数学中考专题训练-全等三角形的判定和性质

中考专题训练——全等三角形的判定和性质.如图，点E,尸在BC上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,求证：AB=OC..如图，点E,F在8c上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,4F与OE交于点O.(1)求证：AB=OC；(1)求证：AABE^ACAD；(2)求NP8。的度数.AD与.如图，△4BC中，AB=BC,BEJMC于点E,4O_LBC于点。，ZBAD=45°AD与BE交于点、F,连接CE(1)求证：BF=2AE；(2)若CD=H，求AO的长..如图，OE_LA8于E,DFLACTF,若BD=CD,BE=CF,(1)求证：AO平分NBAC；

(2)直接写出4B+AC与AE之间的等量关系..如图，ZXABC和△AOE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,。在同一条直线上.(1)求证：BD=CE.BD,CE有什么位置关系？请证明..如图，在8c和中，AB=AC,AD^AE,NBAC=N£>A£=90°.(1)当点。在4c上时，如图①，线段B£>,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图①中的△AOE绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°),如图②，线段80,CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.图①C3图②C.已知：如图，AD//BC,E/垂直平分BD,与AO,BC,8。分别交于点E,F,O.求证：△BOFmADOE：DE=DF.

。.如图，点C是线段A8上除点A、8外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△AC3和等边△8CE,连接AE交3c于M,连接80交C£于N,连接用N.(1)求证：AE=5£＞；(2)判断△CMN的形状并说明理由..如图，在△ABC中，AB=AC,8c=6,点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到4时，点P、。随即停止运动，若点P、。移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D(1)如图①，当点P自点8出发在线段B4上运动时，过点P作AC的平行交BC于点F,连接PC、FQ,判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论.(2)如图②，过点尸作「ELBC,垂足为E,请说明在点P、。在移动的过程中，OE长度保持不变..如图，在△ABC中，AB=8,AC=4,G为8c的中点，OG_LBC交NBAC的平分线40于O,DEA.ABfE,。凡LAC于尸交AC的延长线于F.(1)求证：BE=CF；(2)求AE的长.A.(1)问题发现如图1,ZVICB和均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求/AE8的度数.(2)拓展探究如图2,△ACS和△DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90°,点A、D、E在同一宜线上，CM为△£＞口中DE边上的高，连接请求/AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由..如图，在RtZxABC中，/BAC=90°,AB^AC,。是BC的中点，AE=BF.求证:DE=DF：为等腰直角三角形..如图，ZVIBC中，AB=AC,NB4C=45°,BDLAC,垂足为。点，AE平分NB4C,交8。于尸，交BC于E,点G为AB的中点，连接DG,交AE于点”，(1)求NACB的度数；(2)求证：HE=4AF.2.已知AW〃BN,A£平分N84W,BE平分NABN,(1)求/AEB的度数.(2)如图2,过点E的直线交射线A历于点C,交射线8N于点O,求证：AC+BD=AB,(3)如图3,过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C,交射线BN于点。，AB=5,AC=3,Smbe-Smce=2,求△BDE的面积..在等边三角形ABC中，点E在4B上，点。在CB的延长线上，且AE=8D试探索以下问题：(1)当点E为AB的中点时，如图1,求证：EC=ED.(2)如图2,当点E不是AB的中点时，过点、E作EF〃BC,交AC于点兄求证：XAEF是等边三角形.(3)在(2)的条件下，EC与还相等吗？请说明理由..如图1,点A和点8分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且0A=08,点C和点。分别在第四象限和第一象限，且OC_LOC,OC=OD,点。的坐标为(m,"),且满足(5-2〃)2+|n-2|=0.(1)求点。的坐标；(2)求NAKO的度数；(3)如图2,点P,。分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且。尸=0Q,直线0N_L8P交AB于点N,MMLAQ交8户的延长线于点判断ON,MN, 的数量关系并证明..在△48C中，AB=AC,点O是直线8c上的一点(不与点8、C重合)，以A。为一边在A。的右侧作△AOE,使AO=AE,NDAE=NBAC,连接CE.(1)如图，点。在线段BC上，若NBAC=90°,则NBCE等于度：(2)设/BAC=a,ZBCE=p.①如图，若点。在线段BC上移动，则a与B之间有怎样的数量关系？请说明理由；②若点。在直线BC上移动，则a与。之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.⑴⑵.如图(1)四边形ABC。中，已知NABC+NAOC=180°,AB=AD,DALAB,点E在8的延长线上，ZBAC=ZDAE.(1)试说明：△ABC^ZXAOE；(2)试说明C4平分NBCC；(3)如图(2),过点A作AMJ_CE,垂足为M,试说明：ZACE=ZCAM=ZMAE=NE=45°..如图(1),直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、08的长分别为a、b,且满足a2-2ab+B=0.(1)判断aAOB的形状；(2)如图(2)过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q,过4、B两点分别作AM_L0Q、BN10Q,若AM=7,BN=4,求A/N的长；(3)如图(3),E为48上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形AQE,P为BE的中点，延长OP至F,使PF=OP,连接PO,BF,试问P0是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明.

参考答案：.如图，点E,F在8c上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,求证：AB=DC.【分析】利用全等三角形的判定定理A4S证得aAB尸丝△OCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB=CD【解答】证明：:点E,尸在BC上，BE=CF,：.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE：在△ABF和△OCE中，2a=Nd-ZB=ZC>BF=CEAAABF^ADCE(A45),：.AB=CD(全等三角形的对应边相等)..如图，点、E,F在8c上，BE=CF,NA=NO,NB=NC,AF与OE交于点O.(1)求证：AB=DC；(2)试判断aOE尸的形状，并说明理由.ADBF.FC【分析】(1)根据BE=CF得到BF=C£,又NA=N£),ZB=ZC,所以△ABF丝△£>(:£,根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)根据三角形全等得NAFB=NOEC,所以是等腰三角形.【解答】(1)证明：；BE=C/,:.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在AAB尸与△OCE中，'BF=CE«ZA=ZD-zb=zc：.XABF4XDCE(AAS),：.AB=DC.△OEF为等腰三角形理由如下：VAABF^ADCE,•\NAFB=NDEC,：.OE=OF,...△OE/为等腰三角形..如图，△ABC是等边三角形，AE=CD,8Q_LAO于Q,BE交AD于P.(1)求证：AABE^ACAD；(2)求NP8。的度数.AB DC【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,NBAC=NC=60°,然后利用“边角边”即可证明两三角形全等；(2)根据全等三角形对应角相等可得NABE=ND4C,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到/8尸。=60°,再根据得到NBQP=90°,根据三角形的内角和定理求出NPBQ=30°.【解答】(1)证明：:△ABC是等边三角形，：.AB=AC,NBAC=NC=60°,在△A8E与△C4O中，，AB=AC-ZBAC=ZC=60°>AE=CD/.AABE^ACAD(SAS)；(2)解：VAABE^ACAD(已证)，，NABE=ZDAC,：.NBPQ=NABE+NBAP=NDAC+NBAP=NBAC=60°,'：BQ±AD,:.NBQP=90°,：.ZPBQ=\SO°-90°-60°=30°..如图，ZXABC中，AB=BC,8EJ_AC于点E,AO_LBC于点£>,NBAO=45°,AO与BE交于点F,连接CF.(1)求证：BF=2AE；(2)若求AO的长.【分析】（1）先判定出△AB。是等腰直角三角形，根据等腰宜角三角形的性质可得AD=BD,再根据同角的余角相等求出然后利用“角边角”证明△AOC和△8OF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=24凡从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AO=AF+OF代入数据即可得解.【解答】（1）证明：VAD1BC,ZBAD=45",...△A8D是等腰直角三角形，：.AD=BD,,：BE1AC,AD1BC,：.ZCAD+ZACD=90°,NCBE+NACQ=90°,:.NCAD=NCBE,在△4QC和△BQF中，fZCAD=ZCBE-AD=BD ，ZADC=ZBDF=90°.♦.△AOCq△BO尸（ASA）,：.BF=AC,'：AB=BC,BE1.AC,：.AC=2AE,：.BF=2AEx（2）解：VAADC^ABDF,:.DF=CD=近,在RtZ\COF中，CF=^/DF24＜，d2=2,'：BE±AC,AE=EC,：.AF=CF=2,：.AD^AF+DF=y/2+2.

5.如图，DELAB5.如图，DELAB于E,DF1ACfF,若BD=CD,BE=CF,(1)求证：4。平分NBAC；(2)直接写出A8+4C与4E之间的等量关系.=OF,所以AO平分-BE+AF+CF=AE+AE【分析】(1)根据“HL”定理得出△=OF,所以AO平分-BE+AF+CF=AE+AENBAC；(2)根据“入证明44£。也/\4/7),所以AE=AR故AB+4C=AE=2AE.【解答】解：(1)..,£)E_L4B于E,OF_L4c于F,：.ZE=ZDFC=90°,ABDE与△COE均为直角三角形，...[BD=CD,lBE=CF，:.ABDEqACDF(HL),：.DE=DF,，A£)平分/8AC；(2)AB+AC=2AE.理由："：ZE=ZAFD=90°,在RtAAED与RtAAFD中，[DE=DF,1ad=ad'/. (HL),：.AE=AF,：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE. X6.如图，ZXABC和△4OE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,。在同一条直线上.(1)求证：BD—CE.(2)BD,CE有什么位置关系？请证明.【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得出AB=4C、AO=AE,由NBAC=ND4E=90°可得出N8AO=NCAE,由此即可证出△BAO/ZXCAE(SAS),根据全等三角形的性质即可得出BD=CE；(2)根据等腰直角三角形的性质可得出NA8C=NACB=45°,根据全等三角形的性质可得出NACE=NABC=45°,进而即可得出NBCE=NACB+NACE=90°,即BD±CE.【解答】证明：(1);△ABC和△AOE都是等腰三角形，：.AB^AC,AD^AE.VZBAC=90°,ZDAE=90",ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZCAE,即/8AO=NCAE.'AB=AC在△BAO和△CAE中，，ZBAD=ZCAE>AD=AE.•.△BAD^ACA£(SAS),：.BD=CE.(2)BD1.CE.「△ABC是等腰三角形，ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45°.

：△BAO四△CAE,ZACE=ZABC=45°,NBCE=ZACB+ZACE=90°,：.BDA.CE.：.BDA.CE.7.如图，在△ABC和△4£)£；中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90".(D当点。在AC上时，如图①，线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想：(2)将图①中的△AOE绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°),如图②，线段8。，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.【分析】(1)延长8。交CE于F,易证△EACgZXDAB,可得BO=CE,NABD=NACE,根据NAEC+/ACE=90°,可得NABO+NAEC=90°,即可解题：(2)延长8。交CE于凡易证NBAO=NE4C,即可证明△EAC丝△D48,可得8。=CE,ZABD=ZACE,根据NABC+NAC8=90°,可以求得/。8尸+/8(7/=90°,即可解题.【解答】证明：(1)延长8。交CE于F,在和在和△DAB中,'AE=AD«ZEAC=ZDAB>AC=AB.,.△EAC^ADAB(SAS),：.BD=CE,ZABD=AACE,ZAEC+ZACE=90°,AZABD+ZAEC=90°,ZBFE=90°,BPEC1BD；(2)延长8。交CE于F,E；NBAD+NCAD=90°,ZCAD+ZE4C=90°,：.ZBAD=ZEAC,在△E4C和△DAB中，'AD=AENBAD=NEAC'AB=AC...△£ACg△ZMB(SAS),：.BD=CE,ZABD=AACE,'：ZABC+ZACB=90°,:.NCBF+NBCF=NABC-ZABD+ZACB+ZACE=90°,ZBFC=90",即EC_LBD8.已知：如图，AD//BC,EF垂直平分BD,与AD,BC,BD分别交于点E,F,O.求证：△BOFgADOE；DE=DF.【分析】(1)由线段垂直平分线的定义可知OB=OD,且NBOF=/EOC,利用平行可得NBFO=NDEO,利用A4S可证明△80F名△OOE；(2)由(1)中的全等可得OE=O凡可知8。是EF的垂直平分线，可得DE=DF.【解答】证明：(1)'：AD//BC,:.NBFO=NDEO,垂直平分BD,：.OB=OD,NBOF=NDOE=90°,在△BOF和△OOE中，ZB0F=ZD0E<ZBF0=ZDE0OB=OD.♦.△BO尸丝△OOECAAS)；(2)由(1)可知△BOF2△OOE,AOE=OF,且8O_LEF,：.BD为线段EF的垂直平分线，：.DE=DF.9.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACQ和等边△BCE,连接AE交OC于M,连接BO交CE于N,连接MN.(1)求证：AE=BD；(2)判断△CMN的形状并说明理由.【分析】(1)由等边三角形的性质，结合条件可证明AACE乡ZkOCB,则可证得AE=BD；(2)利用(1)的结论，结合等边三角形的性质可证明△ACMgZ\QCN,可证得MC=NC,则可判定△CMN为等边三角形.【解答】(1)证明：,/△ACC和4806是等边三角形，：.AC=DC,CE=CB,NOCA=60°,NECB=6Q°,,：ZDCA=ZECB=60°,:.NDCA+NDCE=NECB+NDCE,ZACE=NDCB,在△ACE与△QCB中，'AC=DC<ZACE=ZDCBCE=CB...△ACE丝△OCB(SAS),：.AE=BD；(2)解：△CMN为等边三角形，理由如下：•由(1)得，AACE^ADCB,二ZCAM=4CDN,VZACD=ZECB=60°，而A、C、B三点共线，...NOC7V=60°,在△ACM与△QCN中，'Nhac=Nndc-AC=DCZACM=ZDCN...△ACMg4DCN(.ASA),：.MC=NC,■:NMCN=60°,...△MCN为等边三角形.10.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,点尸从点B出发沿线段区4移动，同时，点。从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点尸运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、。移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D(D如图①，当点P自点8出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行交BC于点F,连接尸C、FQ,判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论.(2)如图②，过点P作尸E_LBC,垂足为E,请说明在点P、。在移动的过程中，OE长度保持不变.【分析】(1)如图①中，四边形PFQC是平行四边形.只要证明P/〃CQ,PF=CQ即可解决问题.(2)如图②中，过点P作P/〃AC交于F,首先证明BE=EF,根据DF=FC,即可解决问题.【解答】解：(1)如图①中，四边形PFQC是平行四边形.理由：：AB=AC,:.NB=NACB,'JPF//AQ,ZPFB=ZACB=NB,ZDPF=NDQC,：.PB=PF=CQ,：.四边形PFQC是平行四边形.(2)如图②中，过点P作尸F〃AC交BC于F,②•••△P8F为等腰三角形，：.PB=PF,'：PELBF：.BE=EF,由(1)可知尸o=oc,ED=EF+FD=^BF+^FC=—(BF+FC)=-^BC=3,

2 2 2 2为定值，11.如图，在△ABC中，AB=8,4C=4,G为BC的中点，0Gl交NBAC的平分线AO于O,力EJ_AB于E,。尸_LAC于尸交AC的延长线于尸.(1)求证：BE=CF；(2)求AE的长.【分析】（1）连接DB、DC,先由角平分线的性质就可以得出DE=DF,再证明△OBE且△CCF就可以得出结论；（2）由条件可以得出丝△4OF,就可以得出AE=AR进而就可以求出结论.【解答】解：（1）如图，连接。B、DC,；OG_L8C且平分BC,：.DB=DC.为NB4C的平分线，DEA.AB,DFVAC,:.DE=DF.ZAED=NBED=ZACD=NDCF=90°在RtADBE和RtADCF中fDB=DClDE=DFRt△力BE丝RtZXOC尸(HL),：.BE=CF.(2)在Rt/^ADE和RtAADF中[AD=ADIde=df；.RtZ\AOE丝RtZXAOF(HL).：.AE=AF.'：AC+CF^AF,：.AE=AC+CF."：AE^AB-BE,：.AC+CF=AB-BE'：AB=S,AC=4,：.4+BE=S-BE,：.BE=2,：.AE=S-2=6.(1)问题发现如图1,ZkACB和△OCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接8E,求NAEB的度数.(2)拓展探究如图2,ZXACB和△£>(；£均为等腰直角三角形，NAC8=NOCE=90°,点4、£>、E在同一直线上，CM为△£)(?£中3E边上的高，连接BE.请求NAEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由.【分析】(1)先证出N4C£>=NBCE,那么△4C£>gZ\BCE,根据全等三角形证出N4OC=NBEC,求出NAOC=120°,得出/8EC=120°,从而证出NAEB=60°；(2)证明△AC£>g△BCE,得出NAOC=NBEC,最后证出。M=ME=CM即可.【解答】解：(1)..,△ACB和△ZJCE均为等边三角形，：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,24CO=60°-NCDB=NBCE.在和△BCE中，'AC=BC<Zacd=Zbce.CD=CE:•△ACDgABCE(SAS).：.NADC=ZBEC.；ADCE为等边三角形,：.ZCDE=ZCED=60°.•.•点4,D,E在同一直线上，ZADC=120°,.*.ZBEC=120°.:.NAEB=NBEC-NCED=60".(2)NAEB=90°,AE=BE+2CM.理由：和△OCE均为等腰直角三角形，J.CA^CB,CD=CE,NACB=NOCE=90°.:.ZACD=NBCE.在△AC。和△BCE中，'CA=CB<ZACD=ZBCE>CD=CE(SAS).：.AD=BE,NADC=NBEC.••△OCE为等腰直角三角形，:.NCDE=NCED=45°..•点4,D,E在同一直线上，ZADC=135°,/.ZB£C=135°.：.NAEB=NBEC-NCED=90°.'：CD=CE,CM1.DE,：.DM=ME.ZDCE=90°,：.DM=ME=CM.：.AE=AD+DE^BE+2CM.13.如图，在RtZ\ABC中，NBAC=9Q°,AB=AC,。是BC的中点，AE=BF.求证:DE=DF；△OEF为等腰直角三角形.【分析】（1）连接AO,证明丝即可得出OE=OF；（2）根据三线合一性质可知AOLBC,由△BFC丝△4EO可知NBDF=N4OE,根据等量代换可知NEDF=90°,可证△QEF为等腰直角三角形.【解答】证明：（1）连接AO,：RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,.•.NB=NC=45°.'：AB=AC,DB=CD,：.ZDAE=ZBAD=45°....NBAO=N8=45°.：.AD=BD,ZADB=90°.在△DAE和△DBF中，'AE=BF<ZDAE=ZB=45"，AD=BD:ADAE迫ADBF(SAS).:.DE=DF；(2)VADAE^ADBF:.NADE=NBDF,DE=DF,"：ZBDF+ZADF=ZADB=90°,AZADE+ZADF^9Q°..•.△DEF为等腰直角三角形.14.如图，△ASC中，AB=AC,/BAC=45°,BDLAC,垂足为D点，AE平分/BAC,交80于F,交BC于E,点G为AB的中点，连接。G,交AE于点出(1)求/4CB的度数；【分析】(1)根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可；(2)证△〃£＞尸空△8OC,推出4"=8C,求出H£=8E=CE,即可得出答案.【解答】解：(1)；AB=AC,ZACB=AABC,,.,N7MC=45°,：.ZACB=ZABC=^-(180°-ABAC)=工(180°-45°)=67.5°.2 2

(2)连接”B,'：AB=AC,AE平分NBAC,：.AEA.BC,BE=CE,...NC4E+NC=90°,'：BD±AC,...NCBD+NC=90°,：.ZCAE=ZCBD,,：BDLAC,。为垂足，：.ZDAB+ZDBA=90°,；ND4B=45°,：.ZDBA=45°,：.ZDBA=ZDAB,：.DA=DB,在RtABDC和RtAADF中，'NBDC=/ADF>BD=ADZCAE=ZCBD/.RtABDC^RtAADF(ASA),：.BC=AF,•；D4=OB,点G为AB的中点，.♦.OG垂直平分A8,•.•点”在。G上，:.HA=HB,：.ZHAB=ZHBA=AzBAC=22.5°,2:.NBHE=NHAB+NHBA=45°,：.NHBE=NABC-NABH=67.5°-22.5°=45°,：.NBHE=NHBE,：.HE=BE=、BC,2\'AF=BC,：.HE=^AF.215.已知4M〃BN,AE平分NBAW,BE平分NABN,(1)求/AEB的度数.(2)如图2,过点E的直线交射线AM于点C,交射线BN于点。，求证：AC+BD^AB；(3)如图3,过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C,交射线BN于点O,AB=5,AC=3,Smbe-S^ace=2,求△BOE的面积.A MACMCA M【分析】(1)根据平行线的性质得到/区4河+/48%=180。，根据角平分线的定义得到ZBAE=^/BAM,NABE=Z/ABN,于是得到结论；2 2(2)在AB上截取AF=AC,连接EF,根据全等三角形的性质得到NAEC=NAERBF=BD,等量代换即可得到结论；(3)延长AE交8D于尸，根据等腰三角形的性质得到43=8尸=5,AE=EF,根据全等三角形的性质得到OF=AC=3,设Sabef=Saabe=5x,SaDEF=S^ace=3x,根据Saabe-S^ace=2,即可得到结论.【解答】解：(I)；AM〃BN,：.ZBAM+ZABN=}^0°,•.•AE平分NBAM,BE平分/ABN,：.ZBAE=^/BAM,NABE=L/ABN,2 2：.ZBAE+ZABE=^-(NBAM+NABN)=90°,2AZAEB=90°；(2)在4B上截取AF=AC,连接EF,在AACE与△4FE中，，AC=AF<ZCAE=ZFAE>AE=AE△ACE9XAFE、：.ZAEC=ZAEF,

VZAEB=90°,/.ZAEF+ZBEF=ZAEC+ZBED=90°,：・NFEB=NDEB,在ABFE与ABDE中,<ZFBE=ZDBE<BE=BE ，ZFEB=ZDEB:•△BFEeABDE,:・BF=BD,9：AB=AF+BFf：.AC+BD=AB；(3)延长4E交8。于F,VZAEB=90Q,：.BE1AF,BE平分NA3N,：.AB=BF=5tAE=EF,:AM"BN,：・NC=/EDF,在△从(?£：与七中，'NONEDF<NAEONFEN，AE=EF，AACE^AFDE,：.DF=AC=3fVBF=5,••设S&BEF=S&ABE=5x,S〉DEF=S"CE=3x,.*S/\ABE-SaACE=2,A5x-3x=2,**x=1,.二△BOE的面积=8.ACMC/ M

16.在等边三角形ABC中，点E在48上，点。在CB的延长线上，且AE=8O.试探索以下问题：(1)当点E为48的中点时，如图1,求证：EC=ED.(2)如图2,当点E不是AB的中点时，过点E作E产〃BC,交AC于点F,求证：XNEF是等边三角形.(3)在(2)的条件下，EC与EO还相等吗？请说明理由.图1 图2【分析】(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC,ZABC=ZACB=ZA=60°,再由E是A8的中点，AE=BE=BD,证出NEZ)B=NEC8,得出EC=EC；(2)在△AEF中，只要证明有两个内角是60°即可；(3)只要证明△O8E也即可推出结论；【解答】证明：(1);△ABC是等边三角形，，4B=AC=BC,NABC=NACB=NA=60°,是AB的中点，；.AE=BE,ZECB=—ZACB=30°,2'：AE=BD,：.BE=BD,:.NEDB=NDEB=Z/ABC=30。,2:.NEDB=NECB,：.EC=ED.(2)过E点作E尸〃BC交AC于/点.如图2所示：,JEF//BC,：.ZAEF=ZABC=60°,ZAFE=ZACB=6O°,二是等边三角形.(3)ED=EC.理由如下:是等边三角形.ZXFE=ZAfiC=60":.NEFC=NDBE=120°,又,：AE=BD,AB=AC,：.BD=EF,BE=FC,在△OBE和△£：/(中，fBD=EF-ZDBE=ZEFC>BE=FC:./\DBEm4EFC(SAS),AED=EC..如图1,点A和点8分别在)，轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB,点C和点。分别在第四象限和第一象限，且OC_LOC,OC=OD,点。的坐标为(加，”)，且满足(m-2〃)2+|"-2|=0.(1)求点。的坐标；(2)求NAKO的度数；(3)如图2,点P,。分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且。尸=OQ,直线ONJ_BP交AB于点N,〃%，42交8户的延长线于点〃，判断ON,MN,8例的数量关系并证明.【分析】(1)利用非负数的性质即可解决问题；(2)如图1中，作OE_LB£>于E,OFVACF.只要证明△BOOgZ\AOC,推出EO=。尸(全等三角形对应边上的高相等)，推出。K平分NBKC,再证明NAK8=/B0A=90°,即可解决问题；(3)结论：BM=MN+ON.只要证明△8N4g△BN。，以及即可解决问题；【解答】解：(1)V5-2“)2+|n-0=0,又；（m-2n）2》0, 2|20,•/i2,/w=4>.•.点O坐标为（4,2）.(2)如图1中，作。从LB。于E,OFVACTF.：OA=OB,OD=OC,ZAOB=ZCOD=90°,；.NBOD=NAOC,/.△BOD^AAOC,:.EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），二OK平分NBKC,:.NOBD=NOAC,易证NAK8=NBOA=90°,：.ZOKE=45°,：.ZAKO=135".(3)结论：BM=MN+ON.理由：如图2中，过点B作轴交MN的延长线于H.VOQ=OP,OA=OB,NAOQ=NBOP=90°,:.△AOQdBO尸，:.NOBP=NOAQ,

'：ZOBA=ZOAB=45°,ZABP=ZBAQ,'：NM±AQ,BMLON,：.ZANM+ZBAQ=90°,ZBNO+ZABP=90Q,4ANM=NBNO=NHNB,:NHBN=NOBN=45°,BN=BN,.,.△BN%△BN。，：.HN=NO,NH=NBON,；NHBM+NMBO=90°,NBON+NMBO=90°,ZHBM=ZBON=NH,：.BM=MN+NH=MN+ON..在△ABC中，AB=AC,点。是直线BC上的一点(不与点8、C重合)，以A。为一边在A£)的右侧作△△£>£：,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.(1)如图，点O在线段BC上，若NB4c=90°,则NBCE等于90度;(2)设N8AC=a,ZBCE=p.①如图，若点。在线段BC上移动，则a与。之间有怎样的数量关系？请说明理由；②若点。在直线BC上移动，则a与0之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.【分析】(1)可以证明△BAOgACAE,得到NB=NACE,证明NACB=45°,即可解决问题.(2)证明△8A。g△CAE,得到/8=NACE,B=NABC+NACB,即可解决问题.(3)证明得到NABO=N4CE,借助三角形外角性质即可解决问题.【解答】解：(1)如图1,'：ZBAC=ZDAE,；.NBAD=NCAE；，AB=AC在△BAO与△C4E中，,/BAD=NCAE，AD=AE.♦.△BAO丝△CAE(SAS),NB=ZACE,：.NBCE=NACB+NACE=90°,故答案为90.(2)如图2,a+p=180°；理由如下：,/ZBAC=ZDAE,；.NBAD=NCAE；在△840与中，'AB=AC-ZBAD=ZCAE«,AD=AE(SAS),NB=NACE,0=ZABC+ZACB,.••a+p=180".(3)①•.•NO4E=NBAC,：.ZDAB=ZEACi在△BAD与△CAE中，'AB=AC<ZBAD=ZCAE>,AD=AE.•.△BAD^ACA£(SAS),:.NB=NACE,/.ZABD=ZACE,而4B£>=NACB+a,0=NACE-NACB,.\p=ZACB+a-ZACB,.,.a=p.②当。在CB的延长线时，a=p.当。在BC的延长线上或线段BC上时，a+B=180°.19.如图(1)四边形4BC£>中，已知/ABC+N4OC=180°,AB=AD,DALAB,点E在CD的延长线上，NBAC=ND4£.(1)试说明：AABC^AADE；(2)试说明C4平分/BCD；(3)如图(2),过点A作AMJ_CE,垂足为M,试说明：ZACE=ZCAM=ZMAE=Z£=45°.Ac图(1) C图(2)【分析】(1)根据三角形的判定定理ASA即可证得：(2)通过三角形全等得AC=A£,NBCA=NE,进而根据等边对等角求得NAC£>=NE,从而求得NBC4=/E=ZACD即可证得；(3)通过三角形全等得AC=AE,ZCAE=90°,即△ACE是等腰直角三角形，根据三线合一可得△4CM和AAEM都是等腰直角三角形，进而得出结论.【解答】解：(1)证明：如图，•.•NABC+NAOC=180°,NAOE+NAOC=180°,