立体几何动点问题

2E,F,且EF=2,C1D2E,F,且EF=2,C1D1 FC.如图，正方体ABCD-ABiCD的棱长为1,线段BQ上有两个动点则下列结论中错误的个数是()♦♦AC±BE. , 2(2)若P为AAi上的一点，则P到平面BEF的距离为2.(3)三棱锥A-BEF的体积为定值.(4)在空间与DD,AC,BiCi都相交的直线有无数条(5)过CC的中点与直线AC所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条..如图，正方体ABCDAB1cl口〔的棱长为1,线段B[D1上有两个动点E,F,且EF上4，则下列结论中错误的是()2A.ACBE B.EF//平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.AAEF与△BEF的面积相等3.关于图中的正方体ABCDABD,下列说法正确的有：①P点在线段BD上运动，棱锥PAB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，二面角PB〔D1A不变;③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面截正方体得到一个六边形(如图所示) ，则截面在平面AB5与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。4、如图，正方体ABCDA^CR的棱长为1,p为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).

10CQ—①当 2时,S为四边形1CQ—②当2时,S不为等腰梯形“ 3 - 1CQ CiR —③当4时,S与CiD1的交点r满足3；3CQ1④当4 时,S为六边形J6⑤当CQ1时,S的面积为2CC16.如右图，在正方体HBCD-431Go中，纶出下列四个蒯圆①点P在直线BC,上运动时，三棱镂乂-RPC的体租不变；”②点P在直线BC】上运动时，直线AP与平面所成角的大小不变：③点P在苴战BG上运前时，二百角尸一月鼻一匚的大小不受；④点M是平，面44C闽上到点口和J版高相等的点，则点M的轨迹是过点乌的直线.其由真如尊的编号是 写出所有真命题的编号)1.(本小题满分13分)如图所示，在三棱锥人BCD中，侧面ABDACD＞全等的直角三角形， AD是公共的斜边，且AD=,BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形(1)当正视图方向与向量CO的方向相同时，画出三棱锥 A-BCD的三视图；(要求标出尺寸)(2)求二面角B-AC-D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与平面BCD成30°角若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.解（1）三棱锥A—BCD的三视图如右图所示:ABC的法向量为ni=(x,y,z)，（2）解设平面械犯图IBCABC的法向量为ni=(x,y,z)，（2）解设平面械犯图IBC则由ni，一知:AC同理由ni±知:1),AC一=—x—z=0,可取ni=(i,i,BCni•一=—x+y=0,同理，可求得平面ACD同理，可求得平面ACD的一个法向量为ni=(i,0，—i).•.cos〈ni,n•.cos〈ni,n2>6即二面角B-AC-D的余弦值为3.㈣解量T* ACJl-则x=H>0.?=L 山H）* BO的T法向量为（0,0,1）.要使ED与率而BCD成30”角，由图或式与口的夹角为60O5DEIJE 1.ffiVA n>=|]n|=nnstfi0o==2t2解得宣=2*惭以CE=lL故城已AC上存在一荔显使於与平面ECD或8.用，且当醯二1时,ED。平面BCD成W角. 5分2.（本小题满分i2分）如图所示，四棱锥P—ABCD勺底面是边长为i的正方形,PACDPA=i,PD=^2,E为PD上一点，PE=2ED（I）求证：PA平面ABCD（n）求二面角D-AOE的余弦值； （出）在侧棱PC上是否存在一点F,使得BFP

6 —nAC0x—ACAEnnAE02yBFnBFBCCFBFn6 —nAC0x—ACAEnnAE02yBFnBFBCCFBFn分)如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正垂直，M、Q分别为PC,AD的中点.求证：PA〃平面MBD；求：二面角PBDA的余弦值;(3)试问：在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN平面PQB?若存在，试指出点(3)N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由(D证明：连接AC交BD于点O,连接MO,由正方形ABCD知O为AC的中点，QM为PC的MO〃PA,QMO平面MBD,PA平面MBD,PA〃平面MBD(2)二面角MO〃PA,QMO平面MBD,PA平面MBD,PA〃平面MBD(2)二面角PBDA的余弦值为近7(3)解，存在点N,当N为AB中点时，平面PQB平面PNC四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点,BQNC.由(1)知，PQ平面ABCD,NC平面ABCD,PQNC,又BQPQQ,NC平面PQBQNC平面PCN平面PQB4.(12分)点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角DACB.(1)求EOF的大小；(1)求EOF的大小；(2)求二面角EOFA的余弦值.f!解法一：(1)如图，过点E作EG!AC垂足为G,过点F作FHLAC垂足为H,则EGFHJ2,因为二面角D—AC-B为直二面角， EF2EG2FH22EGFHcos90oGH(2回2(72)2屏2012.又在EOF中，OEOF2,EOF120°.•..6分TOC\o"1-5"\h\zOE2OF2EF22222(23)2 1EOF120°.•..6分cosEOF -2OEOF 222 2(2)过点G作GM唯直于FO的延长线于点M连EM•••二面角D—AC-B为直二面角，，平面DAC_平面BAC交线为ACEMLOF又•••EGLAC，EGL平面BAC/GMLOE由三垂线定理，得EMLOFEMG就是二面角EOFA的平面角.…..9在RtEGMK EGM90°,EG尤，GM2oe1,・•.tanEMGEGGM2,COSEMG所以，二面角，人、… .3EOFA的余弦值为—o3•••..12解法二:(1)建立如图所示的直角坐标系O-xyz,uuir则OE(1,uuirOF(0,2,0).分unrurnrcosOE,OFunrurnrOEOF

nunu-utuH

|OE||OF|EOF120°.…..6分ur(2)设平面OEF勺法向量为n1(1,y,z).iruuu irunr由nOE0,n1OF0,得又因为平面AOF勺法向量为UTUUcosn〔，n2LTUUuU1nu|n〔IfI且根据方向判断,0,zuu,_33(0,0,1),•..10…..11分面角EOF(此题改编自《选修2-1》P118,UTn1(1,0,.…..9分A又因为平面AOF勺法向量为UTUUcosn〔，n2LTUUuU1nu|n〔IfI且根据方向判断,0,zuu,_33(0,0,1),•..10…..11分面角EOF(此题改编自《选修2-1》P118,UTn1(1,0,.…..9分A的大小为余弦为.…..12分312)5、平面内两正方形ABCD与ABEF，点M,N分别在对角线AC,FB上，且AM:MCFN:NB,沿AB折起，使得DAF90o,若AM:MC2:3,在IIZ c线段AB上是否存在一点G,使平面MGNCBEGPA=k•AB且二面角E-BDC的平面角大于30,求k的取值范围.设I)空间直角坐标系设AB=a则A(0,0,0),Ra,0,0), q2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而DC=(2a,0,0),皆知点A,B,C,D,F的坐标分别为EBF=(0,2a,0),(D)如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为:DC•BF=0,故DCBF设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故_b _bEa,a,l.从而BE=0,a,_.DC,BE=0,故DCBE.由此得CD面BEF(n)设E在xOy平面上的投影为G过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

从而 EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA=k•AB得P(0,0,ka),Ekaa,a,,G(a,a,0).2设H(x,y,0),则GH=(x-a,y-a,0), BD=(-a,2a,0), kaa,a,,G(a,a,0).2即x-2y=-a①又因BH=(x,a,y,0),且BH与BD的方向相同，故土上=—y,即a2aTOC\o"1-5"\h\z3 4 2 12x+y=2a ②