十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题14平面解析几何解答题（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题14平面解析几何解答题◎真题汇总1.【2022年全国甲卷理科20】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点。(p,0),过尸的直线交C于N两点.当直线垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD,N。与C的另一个交点分别为4,B,记直线MMAB的倾斜角分别为a,仇当a—£取得最大值时，求直线48的方程.【答案】⑴y2=4x；(2MB：x=V2y+4.【解析】(1)抛物线的准线为》=一枭当与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时|MF|=p+/3,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x：2 2 2 2⑵设(华,旷2)，4(春)3)，8(华,丫4)，直线MN:x=my+1,x=my+1由｛2/可得V—4my-4=(h△>0,力及=-4，y=TOC\o"1-5"\h\zn_-2_ 4 ,一_ 4由斜率公式可得“MN一王另一诉，-适W-诉，1~r t4直线“。：1：=9少+2,代入抛物线方程可得了2一丝纥2.丫-8=0,y\ yi所以'3=2、2，同理可得以=2%，所以々4A=，一=---=皿削人ABy3+y4 2(yi+y2) 2乂因为直线A/M48的倾斜角分别为a,0,所以以8=匕邛=警=詈，若要使a一夕最大，则36(0；),

( q、_tana-tan/?_k设^mn=2kab=2k>0,则an(" p)l+tanotann l+2k2当且仅当:=2k即k=当时,等号成立,所以当a-0最大时，kAB=y,设直线48:x=V^y+n,代入抛物线方程可得y2一4VZy-4n=0.A>°，y3y4=—4n=4yly2=-16.所以n=4>所以直线4B:x=四丫+4.2.(2022年全国乙卷理科20］已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过4(0,-2),B -1)两点.(1)求E的方程;(2)设过点P(l,-2)的直线交E于A1,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段48交于点7,点〃满足用T=777.证明：直线gV过定点.【答案】(1《+==14 3(2)(0,-2)【解析】⑴解:设椭圆E的方程为7nx2+ny2=l,过4(0,-2),B(，-1),(4n=1 1 1则2m+n=「解得m=mn=-14所以椭圆E的方程为：3+9=L(2)4(0,—2),呜,一1),所以AB:y+2=：x,①若过点P(l,—2)的直线斜率不存在，直线x=l.代入3 4可得M(l,竺)，N(l,-竺)，代入方程y=9x-2,可得3 3 ，T(V6+3,竽)，由而5=用得到"(2乃+5,竽).求得HN方程:y=(2-^)x-2,过点(0,-2).②若过点P(l,-2)的直线斜率存在，设kx-y-(k+2)=0,Mgy)N(x2,y2).联立•kx-y-(k4-2)=联立•x2/_ ，得(342+4)/—6k(2+k)x+3k(k+4)=0,T+T=13 4

可得，丫-6k(2+k)%可得，丫-6k(2+k)%1+“2-3k2+4_3k(4+k).X/2=年屋y2y2=-8(2+k)3k2+44(4+软-2k2)，3k2+4且%。2+皿%=初<*){y—y\y=lx-2，可得7(等+3,%),"(3月+6-xvyi).可求得此时HN:y_y2=一二:二：,.(*一不),将(0,-2),代入整理得2(*1+x2)-6(yi+y2)+xty2+x2yi-3yly2-12=0,将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立，综上，可得直线〃N过定点(0,-2).3.【2022年新高考1卷21】已知点4(2,1)在双曲线C。一若=l(a>1)上，直线/交C于尸，Q两点,直线4P,AQ的斜率之和为0.(1)求/的斜率；(2)若tan^PAQ=2应，求仆P4Q的面积.【答案】(1)一1:(2苧【解析】(1)因为点4(2,1)在双曲线C:捺一9=1®>1)上，所以去一七=1，解得。2=2,即双曲线蟾一y2=i易知直线/的斜率存在,设，:y=kx+m,P(xi，yi),<2(x2，y2)>Iy=kx+mx2?«可得，(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,y-y=1所以，X]+x2=—2%:,必万2=鬻7△=16m2k2+4(2m2+2)(2fc2-l)>0=>m2-l+2k2>0.所以由%p+々bp=0可得，+ 0,即(巧—2)(kx2+m—1)+(x2—2)(kxj+m—1)=0,即2kxi%2+(m—1—2k)(勺+x2)—4(m—1)=0,所以2kxi\+(m-1-2k)(-赛g)-4(m-1)=0,化简得，8k2+4k—4+4m(fc+1)=0,BP(k+l)(2k—14-m)=0,所以〃=—1或m=1-2k,当?n=l-2k时，直线=for+m=k(x-2)+1过点A(2,l),与题意不符，舍去，故k=—1.(2)不妨设直线P4,PB的倾斜角为a,0(a<3)，因为k4P+kBP=0,所以a+夕=tt,因为tanz_PAQ=2企，所以tan(0—a)=2企，即tan2a=-2注，即心匕112a-tana-V2=0»解得tana=V2»于是，直线PAy=企0-2)+1，直线PB:y=-迎(％-2)+1，(y=V2(x—2)+1q联立｛ x29可得，^x24-2(1-2V2)x+10-4V2=0,(万一y=1 2因为方程有一个根为2,所以4=w它，力=容，同理可得，XQ=W在，yQ=普三所以PQ：x+y-?=0,|PQ|=g,点4到直线PQ的距离d="一斗=也,V23故4P4Q的面积为gxgx乎=竽.4.[2022年新高考2卷21】已知双曲线C:J-^|=l(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±岳.(1)求C的方程；(2)过尸的直线与C的两条渐近线分别交于/,8两点，点P(xi，y。,Q(X2,丫2)在C上，且/>*2>o,y】>0•过P且斜率为-g的直线与过Q且斜率为百的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①A/在AB上；②PQII4B；®\MA\=\MB\.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.(答案】(1)/—彳=1(2)见解析【解析】(1)右焦点为F(2,0),.,.c=2「.,渐近线方程为y=±gx，.,.，=百，.•♦b=V^a，；"2=(12+82=4£12=4,/.a=1»:・b=V3.，C的方程为：X2—y=1；(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线4B的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线48的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点户,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而X1=犯，已知不符；总之，直线4B的斜率存在且不为零.设直线4B的斜率为k,直线4B方程为y=k(x-2),则条件①M在4B上，等价于％)=fc(x0-2)<=>ky0=k2(x0-2)；两渐近线的方程合并为3x2一y2=0,联立消去歹并化简整理得：(人2-3)/_4k2x+4/=0设4(%3/3)，8(刀3，丫4)，线段中点为N(XN，yN)，则Xn=1JjN=k(*N-2)=设M(xo，yo),则条件③|4M|=|BM]等价于(沏-X3M+(7o-乃)2=(XO-X4)2+Oo-74)2.移项并利用平方差公式整理得：(刀3一刀4)[2&-(工3+X4)]+。3-丫4)[2丫0-仇+74)]=。，[2x0-(%3+*4)]+ [2y()一仇+丫4)]=。，即Xo-Xn+k(y0-yN)=0,*3*4即与+ky0=黑；由题意知直线PM的斜率为-0，直线QM的斜率为百，由-y0=-V3(xj-x0),y2~yo=V3(x2-«o)>•'•yi-y2=-V3(Xi+x2-2x0),所以直线PQ的斜率m=上四=一百3+xl2x。),Xl-X2 X1-X2直线PM:y=-V3(x-x0)+Vo,即y=Vo+V3x0-V3x,代入双曲线的方程3x2—y2—3=0,HP(V3x4-y)(V3x—y)=3中，得：(%+V3x0)[2V3x-(y0+V3x0)]=3,解得p的横坐标：修=点(曷菰+%+叵。)，同理：血=一右(号菰+y。-•e•/—=当(离1+y。)，/+X2-2X。=一品一X。，，条件②PQ〃A8等价于m=k=ky°=3xQ9综上所述：条件①M在48上，等价于Ay。=k2（x0一2）；条件②PQ〃AB等价于幻。=3%0；条件③=|BM|等价于X。+ky0=黑；选①②推③：由①②解得：x0=念p，・*0+ky（）=4x0=段牙，③成立；选①③推②：由①③解得：Xo=^ky0-.".ky0=3x0,②成立；选②③推①：由②③解得：x0=ky0= 3,二x（）-2=（）3，ky0=/c2（x0-2）,...①成立.5.【2021年全国甲卷理科20】抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=■L交C于P,Q两点，且0P10Q.已知点M（2,0）,且OM与/相切.（1）求C,0M的方程；（2）设AqAz,A是C上的三个点，直线为4，&&均与。M相切.判断直线&&与。"的位置关系，并说明理由.【答案】（1）抛物线=》,。M方程为（%-2）2+y=1：（2）相切，理由见解析（1）依题意设抛物线=2px（p>O）,P（l,yo）,Q（l,-y0）,VOPLOQ,：.IOPOQ=l-yi=l-2p=o,：.2p=1,所以抛物线C的方程为y2=x,M（O,2）,0M与x=1相切，所以半径为1,所以。M的方程为（x-2产+y=1；⑵设41（刀1%）,42（*2，,2），43（*3，力）若4遇2斜率不存在，则4遇2方程为X=1或X=3.若4遇2方程为x=l，根据对称性不妨设4式1,1）,则过41与圆M相切的另一条直线方程为y=1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在仆，不合题意；

若4遇2方程为x=3,根据对称性不妨设冬（3,百）,冬（3,-西）,则过久与圆M相切的直线4送3为y-V3=y（x-3）.义匕4通3=7?=y;y=>1,丁3=°，1JXj—X3>1+3^3Vo+y3Sx3=0,43（0,0）,此时直线Ai/dzA关于X轴对称，所以直线%人与圆M相切；若宜线4遇2,443,4243斜率均存在，则岫出=念，心饱=念，kA2A3=含，所以直线乙&方程为y-yi=焉（X一占），整理得x-（%+y2）y+yty2=0,同理直线4遇3的方程为X-（力+力方+力y3=。，直线4243的方程为x-（j2+ +y2y3=o,•••4遇2与圆M相切，•••总热=1整理得（y：_1）及+2yly2+3-员=0,4143与圆M相切，同理（y：-l）y1+2力力+3-*=0所以力，%为方程（7：-l）y2+2yly+3-y1=0的两根,M到直线%人的距离为:|2+|2+加力1Vi+（yz+y3）212+守I

y”i2yl*一我）_,M+11 _yj±l_1J（y?-i）2+4yiy,+1 ，所以直线/A与圆M相切；综上若直线4142,4遇3与圆M相切，则直线乙名与圆M相切..（2021年新高考1卷21】在平面直角坐标系xOy中，己知点匕（一g,0）、尸?（旧，0）|MF/—|M&|=2,点M的轨迹为C.（1）求C的方程：（2）设点7在直线x 上，过T的两条直线分别交C于4、B两点和P,Q两点，且|T4|•|TB|=|TP|•|TQ|,求直线4B的斜率与直线PQ的斜率之和.【答案】(1)x2-^=l(x>1):(2)0.因为IMF/-\MF2\=2<]FtF2\=2V17,所以，轨迹C是以点片、尸2为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为摄一，=l(a>0,b>0),则2a=2,可得a=l,b=x/17-a2=4.所以，轨迹C的方程为/—气=1(*21)：(2)设点r(T，t)，若过点r的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线c无公共点，不妨直线4B的方程为y-t=ki(x-1),即y=kxx+t联立｛'="途+t-]自，消去y并整理可得(用_16)/+fct(2t-Qx+(t-|ki)2+16=0,16x2-y2=16 2设点4(Xi，%)、B(x2,y2)-则且由韦达定理可得不+*=$等*1必=华学，勺-1b && fc|-16所以，|T4|•|TB|=(1+硝•|x1-i|.|x2-i|=(l+好)•(七小一空+；)=(入器:噎,设直线PQ的斜率为优，同理可得|TP|•|7Q|=史+3纥嘎,第2—因为|74|•|TB|=|TP|•|TQ|,即丝兽譬11=丝岩等11,整理可得好=心，勺一16 勺一16 *即(九1-fc2)(fci+幺2)=0，显然的一岫不0,故比1+k2=0.因此，直线4B与直线PQ的斜率之和为0..【2021年全国乙卷理科21】已知抛物线=2py(p>0)的焦点为F,且尸与圆M:必+(y+4>=1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，P4PB是C的两条切线，4,B是切点，求APAB面积的最大值.【答案】(I)p=2；(2)20V5.⑴抛物线C的焦点为尸(0片)，|FM|="4,所以，F与圆M:/+(y+4尸=1上点的距离的最小值为5+4-1=4,解得p=2：(2)抛物线C的方程为二=4y,即y=9,对该函数求导得y'=3

设点4（*i，yi）、8（必,力）、Pg，%），直线P4的方程为y-力=-*1）,即，=当—Vi，即X[X—2yi-2y=0,同理可知，直线PB的方程为小才一2及一2旷=0，由于点P为这两条直线的公共点，则｛£°一之1一铃=：所以，点4、B的坐标满足方程々万一2y-2yo=0,所以，宜线4B的方程为3工一2丁-2yo=0,xox-2y-2yo=O联立｛ x2 ，可得/一2x()x+4y()=0,y=i由韦达定理可得+刀2=2xo，XiX2=4y0,所以，|4B|=]1+（门）27.1+孙）2-4口孙=Jl+（.A.J就-16%=J（就+4）（北一4%），|X??4—=^(xg-4y0)I,|X??4—=^(xg-4y0)I,JW+4所以，S^PAB=\\AB\'d= +4)(xg-4y0)-"x^-4y0=l-（y0+4）2-4yo=-九-12yo-15=-（y0+6）2+21.由已知可得一5Wyo 3,所以，当y（）=-5时，△P48的面积取最大值：x20*=20遥.8.[2021年新高考2卷20]已知椭圆C的方程为盘+£=l（a>b>0）,右焦点为卜（我,0）,且离心率为今（1）求椭圆C的方程；（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线炉+产二垓泛〉。）相切.证明：“，n,尸三点共线的充要条件是|MN|=V3.【答案】（1）m+、2=1;（2）证明见解析.（1）由题意，椭圆半焦距c= 且e=£=在，所以a=a3又=/-c?=1,所以椭圆方程为J+y2=1；（2）由（1）得，曲线为"+"=1（%>0）,当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意；当直线MN的斜率存在时，设”（必,%）,A/（x2,y2）,必要性：若A/,N,尸三点共线，可设直线MN:y=比（无一鱼）即kx-y=0，

由直线MN与曲线x?+y2=i（x>o）相切可得媛^=1,解得k=±l,联立｛'/土（:—2）可得4炉一6鱼x+3=0，所以必+3=苧.1不=：，t+y-所以|MN|=V1T1-7（Xj+x2）2-4Xi-x2=V3,所以必要性成立；充分性：设直线MN:y=kx+b,（kb<0）即kx-y+b=0,由直线MN与曲线"+y2=l（x>0）相切可得，空=1，所以=fc2+1,y=kx+b联立｛士+2_］可得（1+3k2）x2+6kbx+362-3=0,qy-所以与+为2所以与+为2=一箴，/X23b2-3l+3kz，所以|MN|=Vl+fc2- +小）2-4*i•无2=V1+fc2J（-tS?）2-4-tStI\J Av«3fC XiOft=E.播=6化简得3(d-1)2=0,所以k=±l,所以"匕_t或｛:-所以直线MN:y=x-«或，=-x+V2-所以直线MN过点尸(短,0),M,N,尸三点共线，充分性成立：所以M,M尸三点共线的充要条件是|MN|=6.9.【2020年全国1卷理科20】已知A8分别为椭圆E：+y2=1(a>l)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB=8,P为直线x=6上的动点，处与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CO过定点.【答案】(I)^+y2=1;(2)证明详见解析.【解析】(1)依据题意作出如下图象：

由椭圆方程E』+y2=l(a>1)可得：A(-a,0),F(a,0),G(0,1)：.AG=(a,1),GB=(a,-1)AG-GB=a2-1=8,a2=9二椭圆方程为：9+y2=i(2)证明：设P(6,y0),则直线4P的方程为：y=^gy(x+3),BP：y=^(x+3)(Jy2=i联立直线4P的方程与椭圆方程可得：19， ,整理得：L(x+3)(y02+9)x2+6y02x+9y02-81=0,解得：x=-3或x=一”。；了yo+9将x：2^^代入直线y=,*+3)可得：、=卅所以点c的坐标为电等，元%).同理可得：点D的坐标为(曹z+；,,02：：1)二直线CD二直线CD的方程为：y-(寿)6<P(々IQ)>0?+91%2+J/_3yo2_3)fo2+273yo2.3—yQ2+1J>02+9yQ2+1整理可得："黄整理可得："黄7=喘得r_3y。J、_ 8y0 /_3y。z_3,y。2+lJ—6(3-y02)Vy02+l整理得:X——v_4yo,2yo_4yoy~3(3-yo2)y02-3-3(3-y整理得:X——故直线CD过定点值，0)10.【2020年全国2卷理科19】已知椭圆Ci：，+5=l(a>6>0)的右焦点尸与抛物线C2的焦点重合，G的中心与C2的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交G于48两点，交C2于C,。两点，且|C刈三必稣(1)求G的离心率；(2)设M是G与C2的公共点，若|MF|=5,求G与C2的标准方程.【答案】⑴ (2)6：＞+♦=1,C2.y2=12x./ 3oZ7【解析】(1)VF(c,O),4B_Lx轴且与椭圆Cl相交于4、B两点，则直线4B的方程为*=c,抛物线Q的方程为y2=4cx,联立，解得｛y；；%,•••|C0=4c,v\CD\=^\AB\,即4c=誓，2ft2=3ac,即2cz+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,v0<e<1,解得e=因此，椭圆G的离心率为g；(2)由(1)知a=2c,b=V3c,椭圆C1的方程为白+J-=1,(y2=4cx/,V_ 消去y并整理得3/+16cx-12c2=o,/+k=l解得*=gc或x=-6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|=gc+c=£=5,解得c=3.因此，曲线G的标准方程为最+三=1,3oL1曲线C2的标准方程为y2=12x.11.【2020年全国3卷理科20】已知椭圆。卷+9=1(0<m<5)的离心率为苧，A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线无=6上，且|BP|=|BQ|,BPLBQ,求AAPQ的面积.【答案】⑴1+与=1；⑵I【解析】⑴.•・嘘+m=】(0<m<5)a=5,b—in»根据离心率e=5=Jl-g)Z=Jl-⑥*=手，解得m=3或m=-*舍)，：・C的方程为：美+7^1=1.25(I)哈誓=】(2)不妨设P,Q在x轴上方•••点P在C上，点Q在直线x=6上，且18Pl=|BQ|,BPIBQ,过点P作x轴垂线，交点为M,设x=6与无轴交点为N根据题意画出图形，如图•••\BP\=BP±BQ,/.PMB=^QNB=90°.又丫4PBM+"BN=90°,4BQN+"BN=90°,/.PBM=乙BQN,根据三角形全等条件“A4S”，可得：△PMB=△BNQ,

4+吆=1,25 25・・・8(5,0),\PM\=\BN\=6-5=1,设P点为QpJp),可得P点纵坐标为%=1,将其代入总+嗒=1，可得：+=1，解得：芍＞=3或勺＞=-3,•••夕点为(3,1)或(-3,1),①当尸点为(3,1)时，故|MB|=5-3=2,•••APMB=△BNQ,\MB\=\NQ\=2,可得：。点为(6,2),画出图象，如图v4(v4(-5,0),Q(6,2),可求得直线可求得直线4Q的直线方程为：2x-lly+10=0,根据点到直线距离公式可得P根据点到直线距离公式可得P到直线4Q的距离为:12x3-11x1+101_⑸_V5&Z+1M—―7125―T'根据两点间距离公式可得：I4QI=7(6+5)2+(2-0)2=5V5,•••△4PQ面积为：1x5V5xy=1；②当P点为(一3,1)时，故|MB|=5+3=8,•••△PMB=△BNQ、\MB\=\NQ\=8,

可得：Q点为(6,8),画出图象，如图•./•./»(-5,0).(?(6,8),可求得直线4Q的直线方程为：8x-lly+40=0,根据点到直线距离公式可得P到直线4Q的距离为：d=阳训=悬=篇,根据两点间距离公式可得：|4Q|=J(6+5尸+(8—0)2=V185,；.△4PQ面积为：xV185x^===综上所述，A4PQ面积为：|.12.【2020年山东卷22】已知椭圆C：5+£=l(a>b>0)的离心率为浮，且过点/(2,1).(1)求C的方程：(2)点M,N在C上,且ZMJ_4N,ADA.MN,。为垂足.证明：存在定点0,使得|£>。|为定值.【答案】(1)9+9=1：(2)详见解析.【解析】(cV3———A4--=1，解得：=6,Z)2=C?=3,故椭圆方程为：+y=1.a2=b2+c2(2)设点M(ayi),N(孙,〃)•因为：.AMAN=0,即(必-2)(必-2)+(y1-1)(力-D=。,①当直线MN的斜率存在时，设方程为y=A尤+m.如图1.代入椭圆方程消去y并整理得：(1+2k2)7+4kmx+2m2-6=0,4km 2m4km 2m2-6②,根据力=kxi+m,y2=kx2+m,代入①整理可得：(k2+l)xtx2+(km-k—2)(xi+x2)+(m-l)z+4=0将②代入，(k?+1) +(km-k-2)(- +(m-I)2+4=0,整理化简得(2k+3m+l)(2k+m-1)=0,(2,1)不在直线MN上，/.2k+m-1*0,/.2k+3m+1=0,k丰T,于是MN的方程为y=k(x-1)-i,所以直线过定点直线过定点Eg—。当直线MN的斜率不存在时，可得NQq,-%),如图2.代入(必—2)(x2—2)+(%—1)(J2-1)=。得(刀1-27+1-兴=0,结合M+4=1，解得必=2(舍),必s，此时直线MN过点E仔,-1),由于XE为定值，且为直角三角形，4E为斜边，所以中点。满足|QD|为定值(4E长度的一号J(2—§2+(i+§2=竽).由于4(2,1),£6,一9,故由中点坐标公式可得QGt).故存在点QG*)，使得Q0|为定值.13.【2020年海南卷21】已知椭圆C：盘+营=l(a>b>0)过点M(2,3),点4为其左顶点，且4W的斜率为上，(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.【答案】(I)^+^=1；(2)12.【解析】(1)由题意可知直线4W的方程为：y-3=i(x-2),即x-2y=-4.当y=0时，解得无=一4,所以〃=4,72V2 aq椭圆。3+左=1(。>>>0)过点"(2,3),可得白+/=1，解得从=12.所以C的方程：^+^=1.16 12(2)设与直线平行的直线方程为：x-2y=m,如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为M此时的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m与椭圆方程三+《=1，Io1Z可得：3(m+2y尸+4y2=48，化简可得：16y2+I2my+3m2-48=0,所以4=144m2—4x16(3m2—48)=0,即zn2=64,解得m=±8,与力”距离比较远的直线方程：x-2y=8,直线力A/方程为：x-2y=—4*点N到直线4例的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d=/=手，V1+4 5由两点之间距离公式可得|AM|=J（2+43+32=3V5.所以的面积的最大值：|x3V5x^=18.2 514.【2019年新课标3理科21】已知曲线C：、=苧，。为直线上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4,B.（1）证明：直线过定点；（2）若以E（0,|）为圆心的圆与直线48相切，且切点为线段48的中点，求四边形NO8E的面积.【答案】解：⑴证明：产号的导数为y=x,设切点/（XI.yi）»B（X21”），即有yi=3-,”=专-，切线04的方程为y-yi=xi（x-xi）,即为y=xix-§-,切线08的方程为y=X2X-孥，联立两切线方程可得X=*（XI+X2），11可得y=g]X2=-2，BfJX\X2=~1,直线48的方程为广•¥=¥=P（X-XI）,/xl~x2即为y-=±（xi+x2）（x-Xi）,1 1可化为歹=5（X|+X2）x+亍一，1可得48恒过定点（0,-）；1⑵法一：设直线Z8的方程为尸去+参由（1）可得Xl+X2=2〃，X\X2=-1♦1AB中点、H（k,由H为切点可得E到直线AB的距离即为I印，i2 可得2■劣=+（1（2_2）2,Vl+k2解得左=0或%=土1，即有直线48的方程为产械尸±x+*,由尸今可得M8|=2，四边形4D8E的面积为SysaS"8Q=5x2X(1+2)=3：由y=±x+*,可得|J8|=11+1・，4+4=4,TOC\o"1-5"\h\zI |l+；+；l r-此时。(±1,-4)到直线"的距离为一2二/；4 V25 I151E(0,1)到直线AB的距离为二=V2,2 V2则四边形/£>8E的面积为S^8F+SAm)=9x4X(V2+V2)=4近；法二：一. 1(2)由(I)得直线的方程为尸戊+/.(1y=tx4-«由」, ,可得f-2a-1=0.Ur于是xi+x2=2i,x\x2=-1,y\-^y2=t(xi+x2)+1=2於+1,\AB\=V14-t2\x1—x2\=V1+t2x7(^14-X2)2—4xxx2=2(？+l).设小，液分别为点c，E到直线的距离，则力=gT，，d2=因此，四边形/O8E的面积S=#181(4+必)=(内3)Vt2+1.设M为线段48的中点，则A/(f,-+»由于E16,而E》=(t,产—2),几与向量(1,r)平行，所以/+(?-2)Z=0.解得，=0或/=±1.当f=0时，5=3：当，=±1时，S=4y/2.综上，四边形ZO8E的面枳为3或4口.15.【2019年全国新课标2理科21】已知点4(-2,0),B(2,0),动点A/(x,y)满足直线4W与8"的斜率之积为-宏记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于尸，。两点，点P在第一象限，尸E_Lx轴，垂足为E,连结0£并延长交C于点G.(/)证明：△尸。G是直角三角形；

(")求△尸QG面积的最大值.TOC\o"1-5"\h\zy y 1【答案】解：(1)由题意得」三＞方=一个x+2x—2 2、 %2y2整理得曲线C的方程：—+—=i(yH0)，4 2・・・曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆;(2)(/)设尸(xo»yo),(2)(/)设尸(xo»yo),则。(-xo,-泗),E(xo»0)>G(XG，”)，；・直线0E的方程为：y= (x—Xq),/y2与二+—=1联立消去y,4L得(2X()2+y02)x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0,・・一・・一XqXq2x02+y02••v_(8-y02)x0■,Xc-^7W,=嬴(几-&)=yo=嬴(几-&)=yo(4-xo2-yo2)

2x02+y02kk一yc-y。PGxG-xQ2x(/+y2x(/+y(/xo(8-yp2)2xo2+yo2~xo4y0-y0x02-y03-2y0x02-y03

Bx0-x0y02-2x03-x0y02yp(4-3x02-2y02)'2x0(4-y02-x02)'把沏2+2y02=4代入上式,得kpG=y0(4-342-4+勺2)

2x0(4-y02-4+2y02)得kpG=-yox2xo22x0y02yo.•.^pX^G=^X(-^)=-|,J.PQLPG,故4pog为直角三角形:1(")Sapqg=2|PE|x(而一々)=抄0(%G+Xo)1 r=2yoi(8-y1 r=2yoi(8-y()2)xo2x02+y02+Xo)1=2^0X8-丫02+2勺2+%2

2x02+y02丫0通(4+m2)2x02+y02丫0勺(飞2+2丫02+勺2)2x02+y022yoXo(X()2+yo2)2x02+y028丫0飞(而2+y02)(2xo2+yo2)(^o2+2yo2)8。0与3+勺丫03)2x04+2y04+5x02y02令r=包+犯，则r22,y。xoc 8t85心。6=菸值=五用利用“对号”函数/(f)=2/+*在［2,+8)的单调性可知,/(f)>4+^-=^(f=2时取等号)，:,SapqgW导=等(此时殉=y°=故△P0G面积的最大值为日.316.【2019年新课标1理科19】已知抛物线C：产=3x的焦点为凡斜率为5的直线/与C的交点为4,B,与X轴的交点为尸.(1)若必尸|+|8用=4,求/的方程;(2)若筋=3而，求必叫.0 , 9,9q【答案】解：(1)设直线/的方程为(x-r),将其代入抛物线炉=3x得：-x2-(j+3)x+*2=0,设N(XI•yi),B(X2，”)，则xi+x2=—=27+:，(J)»xiX2=Pg),T4a 7由抛物线的定义可得：3目+区匀=xi+x2+p=2f+g+*=4,解得/=金，直线/的方程为尸全一看.TT 3 0(2)若4P=3PB,则川=-3”，A-Cxi-/)=-3x1(x2-/).化简得xi=-3x2+47,③由®G)③)解得Xl=3,X2=3，17.【2018年新课标1理科19】设椭圆C万+产=1的右焦点为尸，过户的直线/与。交于45两点,点用的坐标为(2,0).(1)当/与x轴垂直时，求直线4W的方程；(2)设O为坐标原点，证明：/OMA=/OMB.【答案】解：(1)c=V2-1=1,：.F(1,0),・・•/与戈轴垂直，•*»x=1»(x=l直线ZA1的方程为y=-堂%+鱼，y->J2,证明：(2)当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=Oa,当/与x轴垂直时，OM为的垂直平分线，:.NOM4=NOMB,当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=k(x-1),4W0,

A(xi>yi),B(X2>y2)，贝！X2<V2,直线林1, 的斜率之和为而8之和为日“+h/6=卢7+^^，Xj-L42一4由y\=由y\=kx\-k.”=履2-%得kMA+kMB=2kxi冷―3k(%]+》2)+4k(X1-2)(x2-2)-x2将y=Z(x-1)代入万+.，=1可得(23+1)x2-4右+23-2=0,X1X2=2k2-22k2X1X2=2k2-22k2+l)/.2kx\xz-?>k(xi+x2)+4%=12k2+1(41-4A-12/+82+软)=0从而kMa+kMB=0,故M4, 的倾斜角互补,:.NOMA=NOMB,综上NOA/4=NOM8.18.【2018年新课标2理科19】设抛物线C：”=4x的焦点为尸，过尸且斜率为&(%>0)的直线/与C交于4,8两点，恒8|=8.(1)求/的方程；(2)求过点48且与C的准线相切的圆的方程.【答案】解：(1)方法一：抛物线C：炉=4x的焦点为尸(1,0),设直线AB的方程为：y—k(.x-1).设4(xi.yi),B(X2.”)，则Hkf"1)，整理得：k^x2-2(A^+2)x+kI—0,则xi+x2=2:产),xix2—1,(yN=4x KL由M8|=xi+x2+p=2()j2)+2=8,解得：F=l,则k=1,・・・直线/的方程y=x-1；方法二：抛物线C：V=4x的焦点为尸(1,0),设直线的倾斜角为。，由抛物线的弦长公式切8|=^^=耳患=8,解得：sin20=1).,.0= 则直线的斜率&=1,二直线/的方程y=x-1：(2)由(1)可得48的中点坐标为。(3,2),则直线/8的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即夕=-x+5,

设所求圆的圆心坐标为(设所求圆的圆心坐标为(xo,yo),>o=一冗+5(x0+l)2=(y9-y1)2+16,解得:假:;或｛J：：4因此，所求圆的方程为(x-3)2+(厂2)2=16或(x-11)2+(/6)2=144.XV19.【2018年新课标3理科20】已知斜率为左的直线/与椭圆C：丁++=1交于4,B两点,线段4B的4 3中点为A/(1,m)(m>0).(1)证明：k<-^；— — T —> T T T(2)设尸为C的右焦点，P为C上一点，且FP+F4+FB=0.证明：\FA\,\FP\,成等差数列，并求该数列的公差.【答案】解：(1)设/(xi，yi),B(%2，”)，•.•线段48的中点为M(1,m),.\xi4-x2=2»y]-^-y2=2m将4,8代入椭圆C：丁+-7=1中，可得4 3(3x1+4yl=12(3x|+4y|=12'两式相减可得，3(X|+X2)(XI-X2)+4 -y2)=0，即6(xi-X2)+8〃？Cy\->2)=0，・1力一九6 3--A- —————1—Xi-x2Xi-x2点M(1,w)在椭圆内，即］+三-<1'(m>0)，解得0<加，卜=一磊〈J①(2)由题意得尸(1,0),设P(X3,>3)，则Xi-1+工2-1+、3-1=0,y\^y2~^y3=0f由（1）及题设得X3=3-（X|+X2）=1»”=-（yi+”）=-2m<0.又点P在C上，所以"尸本从而2（1，一『，|FP|=1.于是向I=［（必-1）2+y〔2=〔（毛-1尸+3（1-平）=2-争.同理丽|=2-今.所以|以|+|FB|=4— +小）=3,^.\FA\+\FB\=2\FP\,即向I，|而I，|而|成等差数列.设改数列的公差为d,则2同=||向一向||=||xi-x2|=,J(Xi+g)2—4句0②将m=*（弋入①得k=-\.所以/的方程为y=-x+春代入。的方程，并整理得7/-14x+*=0.故X|+X2=2,XIX2=龙，代入②解得14=与引.3V2To/nJ所以该数列的公差为凄一或-格■.2820.【2017年新课标1理科20］已知椭圆C：=1（a>6>0）,四点尸1（20.【2017年新课标1理科20］已知椭圆C：V3 V31.y),P4(1,y)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线/不经过尸2点且与C相交于48两点.若直线尸乂与直线尸28的斜率的和为-1，证明：/过定点.【答案】解：(1)根据椭圆的对称性，小(-1，—).P4(1,—)两点必在椭圆C上,又尸4的横坐标为1，•,.椭圆必不过尸I(1，1)，V3 V3：.Pi(0,1),P3(-1,—).P4(1.y)三点在椭圆。上.

把P2(0，1)，。3(-I，—">代入椭圆C,得：条=】2 ,解得<?=4,62=1,滔+中=1比2・•・椭圆。的方程为二+/=|.4证明：(2)①当斜率不存在时，设/：x=m,A(/n,%),B(m,-%),直线PiA与直线PiB的斜率的和为-1,・・kp2A+kp?B-2__・・kp2A+kp?B-2__一~rn--1,解得用=2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.②当斜率存在时，设/：j=Ax+/,(fHl),A(xi,川)，B(X2,”)，联立一中n.整理，得(1+4乒)f+8出+4Z2-4=0,上+4y4—4=0—8kt4t2—43+皿=中砂X1X2=中值’则kpA+kpB= +y2T=X2(k%i+t)—X2+xi(-2+t)一勺2 2X1x2 xlx28触2一弘-8立2+8kt_if?_ 87(1) —一 -4(t+l)(t-l)-乂E'l+4k2：.t=-2k-\,此时△=-64鼠存在k,使得△>()成立，...直线/的方程为y=fcv-2k-1,当x=2时，y=-1,；•/过定点(2,-1).21.【2017年新课标2理科20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：—+/=1±,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足通=夜血.(1)求点尸的轨迹方程；(2)设点0在直线x=-3上，且小•而=1.证明：过点P且垂直于00的直线/过C的左焦点足【答案】解：(1)设A/(xo,jo),由题意可得N(xo,0),设P(x,y),由点P满足启=&N》.可得(x-xo»y')=y/2(0,yo),可得x-xo=O,y=V2yo.即有xo=x,yo=y=»/ / 2代入椭圆方程万+)2=1,可得万+/=1，即有点P的轨迹方程为圆/+炉=2；(2)证明：设0(-3,m),P(V2cosa»V2sina)»(0^a<2n),TTOP*PQ=1,可得(V^cosa,V2sina)•(-3—V2cosa,m—x/2sina)=1,即为.3v2cosa-2cos2a+V2,??sina-2sin2a=1,当a=0时，上式不成立，则0VaV2iT,解得加=3(1建，。5。),'2smecr- 3(1+V2cosa)即有。(・3,—__-)，72smax2椭圆了+炉=1的左焦点尸(-L0),- - l r- 3(1+V2cosa)由P尸・0Q=(-1-V2cosa,-V2sina)•(-3,——7= )yjlsina=3-t-3V2cosa-3(1+V2cosa)=0.可得过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点F.另解：设0(-3,z),P(m,〃)，由OP・PQ=1,可得(%,"),(-3-m,/-«)=-3>m-m2+nt-h2=1,又P在圆上，可得"，+〃2=2,即有加=3+3m,又椭圆的左焦点尸(-1,0),—>—>PF*0Q=(-1- -〃)•(-3,7)=3+36-nt=3+3加-3-3m=0,则而_L私可得过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点E22.【2017年新课标3理科20】已知抛物线C：y2=2x,过点(2,0)的直线/交C于4,8两点，圆”是以线段为直径的圆.(1)证明：坐标原点。在圆M上；(2)设圆M过点尸(4,-2),求直线/与圆M的方程.

【答案】解：方法一：证明：(1)当直线/的斜率不存在时，则Z(2,2),B(2,-2),贝|J&=(2,2),0B=(2,-2),贝IJ&•防=0,：.OA±OB,则坐标原点。在圆M上；当直线/的斜率存在，设直线/的方程夕=左(x-2),A(xi,yi),B匕=华一2),整理得：32一(43+2)x+4F=0,\yL=2x则xix2=4,4x\x2=y\2y22=(巾/)2>由yiy2V0,则1yly2=-4,——>由。4・0B=xiX2+yiy2=0，则小，&,则坐标原点。在圆M上，综上可知：坐标原点。在圆M上；方法二：设直线，的方程》=吁2,{1—272V+22—2x，整理得：炉-2机厂4=0,A(xi,yi),B(X2,则歹必=-4,TT贝|J(yiy2)2=4xix2，则xix2=4,则O/bOB=xix2+yiy2=0，则小，品，则坐标原点。在圆M上，.•.坐标原点O在圆M上；4k2+2 2(2)由(1)可知：X\X2=4,Xl+X2=―T2—，y\y2=-4,-> T圆M过点尸(4,-2),则4P=(4-xi，-2-y\),BP=(4-x2,->T由4P・8P=0,则(4-xi)(4-x2)+(-2-yi)(-2-”)=0,整理得：k^+k-2—0,解得：k=-2,k=l,当％=-2时，直线/的方程为夕=-2x+4,9则Xl+X2=2，JltF2=-1，则M(―,—»半径为r—IMPI=J(4—,)2+(—2+4)2=1(X2，”)，-2-J2)，854-・••圆M的方程(x-1)2(X2，”)，-2-J2)，854-当直线斜率无=1时，直线/的方程为y=x-2,同理求得M(3,1),则半径为厂=IMPI=V10,二圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10,综上可知：直线/的方程为尸-2x+4,圆M的方程(x-1)2+(>+分2=翳或直线/的方程为y=x-2,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)』10..【2016年新课标1理科20】设圆？T+入-15=0的圆心为人直线/过点8(1,0)且与x轴不重合,/交圆/于C,。两点，过8作/C的平行线交4。于点£(I)证明区川+区8|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线G，直线/交Ci于M,N两点，过8且与/垂直的直线与圆力交于P,0两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】解：(1)证明：圆M+f+2x-15=0即为(x+1)2+/=[6,可得圆心力(-1,0),半径r=4,由 可得NC=N£8£>,由/C=Z。，可得NQ=NC,即为/£>=NE8D,即有E8=EC,则|E4|+|EB|=|+|£D|=3。=4,故E的轨迹为以4,8为焦点的椭圆,且有2a=4,即a=2,c=I»b=Va2-c2=V3,x2y2则点£的轨迹方程为:+-=1(yKO)；4 3x2y2(II)椭圆G：—4--=1,设直线/：x=myJf\»4 3 J由PQ.LL设P0：y=-m(x-1),由仁I；；L12可得(3加2+4)丁+6"沙-9=0,设A/(xi,y\),N(X2,yi)9可得"+”=一遥彳‘川"=一石磊，则"+加3-川="石向后需京福i=V1+=V1+m2•^36(4*+4)

3m2+41+m2=12* n ,3m巳+4A到PQ的距离为A到PQ的距离为d=|一吗一1:1)1_

Vl+m212ml

xll+m2'4V3m24-4

Vl+m2\PQ\=2y/r2-d2=24V3m24-4

Vl+m2TOC\o"1-5"\h\z1 i4J3nl2+4 l+m2则四边形MPNQ面积为S=4尸0|・|MN|=4•—i——■12-—^—/ LVl+m2 3m”+4]3+康V14-m2

=24*t]3+康V3m24-4当掰=0时，S取得最小值12,又7J>0,可得S<24•曰=8百,1+m， 3即有四边形A/PN0面积的取值范围是［12,8V3）.Q，55/y2.【2016年新课标2理科20］已知椭圆E：1+彳=1的焦点在x轴上，Z是E的左顶点，斜率为左（左>0）的直线交E于/,M两点，点N在E上，MA±NA.（I）当r=4, 时，求△zmn的面积；（n）当2MM时，求上的取值范围.【答案】解：（1）方法直线4A/的方程为（x+2）,代入椭圆方程，整理可得（3+4/）/+16/壮16/-12=0,TOC\o"1-5"\h\z只“2_A QJ>2_a 12解得x=_2或x=_翳f,则xm=4TP・|2-翳f|=VTTP•利,― 17 12 / 7 12由 可得MN|=11+（一左）2・ TT7=V1+ 1,7k3+4-（营）2 3阳埼由MM=|4N|，k>0,可得>/1+ 记=V1+ k整理可得（％-1）（4庐+4+4）=0,由43+4+4=0无实根，可得&=1,即有△彳仞V的面积为5MM2=*（”+ 2=方法由可得直线4W的斜率为1,直线4W的方程为y=x+2,

代入椭圆方程：+ 可得7》2+161+4=0,4 3解得%=-2或一/M(—y, N(—y»-芋1),一_---.1 24 2 144则△/A/N的面积为5x亍*X(->+2)=不■:(II)直线411的方程为y=A(x+4),代入椭圆方程,可得(3+而)^Ity/tk^x+Pk2-3/=0,解得x=-“或解得x=-“或x=-tyJlk2-3a3+块2MN-ty/tk2-3y/t

3+tk2V1+k2*MN-ty/tk2-3y/t

3+tk2V1+k2*6yfl64

3+tfc2由2MM=MM，可得2\/1+人,；％=V1+,6Vt3k+5k6k2—3k由椭圆的焦点在式轴上，则，＞3,即有,3、＞3,即有可得好V4V2,即左的取值范围是(VL2).(fc2+l)(fc-2)k3-2<0,25.【2016年新课标3理科20】已知抛物线C：f=2x的焦点为尸，平行于x轴的两条直线八，/2分别交C于Z,B两点,交C的准线于P,。两点.(I)若尸在线段上，R是尸。的中点，证明//?〃世:(II)若AP。尸的面积是△/B/的面积的两倍，求48中点的轨迹方程.【答案】(I)证明：连接尺尸，PF,由4尸=4/，BQ=BF及AP〃BQ,得N4FP+NBFQ=90°,:・NPFQ=90°,•・・R是。。的中点，:・RF=RP=RQ,•••△B4RgAE4R,：.ZPAR=ZFAR,NPRA=NFRA,♦；NBOF+NBFQ=1800-NQBF=/PAF=2/PAR,・・・/FQB=/PAR,:・/PRA=/PQF,：.AR//FQ.(II)设4(xi,y\)fB(X2,/)，F（彳，0）,准线为x=—i,百尸。尸如一"1,设宜线力8与x轴交点为N,1•一△/而=/7\眄-川，•••△P0尸的面积是△力8尸的面积的两倍,：.2\FN\=\,：.xn=1，即N（l,0）.设AB中点为M（x,歹），由｛：；二；：：得力？一=2（Xi-X2）,「月一及y乂 =—:,X\-X2X—1:.'=一,即/=x-l.X-1y."8中点轨迹方程为/=x-1..（2015年新课标1理科20）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=彳与直线/：y=kx+a（a>0）交于M,N两点.（I）当Jt=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.（II）y轴上是否存在点P,使得当上变动时，总有NOPM=NO/W?（说明理由）（y=a【答案】解：（/）联立 不妨取用（2口，a）,N[-2ga）,（7=彳由曲线a尸苧可得：<=参，曲线。在A/点处的切线斜率为一^=板，其切线方程为：y-a=y[a[x-2y[a）,化为V5%-y-Q=0.同理可得曲线C在点N处的切线方程为：VHx+y+a=O.(//)存在符合条件的点(0,-a),下面给出证明：设尸(0,b)满足NOPM=NOPN.M(xi,yi),N(x2,”)，直线尸M,PN的斜率分别为：k\,依.1y=kx+ax2,化为r2-4fcv-4a=0,y=T.■・xi+x2=4A，x\X2=~4a..,.k\+k?=%—0+及一8_2kxiX2+(a-b)Oi+X2)_k(a+b)'' -X]x2- X1X2 -a'当b=-a时，％+依=0，直线PM,PN的倾斜角互补，NOPM=NOPN.点尸(0,-a)符合条件..【2015年新课标2理科20】已知椭圆C：9x2+y2=m2(加>0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点4B,线段力8的中点为(1)证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；771(2)若/过点(],m),延长线段与C交于点P,四边形O/1PB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率；若不能，说明理由.【答案】解：(1)设直线/：y=Ax+b,(%W0,bWO),A(xi，yi),B(X2»/)，M(xa/»yA/)>将、=h+6代入9/47^=帆2(/n>0),得(/+9)W+2kbx+P-/m2=0,则判别式△=40>2・4(F+9)(启-混)>0,m.i,2kbmi.Xi+%2kb .9b则X|+X2=一乔向，则x“=-2—=一帝2,yM-kXM^b=^^,于是直线OM的斜率koM=》=-p即koM'k=-9,直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.(2)四边形O4尸8能为平行四边形.•.•直线/过点(pw),由判另I]式△=4/〃-4(标+9)(b2-m2)>0,即kim2>9b2-9m2,b=m—

:・/门，>9(m—J%)2-9m2i即-6k,即6k>0,则k>0.，/不过原点且与。有两个交点的充要条件是〃>0,kW3,Q由(1)知的方程为歹=一讲,设P的横坐标为灯，由U…k由U…k2m2

9H+81即xp=±km379+F将点(工，m)的坐标代入/的方程得6=吗幺,3 Q即/的方程为歹=云+吗幺，将尸一/代入尸Ax+血？“),k(k-3)m3(9+H)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xp=2xM,千口,km、k(k-3)m于是土荻第二2x品遥,解得k\=4一书或依=4+V7,♦ki>。,ki#3,i=1,2*/.当I的斜率为4-夕或4+6时，四边形OAPB能为平行四边形./y2 a/j28.【2014年新课标1理科20】已知点4(0,-2),椭圆E：-7+77=1(a>b>0)的离心率为一，尸是ar 22J3椭圆的右焦点，直线/尸的斜率为:，。为坐标原点.(I)求E的方程；(1【)设过点4的直线/与E相交于尸，0两点，当△OP0的面积最大时，求/的方程.【答案】解：(I)设尸(c,0),由条件知2=得©=V3又£=:，c3 a2x2所以a=2,b2=a2-c2=l»故E的方程丁+y?=L….4(II)依题意当/_Lx轴不合题意，故设直线/：y=kx-2,设尸(xi,yi)»Q(X2>yi)x2将^=履-2代入一+旷2=1,得（1+4F）x2-16Ax+12=0.4当4=16当4=16（4Zr-3）>0,即时，勺8k±2J4k2-3l+4fc2从而|PQ|=Vfc2+1|%1—x2l=4癖PIT4k2-31+4/c2又点O到直线尸0的距离d=荻纂，所以△。尸0的面积〃。收=\d\PQ\= 靠3,I , 4「 4设、4k2_3=3则/>0»S&opq=/+4=-4—1，V7当且仅当，=2,&=±万等号成立，且满足△>(),所以当△OP0的面积最大时，/的方程为：y—-2 -2.•••/y229.【2014年新课标2理科20】设尸i，尸2分别是C：君+令=1(。>6>0)的左，右焦点，用是C上一点且河尸2与x轴垂直，直线MR与C的另一个交点为M3⑴若直线MN的斜率为“求。的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|孙=5国乂，求a，b.【答案】解：(1)・・・川是C上一点且与x轴垂直,.•.A/的横坐标为c,当、=仃时，y——»即A/(c,一)»Q a若直线A/N的斜率为：，4—/)23即tanZA/FiF2=3—=彳，2cZac4B|Jb2=|ac=a2-c2,即c2+|ac-/=（）,WJe2+|e-1=0,即2/+3e-2=01解得e=2或e=-2(舍去)，即e=(II)由题意，原点。是Q尸2的中点，则直线与y轴的交点。(0,2)是线段的中点,设M(cty)>(y>0)f则叁+/j即V=5,解得尸

'：OD是AMF1F2的中位线，—=4»即b2=4a,a由|MN|=5/1N］，则|A/F1|=4|尸川,解得|D尸l|=2|尸画,即加\=2F：N设N（xi，y\）.由题意知yi<0,则（-c,-2）=2（xi+c（yi）.即C3-21即C3-21_一==11,X9c2 1代入椭圆方程得力+法=1,将j代入得”加将j代入得”加I,解得a=7,b=2y[7.30.【2013年新课标1理科20】已知圆A/：(x+1)2±/=1,圆M(x-1)2+/=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(H)/是与圆P,圆M都相切的一条直线，/与曲线C交于48两点，当圆尸的半径最长时，求|48|.【答案】解：(/)由圆M：(x+1)2+/=1,可知圆心A/(-1,0)；圆M(x-1)2旷=9,圆心N(l,0),半径3.设动圆的半径为K,•.•动圆P与圆M外切并与圆N内切，；.|PM+|PN|=R+1+(3-R)=4,而|NM=2，由椭圆的定义可知：动点尸的轨迹是以A/,N为焦点,4为长轴长的椭圆，

=2,c=l,b2=a2-c2=3.、 .x2y2曲线。的方程为:+—=1(xW-2).

4 3(//)设曲线C上任意一点尸(X.y),由于［PM］・|PN|=2R-2<3-1=2,所以H<2,当且仅当。尸的圆心为(2,0)H=2时，其半径最大，其方程为(x-2)2+炉=4.①/的倾斜角为90°,则/与y轴重合，可得|/8|=2百.②若/的倾斜角不为90°,由于OM的半径可知/与x轴不平行，10PlR设/与X轴的交点为0,则■^7；=一,可得。(-4,0),所以可设/：y=R(x+4),IQM|2由/于A/相切可得：JI=1,解得々=士q.TOC\o"1-5"\h\zJl+k2 4当忆=?时，联立y=¥》+鱼 ,当忆=?时，联立,4, ,得到7f+8x-8=0.生+乃=14十3 —~2—~2=0,BPa2—2b2.2b，/.Xi+X2=~y.XjX2=~1-*.\AB\=V14-*.\AB\=V14-/c2|x2—xj=V2,.,8、 182-4X(-y)=—由于对称性可知：当卜=一¥时，也有［4阴=竽.18综上可知：|4阴=2旧或/y231.【2013年新课标2理科20】平面直角坐标系X0F中，过椭圆“：—+^7=1(a>/>>0)右焦点的直线x+y-遮=0交A7于/,8两点，尸为"的中点，且OP的斜率为3.(I)求”的方程(II)C,。为M上的两点，若四边形ZCBO的对角线求四边形力C8O面积的最大值.【答案】解：(1)把右焦点(c,0)代入直线x+y-焉=0得c+0-8=0,解得c=Vla2,yi-yjn

+『=°，设Z(xi，y\)>B(X2»”)，线段Z8a2,yi-yjn

+『=°，+技=1,系■+言=1>相减得:TOC\o"1-5"\h\z.xi+x2yi+y2y\-yi „・・ n--7?-X =。，orb乙 X1~X2•••粤+粤X(—1)=0,又kop=劣=型ab /

联立得a2=2b2a2=h2+c2,c=V3联立得xv的方程为:■+—=1.6 3(II)・・・C£>_L/8,，可设直线CO的方程为y=x+f,1y=x+tx2,y2/消去y得到3f+4a+2»-6=0,-6+T=1•••直线CD与椭圆有两个不同的交点，/.△=16^-12(2?-6)=72-8户>0,解-3</<3,由C,。在椭圆上，可得一旧0<、/14t 2t2—6设C(X3>”)，D(X4»J4)，*#•%3+X4= X3X4=-—.•••I卬=J(l+12)[(X3+X4)2-4X34]=Jz[(-^)2-4x^^]=2个83(%+y—V3=0 4联立％2v2得到3f-4岳=0,解得x=0或彳,，二交点为/(0,V3),8(抓，一的，2V2-V18-2t28四〃8-2t2

8.♦.当且仅当7=0时，四边形"CBO面积的最大值为石巡，满足（*）.8...四边形4C8O面积的最大值为◎模拟好题.已知产仍分别是椭圆喧+，=1（。＞匕＞0）的左、右焦点，点%,22在直线1号=履+巾的同侧，且点尸I，尸2到直线/的距离分别为由,d2.(1)若椭圆C的方程为卷+9=1,直线/的方程为y=x-6，求d「d2的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线/与椭圆C有两个公共点，试求由♦d2所需要满足的条件；【答案】(l)d「d2=3；1.(2)d1-d2<b2【解析】(1)椭圆C的方程为+9=1,则尸1(一3,0),尸2(3,0).又直线y=x-g，所以由=上霖1=誓，&2=^^=等所以刈•d2==3.联立112 3 ，消去y可得：5好一80万x+48=0.\y=x-V15因为A=(-8>/15)2-4x5x48=0»所以直线y=x-VI亏与椭圆C有1个公共点.1+ 1(2)联立02+/一,消去y可得：(a2k2+b2)%2+zMkmx+a2m2—Q2b2=0y=fcx+m因为直线/与椭圆。有两个公共点，所以△=(2a2km)2-4m2k2+b2)(a2m2-a2b2)>0,整理化简得:-a2k2<b2.又"(一c,0),尸2(c,0)，其中c2=a2-〃，所以由=与需,4=辨,山」 |-kc+m|\kc+m\|m2-k2a2+k2b2| |b2+k2b2| ,2所以41/2=7^•研=——=所以直线/与椭圆C有两个公共点，则di-d2<b2..已知椭圆C：++y2=i(a>1)的离心率为eI，双曲线好—5=1的离心率为e2,且e1e2=夜.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点尸2且斜率为1的直线交椭圆于4B两点(点B在x轴上方)，线段AB的垂直平分线交直线1:刀=一2于”点，求以为直径的圆的方程.【答案】(lg+y2=1

【解析】(1)解：•••双曲线的离心率e2=2,:.外=庄=1-4,.-.4=-其中2b=2,：.a2=2,1 2 7a2a22所以椭圆方程为：—+y2=1(2)解：由题知产2(1，。)，故直线48方程为y=x-l,(y=x-l联立直线48与椭圆方程得3%2—4%=0,匕+y=14(0,-l),Bg,i),其中点为停-乡所以，4B垂直平分线为：y=-x+1.♦•以AM.♦•以AM为直径的圆的圆心为:(一15)，半径为厂=14+¥=J1+等V34・•・以4M为直径的圆的方程为：(%+1)2+(y—|)=日.在平面直角坐标系xOy中，已知点妆0,-代)，动点S到尸的距离是S到直线by+4=0的距离的苧倍,记点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线。的方程；(2)过八%=2上的动点P(2,p)(p>2)向曲线C作两条切线/2»匕交x轴于M,交y轴于N,%交汇轴于几交y轴于Q，记△2可(?的面积为Si，的面积为Sz，求S「S2的最小值.【答案】(14+*2=1(2)48【解析】⑴解：设S(x,y),由题意得］叶+(y+百.=卜X喏1，化筒得曲线C的方程为=1.4(2)解：由题意知匕，，2的斜率存在，故设h，，2的方程分别为y-P=ki(x-2),y-p=k2(x-2),则N(0,p-2kD，M(2_》0),Q(O,p-2k2),T(2-^,0),

所以51=]|NQ|xp=|NQ|=2|的一反|,S2=i|MT|yP=i|^-j|p=^|^|,22=「2|写的=刊专排-4"设过P(2,p)与C相切的直线为y-p=fc(x-2),联立?J)，可得(幺+4)x2_2k(2k-p)x+(2k-p)2-4=0,I4x+y=4,则4=4(2fc-p)2k2-4(/+4)[(2k-p)2-4]=0,化简得3k2—4pk4-p2—4=0,显然的、心是关于人的方程弘2-4「忆+「2-4=0的两根，故的+七=?,k*2=F，所以S「S2=p2|^^—4|=p2|-^—4=4吁;+R,1LrIkAk2Ir|3(p2-4) 3(p2-4)令p2-4=t,则t>0,Si.S2=""?：+W+?+20)2g(2+20)=48,当且仅当t=8,即p=2百时，SiSz的最小值为48.设点P的轨迹为.已知M,N分别是x轴，y轴上的动点，且|MN|=4+2百，动点P满足而设点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)直线11：3x-2y=0与曲线C交于48两点，G为线段48上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为a

的直线％经过点G,与曲线C交于E,F两点.若湍惠的值与点G的位置无关，求|GE|：|GF|的值.【答案】(1书+5=116 12(2)1【解析】(1)解：设M(x(),O),W(O,yo)>则就+羽=(4+2⑹上设P(x,y),则S??=(x-x0,y),丽=(-x,y0—y).由题意得V3X-X0由题意得V3X-X0=--X

y=y(yo-y)解得Xo=(1+亨)X

了。二5(1+4万所以(1 X2+g(l+/)y2=(4+2d5)\化简得套+卷=1>即曲线c的方程为立会1.解得｛；二:或二:,(不妨设点”在第一象限)，所以解得｛；二:或二:,(不妨设点”在第一象限)，所以4(2,3),8(-2,-3).(2)证明：由,一,y2,，(而+五=1设点G(2m,3m),其中一则|G4|= —m),\GB\=V13(l+m).所以|。4|•|GB|=13(1—m2).若直线G的斜率不存在，则直线I2的方程为》=2m,此时E(2ni,“2-37n2),F(2m,-V12-3m2),故*=黑喘不为定值.若直线G的斜率存在，设直线％的斜率为匕则直线%的方程为丫=心：—(2k—3)m.将直线%的方程代入曲线C的方程化简、整理，得(4/+3)x2-8km(2k-3)x+4(2k-3)2m2-48=0.设EQi，%)，尸(皿，力)，则Xi+m 寤",XlX2=4(2fc~^2~48,所以|E"=(1+的(勺_亚)2=(―-也_32写+3)[-])48Q+k2)[(2〃-3)2m2-(16k2+i2)]= (4.+3)2 >阳2_48(1+/)[(2：-3)2布2-(16〃2+12)]故而同- 13'(4M+3)'(mJ) •因为丁黑7的值与的值无关，所以(2k-3)2=16^+12,解得k=-；,所以鬻=竺需m=2^,所以g是EF的中点，即|GE|=|GF|.所以|GE|:|GF|=1..己知椭圆。:撩+\=l(a>b>0)的短轴长等于2百，离心率e=/(1)求椭圆C的标准方程；(2)过左焦点尸作直线/,与椭圆C交于4B两点,判断六+亳是否为定值.若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理