全解耦的每个SISO子系统单独设计一个状态反馈律将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位置上去。状态反馈解耦(16/16)图4-7解耦后的系统框图27系统解耦(1/3)4.4系统解耦耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。在一个MIMO系统中,每一个输入都受多个输出的影响,每个输出受多个输入的控制,当一个控制量的变化必然会波及其它量的变化,这种现象称为耦合。所谓解耦,就是消除系统间耦合关联作用。如果一个输入量只受一个输出量影响,即一个输出仅受一个输入控制,这样的系统称为无耦合系统。系统解耦(1/3)4.4系统解耦28系统解耦(2/3)在许多工程问题中,特别是过程控制中,解耦控制有着重要的意义。目前许多在航天,发电,化工等方面的控制系统难于投入运行,不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题的研究十分重要。若一个m维输入u和一个m维输出y的动力学系统,其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式矩阵则称该多变量系统是解耦的。系统解耦(2/3)在许多工程问题中,特别是过程控制中,解耦控29系统解耦(3/3)实现解耦有两种方法:补偿器解耦状态反馈解耦。前者方法简单,但将使系统维数增加,后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的条件比补偿器解耦相对苛刻。系统解耦(3/3)实现解耦有两种方法:30补偿器解耦(1/7)4.4.1补偿器解耦图4-3所示的为前馈补偿器解耦框图。图4-3中,Gp(s)为原系统的传递函数阵,Gc(s)为补偿的传递函数矩阵,即解耦控制器。图4-3

串联解耦方框图补偿器解耦(1/7)4.4.1补偿器解耦31补偿器解耦(2/7)根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向通路的传递函数为G(s)=Gp(s)Gc(s)其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I,那么系统的闭环传递函数为:W(s)=[I+Gp(s)Gc(s)]-1Gp(s)Gc(s)用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有[I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s)即Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)补偿器解耦(2/7)根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补32补偿器解耦(3/7)分别用

，[I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此,I-W(s)也为对角线矩阵。故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。补偿器解耦(3/7)分别用，[I-W33补偿器解耦(4/7)—例6-8例4-8已知系统如图4-4所示,图4-4串联解耦及补偿器方框图补偿器解耦(4/7)—例6-8例4-8已知系统如图4-4所34补偿器解耦(5/7)试设计一补偿器Gc(s),使闭环系统的传递函数矩阵为:解

由图4-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为:补偿器解耦(5/7)试设计一补偿器Gc(s),使闭环系统的传35补偿器解耦(6/7)根据补偿器Gc(s)的求解公式,有补偿器解耦(6/7)根据补偿器Gc(s)的求解公式,有36补偿器解耦(7/7)基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近似实现。补偿器解耦(7/7)基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图37状态反馈解耦(1/16)4.4.2状态反馈解耦所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反馈律,构造状态反馈闭环控制系统,使得闭环系统的输入输出间实现解耦。状态反馈解耦问题的模型描述为:对给定的被控系统的状态空间模型为其中u,y为m维向量,x为n维向量,A为n×n方阵,B为n×m矩阵,C为m×n矩阵。状态反馈解耦(1/16)4.4.2状态反馈解耦38状态反馈解耦(2/16)对上述系统,构造如下状态反馈控制律:u=-Kx+Hv使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。这里K是一个m×n的非奇异的反馈矩阵,H是一个m×m的实常数非奇异矩阵,v是m维的外部输入向量。我们通常将v作为系统的输入,y作为系统输出时,求使该系统解耦的K和H的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。状态反馈解耦(2/16)对上述系统,构造如下状态反馈控制律:39状态反馈解耦(3/16)如图4-5所示的为用状态反馈实现解耦的系统。图4-5用状态反馈实现解耦状态反馈解耦(3/16)如图4-5所示的为用状态反馈实现解耦40状态反馈解耦(4/16)将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上,可得如下闭环控制系统状态空间模型状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K与H,从而使闭环系统是解耦的。对于该解耦控制问题,有如下完全状态反馈解耦控制律存在的条件。状态反馈解耦(4/16)将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模41状态反馈解耦(5/14)状态反馈解耦条件对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦系统实现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩阵E是非奇异矩阵。其中是系统输出矩阵C中第i行向量,是从0到n-1之间的某一正整数,且li

应该满足不等式的一个最小j,状态反馈解耦(5/14)状态反馈解耦条件42状态反馈解耦(6/16)即li的定义为:该解耦条件的证明思路为:根据上述定义的li,定义状态反馈解耦(6/16)即li的定义为:43状态反馈解耦(7/16)若选取反馈矩阵K和前馈矩阵H如下至此,把所得的代入闭环系统状态空间模型,得:状态反馈解耦(7/16)若选取反馈矩阵K和前馈矩阵H如下44状态反馈解耦(8/16)则可以证明系统闭环传递函数矩阵为状态反馈解耦(8/16)则可以证明系统闭环传递函数矩阵为45状态反馈解耦(9/16)可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解耦系统。另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统为具有积分型的解耦系统。下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。状态反馈解耦(9/16)可以看