初中数学专题《几何图形初步》章末重难点题型含答案解析

专题12几何图形初步章末重难点题型（13个题型）一、经典基础题题型1直线、射线、线段、角的基本概念题型2角的表示、换算及比较大小题型3直线、射线、线段的实际生活中的应用题型4线段、角度中的计数问题题型5作图问题题型6与线段有关的计算题型7实际背景下线段的计算问题题型8钟面上的角度问题题型9方位角问题题型10一副直角三角形板中的角度问题题型11与角平分线（角的和差）有关的计算题型12余角、补角、对顶角的相关计算题型13七巧板相关问题二、优选提升题题型1直线、射线、线段、角的基本概念解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。例1．（2022·广东汕头七年级期末）下列说法：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线；（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段；其中正确的有（）A．一个 B．两个 C．三个 D．四个【答案】C【分析】（1）根据线段的性质即可求解；（2）根据直线的性质即可求解；（3）余角和补角一定指的是两个角之间的关系，同角的补角比余角大90°；（4）根据两点间的距离的定义即可求解．【解析】（1）两点之间线段最短是正确的；（2）两点确定一条直线是正确的；（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°是正确的；（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段的长度，原来的说法是错误的．故选C．【点睛】本题考查了补角和余角、线段、直线和两点间的距离的定义及性质，是基础知识要熟练掌握．变式1．（2022·山东潍坊·七年级期末）如图，下列说法正确的是（

）A．点O在射线上 B．点B是直线AB的端点C．到点B的距离为3的点有两个 D．经过A，B两点的直线有且只有一条【答案】D【分析】根据射线、直线定义判断A、B，根据两点间的距离判断C，根据直线公理判断D．【详解】解：点O在射线AB上，故A错误，不符合题意；直线没有端点，故B错误，不符合题意；平面内到点B距离为3的点有无数个，故C错误，不符合题意；经过A，B两点的直线有且只有一条，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查射线、直线定义，两点间的距离及直线公理，解题的关键是掌握相关定义、定理、公理．变式2．（2022·河北七年级期末）下列说法正确的是()A．连接两点的线段，叫做两点间的距离B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角【答案】C【分析】根据线段、射线、直线的定义即可解题.【解析】解：A.连接两点的线段长度，叫做两点间的距离B.射线OA与射线AO表示的是同一条射线,错误,射线具有方向性,C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线,正确,D.错误,应该是从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故选Ｃ.【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质,属于简单题,熟悉定义是解题关键.题型2角的表示、换算及比较大小例1．（2022·山东菏泽·七年级期末）角度换算：＝___°．【答案】26.8【分析】根据度分秒的换算法则求解即可．【详解】解：=，故答案为：26.8．【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度分秒的换算法则．变式1．（2022·江西吉安·七年级期末）如下图，下列说法正确的是（

）A．与表示同一个角B．C．图中共有两个角：，D．表示【答案】A【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；B．不一定成立，故选项错误，不符合题意；C．图中共有三个角：，，∠AOC，故选项错误，不符合题意；D．表示，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键．变式2．（2022·湖南永州·七年级期末）若，，，则（

）．A．B．C．D．【答案】A【分析】将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系．【详解】解：∵1°=60′；∴0.25°=60′×0.25=15′；∴∠C=32°15′；∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．【点睛】本题主要考查角的大小比较，需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化．题型3直线、射线、线段的实际生活中的应用解题技巧：主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可例1．（2022·陕西·西安铁一中分校七年级期末）下列现象能用“两点确定一条直线”来解释的是（）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．①③ B．①② C．②④ D．③④【答案】A【分析】直接利用直线的性质以及两点之间线段最短分析得出答案．【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，根据是两点之间线段最短；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．故选：A．【点睛】此题主要考查了线段以及直线的性质，解题的关键是正确把握相关性质．变式1．（2022·河南漯河·七年级期末）下列现象：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上；（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；（3）植树时，只要确定两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有(

)A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）【答案】D【分析】利用直线和线段的性质对选项逐一进行判断得出结论．【详解】（1）利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；（2）可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意；（3）利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；（4）可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意．故选：D．【点睛】本题考查直线和线段的性质，解决本题的关键是对直线和线段的性质熟练应用并熟悉两者的区别．题型4线段、角度中的计数问题例1．（2022·山西·右玉县七年级期末）阅读并填空：问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．【答案】6，10，，6，，20【分析】问题：根据线段的定义解答；知识迁移：根据角的定义解答；学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．【详解】解：问题：根据题意，则；；；知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角；学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数×5×4=10，需要车票的种数：10×2=20（种）．故答案为：6，10，，6，，20；【点睛】此题考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．变式1．（2022·山东青岛·七年级期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】C【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出m、n的值即可．【详解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，所以m+n＝22，故选：C．【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．变式2．（2022·广西贺州·七年级期末）如图，从的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】按一定的规律数角的个数即可．【详解】解：以OA为一边的角有：，以OD为一边的角有：，以OC为一边的角有：，所以，图中共有6个角，故选：C．【点睛】本题通过数角的个数，巩固角的概念，难度适中．题型5作图问题解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。例1．（2022·河北保定·七年级期末）如图，在平面内有三点．(1)画直线，射线，线段；(2)在线段上任取一点D（不同于），连接，并延长至E，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)数一数，此时图中线段共有___条．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8条【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；（2）根据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD，并延长AD至点E，使DE=AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；（3）图中有线段AB、AC、AD、AE、DE、BC、BD、CD，一共8条．【点睛】考查了直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段定义．变式1．（2022·安徽宣城·七年级期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：①画射线AB；②画平角∠BAD；③连接AC．（2）点B、C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道．若节省管道，则沿着线段BC铺设．这样做的数学依据是：．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）两点之间，线段最短【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据平角的定义，作出图形即可；③根据线段的定义，作出图形即可；（2）根据两点之间线段最短解决问题．【详解】解：（1）①如图，射线AB即为所求；②如图，∠BAD即为所求；③如图，线段AC即为所求；（2）沿着线段BC铺设．这样做的数学依据是：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了直线，射线，平角的定义，线段的基本事实，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；两点之间线段最短是解题的关键．变式2．（2022·河南淮滨县·七年级期末）如图，在同一平面内有四个点，，，，请用直尺按下列要求作图：（1）作射线；作直线：连接；（2）如果图中点，，，表示四个村庄，为解决四个村庄的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，要求蓄水池P到四个村庄的距离和最小，请你找出蓄水池的位置．【答案】（1）见解析；（2）图见解析，理由：两点之间，线段最短【分析】（1）根据直线的定义：两端没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度，射线的定义：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形，线段的定义：两点都有端点，不可延长，作图即可；（2）根据两点之间线段最短即可确定P的位置．【详解】解：（1）所作图形如图1所示．（2）如图2，连接，，则与的交点为满足要求的蓄水池的位置，理由：两点之间，线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，直线，射线与线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．题型6与线段有关的计算例1．（2022·浙江·七年级期末）如图，线段是线段上一点，M是的中点，N是的中点．（1），求线段的长；（2）若线段，线段，求的长度（用含的代数式表示）．【答案】（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）【分析】（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即可；（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．【详解】解：（1），是的中点，，，；，，是的中点，是的中点，，，；（2），，，是的中点，是的中点，，，．【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、AN的长．变式1．（2022·湖南新邵县·七年级期末）如图，线段AB＝22cm，C是AB上一点，且AC＝14cm，O是AB的中点，线段OC的长度是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【分析】根据O是AB的中点，求得的长，即可求解．【详解】解：∵O是AB的中点，AB＝22cm，∴OA＝OB＝AB＝×22＝11（cm），∴OC＝AC﹣AO＝14﹣11＝3（cm）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键．变式2．（2022·浙江·）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作．甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则．乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．两人都正确D．两人都不正确【答案】A【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论．【详解】解：甲同学：点C在线段AB上，且，，，甲同学正确．乙同学：点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点，有两种情况，①当时，，②当时，，乙同学错误．故选：A．【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可．题型7实际背景下的计算问题例1．（2022·北京海淀区·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区【答案】B【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．【详解】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m），因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000（m），因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．变式1．（2022·浙江·七年级期中）在数轴上有一线段，左侧端点，右侧端点．将线段沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到和右端点原位置重合时，右端点在数轴上所对应的数为24，若将线段沿数轴向左水平移动，则右端点移动到左端点原位置时，左端点在轴上所对应的数为6（单位：）（1）线段长为_________．（2）由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年龄是_________【答案】70岁【分析】（1）据题意，可知点和点之间的距离为18，且正好是线段AB长的3倍，则可求出AB的长（2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，结合（1）即可求出爷爷的年龄．【详解】（1）如图所示，，，所以．（2）借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，类似爷爷和小红大时看做当B点移动到A点时，此时点A'对应的数为-30，小红和爷爷一样大时看做当点A移动到B点时，此时点B'所对应的数为120，根据（1）中提示，可知爷爷比小红大（岁）所以爷爷的年龄为（岁）．故答案为：①6cm；②70岁．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和线段的应用，找出蕴含的数量关系，以及利用数轴直观解决问题是解题关键．变式2．（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C．【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关题型8钟面上的角度问题例1．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是，列方程解答即可；（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°．（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,∴分针每分钟转过的角度是：,答：分针每分钟转了6度；（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，∵时针一小时转动角度为：，时分针每分钟转过的角度是：；∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，∴时针与分针转过的角度差是，∴，解得：，答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，故列得方程：，解得：，解得：，答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．变式1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹的的角为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：6×30°-×30°=180°-15°=165°，∴时针与分针所夹的的角为165°，故选：B．【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．变式2．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图是从图的时钟抽象出来的图形，已知三角形是等边三角形，，当时针正对点时恰好是：，若时针与三角形一边平行时，时针所指的时间不可能是（

）A．： B．： C．： D．：【答案】D【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：当时，如图2（1），此时对应的时间为：或：；当时，如图2（2），此时对应的时间为：或：；当时，如图2（3），此时对应的时间为：或：；故选：D．【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．题型9方位角问题例1．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图,射线OA表示北偏东30°方向,射线OB表示北偏西50°方向,则∠AOB的度数是（

）A．60° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】根据题意可得∠AOB=30°+50°，进而得出答案．【详解】解：如图所示：∵射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示北偏西50°方向，∴∠AOB=30°+50°=80°．故选：B【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意借助互余两角的关系求出是解题关键．变式1．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可．【详解】解：如图：∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．变式2．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（）A．北偏东B．北偏东C．北偏东D．北偏东【答案】C【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．【详解】解：如图，∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，∴，∴，∵，，，．故选C．【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．题型10一副直角三角形板中的角度问题例1．（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．【答案】(1)CB是∠ECD的角平分线；理由见详解；(2)∠ACE=∠DCE；理由见详解；【分析】（1）根据∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，可知∠ECB=∠ACB=45°，进而可知∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，则∠ECB=∠DCB，由此可证CB是∠ECD的角平分线；（2）由∠ACB=∠DCE=90°，可知∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，则∠ACE=∠DCB．（1）解：猜想CB是∠ECD的角平分线，理由如下：∵∠ACB=90°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ECB=∠ACB=45°，∴∠DCB=∠ECD－∠ECB=90°－45°=45°，∴∠ECB=∠DCB，∴CB是∠ECD的角平分线；（2）猜想：∠ACE=∠DCE，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠DCB＋∠ECB=90°，∴∠ACE=∠DCB．【点睛】本题考查角平分线的判定，角度的转换，能够根据题意分析出角的变换过程是解决本题的关键．变式1．（2022·山东威海·期末）用一副三角板不能画出的角是（

）．A．75° B．105° C．110° D．135°【答案】C【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；110°角用一副三角板不能画出；135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。故选：C．【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．变式2．（2022·山东济南·七年级期末）如图，将一副三角尺的两个直角项点O按如图方式叠放在一起，若∠AOC＝130°，则∠BOD＝（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【分析】根据题意可得，推算出的度数，即可得出的度数．【详解】解：由题可知，，∵∠AOC＝130°，∴∴故选B．【点睛】本题考查了角度的和差计算，推理出角度之间的关系是本题的关键．题型11与角平分线（角的和差）有关的计算例1．（2022·辽宁大连市·）如图1，在内部作射线，，在左侧，且．（1）图1中，若平分平分，则______；（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．【答案】（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案为：120；（2）．证明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如图1，当在的左侧时，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵为的平分线，∴．∴；如图2，当在的右侧时，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵为的平分线，．综上所述，的度数为或．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．变式1．（2022·天津和平区·七年级期中）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝80°，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数．（2）在图1中若∠AOC＝α（其中20°＜α＜100°），请直接用含α的代数式表示∠DOE的度数，不用说明理由．（3）如图2，①请直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，不用说明理由．②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF．试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，直接写出关系式即可，不用说明理由．【答案】（1）10°；（2）α﹣10°；（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°；②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC＝80°可以求得∠DOE的度数；（2）由第（1）问的求法，可以直接写出∠DOE的度数；（3）①首先写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，由∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC＝180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；②首先得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，由∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∠COD＝80°，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．【详解】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC．∴∠COE＝70°．∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣70°＝10°．（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α．∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC．∴∠COE＝90°﹣α．∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝80°﹣90°+α＝α﹣10°．（3）①∠AOC＝2∠DOE+20°．理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD＝80°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠DOE+∠COE＝80°，∠AOC+2∠COE＝180°∴∠COE＝80°﹣∠DOE．∵∠AOC+2∠COE＝180°．∴∠AOC+2（80°﹣∠DOE）＝180°．化简，得：∠AOC＝2∠DOE+20°；②4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．理由：∵∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，∴∠AOC﹣2∠BOE＝5∠AOF．∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOE，∴∠AOC﹣2∠EOC＝5∠AOF．由（3）①知：∠AOC＝2∠DOE+20°，∴2∠DOE+20°﹣2∠EOC＝5∠AOF．∵∠EOC＝∠COD﹣∠DOE＝80°﹣∠DOE，∴2∠DOE+20°﹣2（80°﹣∠DOE）＝5∠AOF．∴4∠DOE﹣140°＝5∠AOF．即4∠DOE﹣5∠AOF＝140°．【点睛】此题主要考查角度的关系综合，解题的关键是熟知角平分线的性质、邻补角的特点．变式2．（2022·广西南宁市·）如图，己知，是内的一条射线，且．（1）求，的度数：（2）作射线平分，在内作射线，使得，求的度数；（3）过点作射线，若，求的度数．【答案】（1），；（2）；（3）或【分析】（1）由，即可求出，的度数；（2）由，，求出；由平分,且，求出的度数；然后由得到结果；（3）分类讨论，画出相关图形，当射线在内部时，根据条件，计算出相关角度，由，得到结果；当射线在外部时，由，得到结果．【详解】解：（1）∵，∴,（2）∵，∴又∵射线平分,且∴∴（3）分两种情况，讨论：①当射线在内部时，作图如下：∵∴又∵,且∴∴，又∵∴②当射线在外部时，作图如下：∵且∴又∵∴∴，又∵∴综上所述，或【点睛】本题考查的是角度的计算，角平分线的性质等，利用分类讨论思想解题是关键．题型12余角、补角、对顶角的相关计算例1．（2022·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正确；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB=180°，所以②正确；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，所以③不正确；∵E、O、F三点共线，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确．所以，正确的结论有3个．故选：C．【点睛】题考查余角和补角、角度的计算、余角的性质及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键．变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，理由是_____．【答案】同角的补角相等【分析】根据补角的性质：同角的补角相等进行解答即可．【详解】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3（同角的补角相等）．故答案为：同角的补角相等．【点睛】本题考查了补角的定义和性质，解题时牢记同角的补角是解题关键．例2．（2022·江苏洪泽区·七年级期末）（问题情境）苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；（变式探究）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝°；（变式拓展）小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．【答案】（1）45°；（2）；（3）【分析】（1）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；（2）首先假设∠AOC=a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，【详解】解：（1）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+90°）﹣a°＝＝45°；（2）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝，故答案为：；（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝∠AOB﹣∠AOC＝（a°+m°）﹣a°＝；②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，由②得，∠BOC＝m°，∠DOE＝∠AOC+∠AOB＝∠BOC＝；综上所述，∠DOE＝．【点睛】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是引入参数a，即设∠AOC=a°，然后在计算中消掉a．题型13七巧板相关问题例1．（2022·山东青岛·七年级期末）把一幅七巧板按如图所示方式进行编号，①～⑦号分别对应着七巧板的七块．如果编号⑤的面积比编号③的面积小6，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积为_________．【答案】32【分析】根据七巧板，可知小正方形的面积等于2个小三角形面积，中等三角形的面积等于2个小三角形面积，小平行四边形面积等于2个小三角形面积，一个大三角形面积等于4个小三角形面积求解即可．【详解】解：设编号⑤对应的面积等于，编号③对应的面积等于，编号⑤的面积比编号③的面积小6，，，∴这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于．故答案为：．【点睛】本题考查七巧板中的几何图形；能够理解七巧板的构图原理是解题的关键．变式1．（2022·河南中原区·七年级期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（）A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．20cm2【答案】C【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的面积，再根据牛头所占面积为正方形面积的可得答案．【详解】解：∵图1的正方形的边长为8cm，∴正方形的面积是64cm2，由牛的拼法可知，牛的头部占正方形的，∴牛头部所占的面积是64×=16cm2，故选：C．【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力．变式2．（2022·福建宁德·七年级期末）七巧板是中国传统数学文化的重要载体．将一块正方形木板制成如图1所示的一副七巧板，小明选择该副七巧板中的若干块拼成了如图2所示的“帆船”图案，其中已经用上编号为①和③的两块，则拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是（

）A．②⑥ B．④⑥⑦ C．⑤⑥⑦ D．④⑤⑥【答案】A【分析】根据七巧板拼凑的方法及拼图的线条即可求解．【详解】解：图2中“帆”的部分由两块大三角形组成，即图1中的①③④，左侧船体是一块小三角形，即③，右侧船体由于帆有一些重合，但根据线条形状不难看出是一个平行四边形，即⑥⑦，所以拼成该“帆船”图案还需要的木块一定是④、⑥和⑦，故选：A．【点睛】本题考查了七巧板的运用，熟练掌握七巧板的拼凑方法是解题的关键．1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，下列说法不正确的是（

）A．∠BAC和∠DAE是同一个角B．∠ABC和∠ACB不是同一个角C．∠ABC可以用∠B表示D．∠AED可以用∠E表示【答案】D【分析】根据角的表示方法，对四种说法逐一甄别．【详解】解：A、∠BAC和∠DAE两边相同，顶点相同，故是同一个角，选项正确，不符合题意；B、由∠ABC和∠ACB顶点不同即可判断二者并非同一角，选项正确，不符合题意；、点处只有一个角，故可以用表示，选项正确，不符合题意；D、由于以点为顶点的角有三个，故不可用表示，选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查角的表示方法，解题的关键是要明确，在同一顶点处有多个角时，只能用三个字母表示．2．（2022·河北石家庄·一模）将量角器按如图方式放置，其中角度为45°的角是（

）A．∠AOB B．∠BOC C．∠COD D．∠DOE【答案】B【分析】根据量角器分别得出每个角的度数即可．【详解】解：由量角器可知，∠AOB＝40°，∠BOC＝45°，∠COD＝55°，∠DOE＝35°，故选：B．【点睛】本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键．3．（2022·天津益中学校七年级期末）下列生产.生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（）A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程 B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线 D．如图4，将甲.乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的【答案】A【分析】利用两点确定一条直线以及两点之间线段最短的性质得出即可．【详解】解A.把弯曲的河道改直，可以缩短航程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项符合题意；B.用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；C.植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；D.将甲.乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的，可用“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了线段的性质，正确把握两点之间线段最短的性质是解题关键．4．（2022·河北秦皇岛·七年级期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（

）种不同的车票A．4 B．8 C．10 D．20【答案】D【分析】把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，先求出线段条数，再乘以2即是车票的种类．【详解】解：把甲乙两地看作是一条线段，线段上有3个点，如图，∴线段一共有（条），而，∴需要准备20种不同的车票，故选D【点睛】本题主要考查运用数学知识解决生活中的问题；关键是需要掌握正确数线段的方法．2．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校期末）芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家（

）方向．A．北偏东35° B．南偏西35° C．西偏南35° D．西偏南25°【答案】C【分析】根据方向的相对性，东偏北对西偏南，度数不变，进行分析．【详解】芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家西偏南35°方向．故选C．【点睛】本题解题的关键是理解方向的相对性，地图上一般按上北下南左西右东确定方向．3．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）如图，点B在点A的（

）方向．A．北偏东35° B．北偏东55° C．北偏西35° D．北偏西55°【答案】C【分析】先求出55°的余角，再根据方向角的定义，即可解答．【详解】解：由题意得：90°﹣55°＝35°，∴如上图，点B在点A的北偏西35°方向，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．5．（2022·重庆·七年级期中）如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间．【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表：，即时针转了24°，∵分针每转动1°，时针转动，由此知：分针转动：，由每一大格对应30°知：，即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置：由此确定此时是10点53分；故答案为：A．【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键．6．（2022·新疆·七年级期末）把一副三角板按照如图所示的位置摆放，使其中一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的边上，形成的两个夹角分别为，，若，则的度数是（

）A．55° B．60° C．65° D．75°【答案】A【分析】根据题意可得，，即可求解．【详解】解：根据题意可得，，则，故选：A【点睛】此题考查了涉及三角板的有关计算，解题的关键是掌握三角板中有关角的度数．7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若，且，求的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据角的和差可得，又根据角的和差可得，再根据即可得．【详解】解：，，，，，又，，，故选：A．【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，正确找出图形中的角之间的联系是解题关键．8．（2022·浙江金华·七年级期末）一张小凳子的结构如图所示，，，则(

)A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据和互为补角，得，根据三角形内角和为，，得，即可求出的角度．【详解】∵和互为补角∴∵∴又∵在中，，∴∴故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理、补角的知识，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、补角的性质．9．（2022·安徽合肥·七年级期末）若∠1与∠3互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠2的关系是（）A．∠1＝∠2 B．∠1与∠2互余 C．∠1与∠2互补 D．∠2－∠1＝90°【答案】D【分析】根据余解和补角的定义求解即可．【详解】解：∠1与∠3互余，∠1＋∠3＝90°，∠3＝90°－∠1．∠2与∠3互补，∠2＋∠3＝180°，∠2＋90°－∠1＝180°，即∠2－∠1＝90°．故选：D．【点睛】本题考查余角和补角定义，两角的和等于90度，这两角和互为余角；两角和为180度，则这两角互为补角．10．（2022·河北泊头初一期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有____________个．【答案】6【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的点P最多有6个．故答案为：6．【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．11．（2022·浙江杭州市·七年级期中）工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在_________处，工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？如果工作台由5个改为A、B、C、D、E、F，6个，那么工具箱应该放在___________________，操作机器的人取工具所走的路程之和最短？【答案】CC与D之间【分析】假设工具箱分别设置在A、B、C、D、E的位置，根据图示求出设置在以上位置时工人经过的总路程，然后进行比较即可；再根据题意及图示，分工具箱的安放位置在A与B之间，在B与C之间，在C与D之间，在D与E之间，在E与F之间进行讨论．【详解】解：如图，∵若放在A点，则总路程=AB+AC+AD+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB；若放在B点，则总路程=AB+BC+BD+BE=AB+AB+2AB+3AB=7AB；若放在C点，则总路程=AC+BC+CD+CE=2AB+AB+AB+2AB=6AB；若放在D点，则总路程=DE+CD+BD+AD=AB+AB+2AB+3AB=7AB；若放在E点，则总路程=DE+CE+BE+AE=AB+2AB+3AB+4AB=10AB，∴将工具箱放在C处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短．如果工作台由5个改为6个，如图，位置在A与B之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+BD+BE；位置在B与C之间：拿到工具的距离和＞AF+BC+CD+CE；位置在C与D之间：拿到工具的距离和=AF+BE+CD；位置在D与E之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CD；位置在E与F之间：拿到工具的距离和＞AF+BE+CE；∴将工具箱放在C与D之间，能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短．【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．12．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．【答案】

20

240

20【分析】根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，乘以走的时间即可求解【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于度/分钟，时针转动的速度等于度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了度，分针转了度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是度．故答案为：20；240；20【点睛】本题考查钟面角，需注意一开始时针与分针的位置不一定重合13．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：①；②；③；④．其中不正确的是_________．（写出序号）【答案】①③④【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．【详解】解：∵，，∴当时，，故①不正确；∵∴②正确；∵∴③不正确；∵，，∴∴④不正确；综上所述：不正确的是①③④，故答案为：①③④【点睛】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．14．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为_____．【答案】60°##60度【分析】设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，由∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝200°求出x，进而求解．【详解】解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD，设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°，∴x＝20°，∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°．15．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是．【答案】12.5【分析】如图，将正方形分成4个大三角形，再将右面的三角形分成4个小三角形，阴影部分占2个小三角形，所以占右下大三角形的一半，它的面积就用正方形的面积除以4再除以2求得．【详解】解：正方形的面积为10×10=100（）∴100÷4÷2=12.5（）∴涂色正方形的面积是12.5．故答案为：12.5．【点睛】本题考查了七巧板，利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质．解答本题的关键是把阴影部分的面积转化为正方形面积的几分之几．16．（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，在∠AOB的内部以O为端点引出1条射线，那么图中共有3个角；如果引出2条射线，共有6个角；如果引出n条射线，共有______个角．【答案】【分析】首先分析在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2个角，引2条线段，有1+2+3个角，···进而得出引n条线段，有角的个数，得出答案即可．【详解】在∠AOB的内部以O端点引1条射线，有1+2=3（个）角，引2条线段，有1+2+3=6（个）角，···引n条线段，有（个）角，故答案为：．【点睛】本题主要考查了数角的个数，掌握数字变化规律式解题的关键．17．（2022·河北承德·七年级期末）（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：①画直线AB；②画射线DC交直线AB于点E；③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF=BD．（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．①用式子表示花卉区的面积为______，草坪的面积为________；②若长方形的长为，宽为，圆形的半径为，铺设每平方m草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（）．【答案】（1）见解析；（2）①πR2；ab-πR2．②铺设草坪大约共需支付47000元．【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义画出图形即可．（2）①利用圆的面积公式可求得花卉区的面积，根据草坪的面积等于长方形的面积减去花卉区的面积即可求解；②根据题①的结论，将相应的数代入计算即可得．【详解】解：（1）①直线AB如图所示：②如图所示；③如图所示；（2）①花卉区的面积为πR2；草坪的面积=长方形的面积-花卉区的面积=ab-πR2，故答案为：πR2；ab-πR2．②当a=100m，b=50m，R=10m时，草坪的面积=100×50-π×102=5000-100π（m2），铺设草坪大约共需支付10×(5000-100π)≈47000(元)．∴铺设草坪大约共需支付47000元．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段的定义以及列代数式、代数式求值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，依据题意，正确列出代数式．18．（2022·山东东昌府区·七年级期末）如图，点C为线段AB上一点，AC=16cm，CB=10cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=bcm，其他条件不变，求出线段MN的长并说明理由．【答案】（1）13cm；（2）bcm，理由见解析【分析】（1）根据线段中点求出CM、CN长，相加即可求出答案；（2）根据线段中点得出CM=AC，CN=BC，求出MN=（AC+BC），代入即可得出答案．【详解】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC=16cm，CB=12cm，∴CM=AC=16cm，CN=BC=10cm，∴MN=CM+CN=16cm+10cm=13cm，即线段MN的长是13cm；（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB=bcm，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=bcm，即线段MN的长是bcm．【点睛】本题考查了线段中点定义和两点间的距离的应用，主要考查学生的计算能力，本题比较典型，是一道比较好且比较容易出错的题目．19．（2022·河北石家庄市·七年级期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长cm；（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．【答案】（1）16；（2）MN＝6cm；（3）同意，理由见解析【分析】（1）根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解AB的长；（2）根据线段中点的定义可求得AB=2MN，即可求解MN的值；（3）可分两种情况：当P点在线段AB延长线上时，当P点在线段BA延长线上时，根据中点的定义求解M，N两点间的距离．【详解】解：（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，∵MP=4cm，∴AP=8cm，∵P为AB的中点，∴AB=2AP=16cm，故答案为：16；（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；（3）同意．理由：当P点在线段AB延长线上时，∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP-BP=2MP-2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；当P点在线段BA延长线上时，∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，∴BP-AP=2PN-2MP=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，由线段中点的定义求解两点间的距离是解题的关键．20．（2022·山东郓城县·七年级期末）某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米．【答案】A，B两市相距600千米．【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到，，，由计算即可得出结果．【详解】如图，由题意可知，千米，，，∴（千米）∴（千米）答：