等比数列的概念与等比数列的通项公式 【题型分类归纳】 高二数学 选择性必修第一册

等比数列的概念与等比数列的通项公式一、等比数列的定义及通项公式1、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2、对等比数列概念的理解（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比；（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。3、等比数列的通项公式（1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：.（2）通项公式的变形：或二、等比中项1、定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列2、对等比中项概念的理解（1）G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．此时，，即等比中项有两个，且互为相反数．（2）时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列；（3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中，3、等差中项与等比中项区别（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。三、等比数列的性质1、“子数列”性质（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为；（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为2、等比数列的运算性质在等比数列中，若，则；（1）特别地，时，；当时，（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即3、两等比数列合成数列的性质若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，则数列、、也是等比数列；四、等比数列的判定方法1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.五、等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁。2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量。题型一等比数列的定义与判断【例1】下面各数列是等比数列的是（）（人教A版4.3.1练习）（1），，，；（2）1，2，3，4；（3）x，x，x，x；（4），，，.A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）C．（1）（4）D．（1）（2）（4）【答案】C【解析】对于（1），公比为2，即为等比数列；对于（2）由于，即（2）不是等比数列；对于（3）当x＝0时，不是等比数列；对于（4）公比为，即为等比数列.故选：C.【变式1-1】下列数列一定是等比数列的是（）A．数列1，2，6，18，…B．数列中，，C．常数列，，…，，…D．数列中，【答案】D【解析】对于A，，，故不是等比数列；对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列；对于C，当时，不是等比数列；对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列．故选：D．【变式1-2】等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为等比数列中有连续四项在集合中，所以中既有正数项也有负数项，所以公比，因为，所以，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值单调递增，按绝对值排列可得，因为，，，，所以是中连续四项，所以，故选：C.【变式1-3】已知数列的通项公式为，则（）A．数列为等差数列，公差B．数列为等差数列，公差C．数列为等比数列，公比D．数列为等比数列，公比【答案】B【解析】∵数列的通项公式为，∴，故数列为等差数列，且公差.故选：B.【变式1-4】（多选）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）A．B．，C．D．【答案】AC【解析】因数列是等比数列，则，为非0常数，对于A，，显然是非0常数，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；对于B，因，则当时，，不是等比数列，B不正确；对于C，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，C正确；对于D，若数列中有负数项，则无意义，若，，则，不是等比数列，D不正确.故选：AC题型二等比数列的通项及基本量【例2】已知为等比数列，，则（）A．1B．C．1或D．【答案】C【解析】∵为等比数列，设公比为q，由，则可得：，则，则或，则，则，故选：C.【变式2-1】在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，则，故.故选：B.【变式2-2】在正项等比数列中，，，则通项公式________．【答案】【解析】由题意设等比数列的公比为（），，因为，，所以，由，得，所以，或（舍去），所以将代入，得，即，解得或（舍去），所以，所以，故答案为：【变式2-3】已知等比数列：，2，，8，…，若取此数列的偶数项，…组成新的数列，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可得，所以.故选：C.【变式2-4】观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．因此第8个数组为，即．故选：C.【变式2-5】在等比数列中，公比为q．（1）若，，求通项公式；（2）若，，求q并写出通项公式；（3）若，，，求项数n．【答案】（1）；（2），；（3）5【解析】（1）因为，，所以（2）由题知，，解得所以（3）由题可知，，即所以，所以题型三等比中项及其应用【例3】“”是“G是a、b的等比中项”的（）条件A．既不充分也不必要B．充分不必要C．必要不充分D．充要【答案】A【解析】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件，故选：A【变式3-1】方程的两根的等比中项是（）A．B．和C．和D．【答案】B【解析】由题意，两根之积为9，所以两根的等比中项为.故选：B.【变式3-2】已知公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，则该等比数列的公比等于（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】公差不为零的等差数列的第2，3，6项依次是一等比数列的连续三项，设等差数列首项为a1，公差为d，，整理得．这个等比数列的公比．故选：D．【变式3-3】已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则，，，∴，∴，解得，∴，即公比为1.故选：D.【变式3-4】在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A．B．C．D．10【答案】B【解析】不妨设插入两个正数为，即∵成等比数列，则成等差数列，则即，解得或（舍去）则，故选：B．题型四等比数列的性质及应用【例4】在等比数列中，，，则______．【答案】31【解析】设，则，所以．故答案为：31【变式4-1】等比数列的各项均为正数，且，则（）A．20B．15C．8D．【答案】B【解析】是等比数列，则，，，，故选：B．【变式4-2】在等比数列中，，则的值为（）A．48B．72C．144D．192【答案】D【解析】数列是等比数列，则，，而，故．故选：D【变式4-3】设是等比数列，且，，则（）A．12B．2C．30D．32【答案】D【解析】设该等比数列的公比为，因为，所以由，所以，故选：D【变式4-4】已知等比数列中，，则公比（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】等比数列中，，设等比数列的公比为，又因为所以，故选：A.题型五等比数列的证明【例5】已知是各项均为正数的等比数列，公比为q，求证：是等比数列，并求该数列的公比．【答案】证明见解析；该数列公比为【解析】因为是各项均为正数的等比数列，公比为q，故，所以为常数，故是等比数列，该数列的公比为.【变式5-1】已知数列满足，.（1）求证：是等比数列.；（2）求.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵，∴，又，，∴，，∴是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，∴.【变式5-2】已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列.【答案】【解析】若数列是等比数列，则（为非零常数），且，即，对于任意恒成立，则，解得，故当时，数列是等比数列.【变式5-3】已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数．（1）对于任意实数，证明：数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当时是等比数列，证明见解析【解析】（1）假设若存在实数，使得数列是等比数列，则必有，，，．由，整理得，矛盾．故假设错误，因此对于任意实数，数列不是等比数列；（2）证明：若存在实数使得数列是等比数列，则常数．，当且仅当，即时上式成立．【变式5-4】已知数列中，，，求证：数列是等比数列.【答案】证明见解析【解析】设，则，且，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.题型六等比数列的单调性与最值【例6】已知数列满足，对一切，，则数列是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．不确定【答案】B【解析】因为，所以数列为等比数列，，又，则，所以得，，故数列是递减数列.故选：B.【变式6-1】等比数列中，首项，则数列是严格递增数列的条件是公比满足（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：，，为严格递增数列，，又，；当，即时，只需恒成立，；当，即时，，不合题意；综上所述：公比满足.故选：C.【变式6-2】（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（）A．B．C．的值是中最大的D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【解析】对于A，，，即，，又，又，，且，，故A正确；对于B，，，即，故B正确；对于C，由于，而，故有，故C错误；对于D，由题可知，所以当时，，即，当时，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.故选：.【变式6-3】（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（）A．B．当时，最小C．当时，最小D．存在，使得【答案】AC【解析】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确.对B，C，由等比数列的性质，，故，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，，故，故D错误.故选：AC题型七用等比数列解决实际问题【例7】2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（）（，）A．40B．41C．42D．43【答案】C【解析】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，由题意知是以为首项，公比为的等比数列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少对折的次数是，故选：C【变式7-1】十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则插入的第8个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，在1和2之