经济学专业数学二元函数的极值配套课件

23十二月20221第四节二元函数的极值

第六章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函数的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法三、小结与思考练习18十二月20221第四节二元函数的极值第六章(23十二月20222一、二元函数的极值定义若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有18十二月20222一、二元函数的极值定义若函数则23十二月20223说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值

但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故定理1(必要条件)18十二月20223说明:使偏导数都为0的点称为驻23十二月20224时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.若函数定理2(充分条件)18十二月20224时,具有极值的某邻域内具有一阶和二23十二月2022518十二月2022523十二月20226提示:第一步求驻点.第二步判别.时,具有极值1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.18十二月20226提示:第一步求驻点.第二步判别23十二月20227提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.18十二月20227提示:首先考察函数z在三角形区域D内23十二月20228

从上例可以看出，计算函数f(x,y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.

在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.说明:18十二月20228从上例可以看出，计算函数f(x23十二月2022918十二月2022923十二月20221018十二月20221023十二月20221118十二月20221123十二月20221218十二月20221223十二月202213二、条件极值与拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化18十二月202213二、条件极值与拉格朗日乘数法极值问23十二月202214如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有方法2拉格朗日乘数法.18十二月202214如方法1所述,则问题等价于一23十二月202215引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.18十二月202215引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗23十二月202216拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件推广18十二月202216拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和23十二月202217解设所求平面的方程为18十二月202217解设所求平面的方程为23十二月202218解方程组18十二月202218解方程组23十二月20221918十二月20221923十二月202220提示：目标函数：约束条件：构造拉格朗日函数：18十二月202220提示：目标函数：约束条件：构造拉格23十二月202221内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法18十二月202221内容小结1.函数的极值问题第一步23十二月202222设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.3.函数的最值问题第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)18十二月202222设拉格朗日函数如求二元函数下的极值23十二月202223习题6－4课外练习已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC

面积S△最大.思考练习解答提示:设C

点坐标为(x,y),则18十二月202223习题6－4课外练习已知平面上两定点23十二月202224设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与

E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停18十二月202224设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面23十二月202225第四节二元函数的极值

第六章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函数的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法三、小结与思考练习18十二月20221第四节二元函数的极值第六章(23十二月202226一、二元函数的极值定义若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有18十二月20222一、二元函数的极值定义若函数则23十二月202227说明:

使偏导数都为0的点称为驻点

.例如,函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值

但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故定理1(必要条件)18十二月20223说明:使偏导数都为0的点称为驻23十二月202228时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.若函数定理2(充分条件)18十二月20224时,具有极值的某邻域内具有一阶和二23十二月20222918十二月2022523十二月202230提示:第一步求驻点.第二步判别.时,具有极值1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定

,需另行讨论.18十二月20226提示:第一步求驻点.第二步判别23十二月202231提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.18十二月20227提示:首先考察函数z在三角形区域D内23十二月202232

从上例可以看出，计算函数f(x,y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂.

在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.说明:18十二月20228从上例可以看出，计算函数f(x23十二月20223318十二月2022923十二月20223418十二月20221023十二月20223518十二月20221123十二月20223618十二月20221223十二月202237二、条件极值与拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化18十二月202213二、条件极值与拉格朗日乘数法极值问23十二月202238如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有方法2拉格朗日乘数法.18十二月202214如方法1所述,则问题等价于一23十二月202239引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.18十二月202215引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗23十二月202240拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,

求函数下的极值.在条件推广18十二月202216拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和23十二月202241解设所求平面的方程为18十二月202217解设所求平面的方程为23十二月202242解方程组18十二月202218解方程组23十二月20224318十二月20221923十二月202244提示：目标函数：约束条件：构造拉格朗日函数：18十二月202220提示：目标函数：约束条件：构造拉格23十二月202245内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法18十二月202221内容小结1.函数的极值问题第一步23十二月202246设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.3.函数的最值问题第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)18十二月202222设拉格朗日函数如求二元函数下的极值23十二月202247习题6－4