2023届陕西省宝鸡市金台区高三上学期10月教学质量检测数学（文）试题（解析版）

PAGE宝鸡市金台区2022-2023学年高三上学期10月教学质量检测文科数学2022.10注意事项：1.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。2.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A．B．C．D．2．已知，其中，是实数，是虚数单位，则（

）A． B． C． D．3．已知向量的夹角为，若，，则（

）A． B． C． D．4．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（

）A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多5.在约束条件下，则目标函数的最大值为（

）A． B． C．5D．76．已知抛物线的焦点为.若直线与交于两点，且，则（

）A．3 B．4C．5 D．67．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（

）A．25 B．45 C．55 D．758．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A．B．C．D．9.在正方体中，则下列判断错误的是（

）A．平面 B．平面平面C．直线过的垂心 D．平面与平面夹角为10．已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（

）A．2 B．3 C．6 D．1011．记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（

）A． B． C． D．12．半径为的球面上有四点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球体积的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记为等差数列的前项和．若，则公差．14.有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．15.经过四个点，，，中三个点的圆的方程为.16.若是偶函数，则．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，（1）若,求；（2）求证：．18.（12分）如图，在三棱锥中，，，，为棱上一点，，棱的中点在平面上的射影在线段上.证明：平面；求三棱锥的体积．19.（12分）应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”。近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表：月份2022年5月2022年6月2022年7月2022年8月2022年9月月份代码：12345销售量：4556646872（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.）（2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数）参考数据：，，，参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.20.（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，,,中恰有两点在上.（1）求的方程；（2）两点在上，且直线,的斜率互为相反数，直线,分别与直线交于,两点，证明：.21.（12分）设.（1）证明：；（2）若，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线与直线交于两点，且，求直线的斜率．23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知，，，且.（1）求证：；（2）若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.2023届高三教学质量检测文科数学答案2022.10一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B考察集合运算及数集的认知解：由，所以，由，所以；2．B考察复数的认知解:由题意得，所以，得，.3．C考察向量数量级的运算解:，4．B考察统计的基本知识解:设样本中女生有人，则男生有人，设女生身高频率分布直方图中的组距为由频率分布直方图的性质可得，所以，所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A错误；层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C错误；样本中层次的学生数为，样本中层次的学生数为，由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D错，女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确；5．C考察线性规划可行域及对目标函数斜率公式的认知解:做出可行域，设直线与的交点为点，直线与的交点为点，直线与的交点为点.可知，随着直线向上平移而减小，随着直线向下平移而增大，所以在顶点取得最大值.直线与的交点为点，由，得，即，代入目标函数，即可得最大值.6．C考察抛物线的定义及运算解:将代入，解得，则、，所以，解得，则.7．A考察循环结构的特征解:；；；；；．所以8．D考察通过函数性质识图的能力解:由图可知，在上的图象关于轴对称，所以在上为偶函数，故应先判断各选项中函数的奇偶性.对A，，为偶函数，故A选项的函数为其定义域内的偶函数.同理：对C、D选项的均为其定义域内的偶函数，只有选项的为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.又，对A选项：，所以排除A.而由图可知，对C选项：，，故排除C.9．D正方体中的平行与垂直判断解：由，得平面,所以，同理可得，所以平面，故A正确；由∥∥，得平面∥平面，故B正确；因为三棱锥为正三棱锥（或由两两垂直）得直线过的垂心，故C正确；连接交于O点，连接，由，得为平面与平面的夹角，因为，故D错误．10．B考察等比数列的基本运算解:设等比数列的首项为，公比为q，由题意可得，即，整理得，解得或（舍去），，所以.11．C考察相关三角函数的极值特征解:因为，其中，则，令可得，且不是函数的极值点，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，函数的极小值点为，极大值点为，所以，函数的极大值为，因为函数单调递减，故，，因此，.12．D考察长方体与外接球组合体基本特征及与均值不等式的结合解：设，，，因为直线两两垂直，若，，的面积之和为72，所以，有，以、、为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，所以，．因为所以，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，此球体积的最小值为．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.本题考查了等差数列的定义，改编自2022年乙卷13题，属于基础题。【答案】-2【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：-2.14.本题考查了互斥事件和古典概型的概率计算公式，属于基础题．从5件产品任取3件的取法共有10种，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法为7种，利用古典概型的概率计算公式即可得出。【答案】

15.本题考查利用待定系数法求圆的方程，属于基础题.【答案】x2+y2方法一：设圆的一般方程为，分别将三点的坐标代入圆的方程，求出即可；或者设圆的标准方程为，分别将三点的坐标代入圆的方程，求出即可.推荐方法二：数形结合根据题目中点的特殊性直接写出圆方程【解答】解：设过，0,2，三点的圆的方程为，则解得，即圆的方程为故答案为（其余略）16.本题考查了函数的奇偶性，指数，对数的基本运算，属于中档题。【答案】【解析】（解法一）函数为偶函数，故，即，化简得，即，整理得，所以，即．

（解法一）函数为偶函数，故，即，化简得，即，整理得，所以，即．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（12分）本题考查了正弦定理，余弦定理公式的基本应用，属于简单题。【答案】解：若a=2b,c236=a2+a=436证明：因为，，所以，根据正弦定理得，，8分又，所以，即12分18.（12分）本题主要考查棱锥的体积和线面垂直的判定，属于中档题.根据空间中直线与平面垂直的判定定理求证即可；利用三棱锥的体积公式求解即可.证明：取AB的中点H，连接CH，，为AH的中点，又E为AC的中点，，，又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上，平面PAB，2分又平面PAB平面PDE，平面PDE4分平面PDE，又平面PDE因为点E为棱AC的中点，，6分又平面ABC，平面ABC，又在中，由得，8分

12分19.（12分）（1）根据所给数据算出相关系数即可；（2）根据所给数据和公式算出答案即可.解：（1）由表中数据可得，所以,又，，3分所以.5分所以月份代码与销售量（单位:辆）具有较高的线性相关程度，可用线性回归模型拟合销售量与月份代码之间的关系.6分（2）由表中数据可得，则，所以，9分令，可得(辆)，故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为辆.12分20.（12分）（1）分类讨论并利用待定系数法可求出结果；（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，然后利用两点间的距离公式可证等式成立.联立方程组求出的坐标，再根据两点间的距离公式证明是解题关键.解：(1)因为圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，所以椭圆方程为标准方程，设为，若两点在上，则有，不合题意；1分若两点在椭圆上，则无解；3分若两点在椭圆上，则，解得，5分所以椭圆的方程为.6分(2)直线，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，8分设，，联立消去并整理得，10分则，即，同理可得，12分所以，，所以，，联立，得，则，联立，得，则，所以，，，，所以，所以，所以.12分21.（12分）（1）设，，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．解：（1）由题意可设，有，1分所以在（0，1）单减，所以，即，3分设，，4分，则有，单调递增，得，所以得证；6分（2）由（1）可知时，成立，则当时，设，8分则，，单调递增，则，10分①若，，单调递减，则有，此时不符合题意；②若，，，所以有唯一零点，可记为，则，，此时单调递减，有，则不符合题意；综上可知，即的取值范围为.12分（10分）（