二重积分计算-经典课件

二重积分的计算1.利用直角坐标计算二重积分2.利用极坐标计算二重积分3.＊二重积分的变量变换12/24/20221二重积分的计算1.利用直角坐标计算二重积分2.利用极坐⑤若

ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:①为方便，上式也常记为：③积分次序:X-型域先y后x;④积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于y

轴的射线穿插区域。②说明:二重积分可化为二次定积分计算;12/24/20222⑤若ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:①为方便，上式也cyd

D：

1(x)x2(x)(2)Y－型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)yY型区域的特点：平行于x轴且穿过区域内部的直线与区域边界的交点不多于两个。积分限确定法：注意:

①积分次序:

Y-型域,先

x后y;

②

积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于

x轴的射线穿插区域。12/24/20223cydD：1(x)x注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确确定积分限，一定要做到熟练、准确。(5)利用直角系计算二重积分的步骤①画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；③确定积分限，化为二次定积分；②根据积分区域类型,确定积分次序；④计算二次积分，即可得出结果.12/24/20224注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确(5)利用直角解：［X－型］ox12/24/20225解：［X－型］ox12/16/20225［Y－型］oy12/24/20226［Y－型］oy12/16/20226例2.解：X-型ox12/24/20227例2.解：X-型ox12/16/20227例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.

解:为计算简便,先对

x后对

y积分,及直线则

12/24/20228例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便注：若将D视为x

-型，则需对D分割如下图。12/24/20229注：若将D视为x-型，则需对D分割如下图。12/16/例4.计算其中D是直线

所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对

x

积分不行,

说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.12/24/202210例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则12/24/202211例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型画出积分区域如图xyo231原式练习：改变积分次序解:积分域由两部分组成:改为X–型12/24/202212画出积分区域如图xyo231原式练习：改变积分次序解:积分例6.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,12/24/202213例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,122.利用极坐标计算二重积分

当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。例如:12/24/2022142.利用极坐标计算二重积分当一些二重积分直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系(1)直角坐标系与极坐标系的关系。Rxyo2Rxyo2R。RxyoRR-R-R12/24/202215直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系(1)直角坐标系与极坐（3）注意：“三换”：被积函数：积分区域：面积元素：坐标变量的转换边界曲线的转换面积元素的转换12/24/202216（3）注意：“三换”：被积函数：积分区域：面积元素：坐标变总结上述：在极坐标系下被积函数：积分区域：面积元素：二重积分化为两个单积分。适合：1.被积函数含有形式的;2.积分区域是圆、环、扇形域的。注意：根据极点在区域外、边界上、区域内把12/24/202217总结上述：在极坐标系下被积函数：积分区域：面积元素：二重积分2D1xyo例8.计算其中解:在极坐标系下原式故12/24/2022182D1xyo例8.计算其中解:在极坐标系下原式故12/16例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.rO12/24/202219例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故例10.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.

解:设由对称性可知12/24/202220例10.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解例10.计算双纽线所围成的图形的面积根据对称性有

12/24/202221解例10.计算双纽线所围成的图形的面积根据对称性有12备选：xyo11解：画出积分区域D如右(X-型)原式原函数求不出！把积分区域D视为Y-型原式12/24/202222备选：xyo11解：画出积分区域D如右(X-型)原式原函数求解：如图，由曲面方程消去z得立体在xoy面投影区域为xyzo12/24/202223解：如图，由曲面方程消去z得立体在xoy面投影区域为xyzooyxroyxroyxroyxr常用曲线的极坐标曲线：12/24/202224oyxroyxroyxroyxr常用曲线的极坐标曲线：12/三重积分的计算一、三重积分的概念

二、三重积分的计算12/24/202225三重积分的计算一、三重积分的概念二、三重积分的计算12二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:12/24/202226二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy12/24/202227zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,

解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx12/24/202228例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解例4.计算其中是由

z=x2+y2和

z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]12/24/202229例4.计算其中是由z=x2+y2和z=1所围成的其中为三个坐标例6.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面12/24/202230其中为三个坐标例6.计算三重积分所围成的闭区域.解例7.

计算三重积分解:

用“先二后一”12/24/202231例7.计算三重积分解:用“先二后一”12/162、利用柱面坐标计算三重积分(0≤

<+,0≤≤2,<z<+)rzM•0xzyyxM

(

,,z)x=rcosy=

sinz=z12/24/2022322、利用柱面坐标计算三重积分(0≤<+,0≤≤2其中为由例8.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.12/24/202233其中为由例8.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平例9.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=12/24/202234例9.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中例.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为计算也可用极坐标！12/24/202235例.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两yzxoaaa例2：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.解：由对称性A=4A1(A1第一卦限部分）曲面方程:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxy12/24/202236yzxoaaa例2：求球面x2+y2+z2zyxDxy面积12/24/202237zyxDxy面积12/16/202237例1.

计算其中

L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.

(P189例1)

解:上点

O(0,0)12/24/202238例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一例2.计算其中

L为(1)半径为

a

圆心在原点的

上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点

A(a,0)沿

x轴到点B(–a,0).解:

(1)取L的参数方程为(2)取

L的方程为则则（P197例2）路径不同，积分不同！12/24/202239例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的例4.

计算其中L为上半从

O(0,0)到

A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,则12/24/202240例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4例5.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.

证:设则由定理2可知,存在函数

u(x,y)使。。12/24/202241例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:Dxyh(P217例1)

12/24/202242例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:Dxy例2.

计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.(P218例2)

解:设上的部分,则与

原式=分别表示在平面

12/24/202243例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.(解根据对称性

思考:下述解法是否正确:例2.计算球面外侧在的部分.(P226例2)

其中Σ是12/24/202244解根据对称性思考:下述解法是否正确:例2.计算球面外侧在12/24/20224512/16/202245一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域

由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数

P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,

则有

(Gauss公式)12/24/202246一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域例1.用Gauss

公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.

解:这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面

z=0,z=3

所围空间思考:若

改为内侧,结果有何变化?

若

为圆柱侧面(取外侧),如何计算?

12/24/202247例1.用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个例3.设

为曲面取上侧,求

解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标12/24/202248例3.设为曲面取上侧,求解:作取下侧的辅助面用柱二重积分的计算1.利用直角坐标计算二重积分2.利用极坐标计算二重积分3.＊二重积分的变量变换12/24/202249二重积分的计算1.利用直角坐标计算二重积分2.利用极坐⑤若

ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:①为方便，上式也常记为：③积分次序:X-型域先y后x;④积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于y

轴的射线穿插区域。②说明:二重积分可化为二次定积分计算;12/24/202250⑤若ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:①为方便，上式也cyd

D：

1(x)x2(x)(2)Y－型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)yY型区域的特点：平行于x轴且穿过区域内部的直线与区域边界的交点不多于两个。积分限确定法：注意:

①积分次序:

Y-型域,先

x后y;

②

积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于

x轴的射线穿插区域。12/24/202251cydD：1(x)x注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确确定积分限，一定要做到熟练、准确。(5)利用直角系计算二重积分的步骤①画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；③确定积分限，化为二次定积分；②根据积分区域类型,确定积分次序；④计算二次积分，即可得出结果.12/24/202252注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确(5)利用直角解：［X－型］ox12/24/202253解：［X－型］ox12/16/20225［Y－型］oy12/24/202254［Y－型］oy12/16/20226例2.解：X-型ox12/24/202255例2.解：X-型ox12/16/20227例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.

解:为计算简便,先对

x后对

y积分,及直线则

12/24/202256例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便注：若将D视为x

-型，则需对D分割如下图。12/24/202257注：若将D视为x-型，则需对D分割如下图。12/16/例4.计算其中D是直线

所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对

x

积分不行,

说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.12/24/202258例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则12/24/202259例5.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型画出积分区域如图xyo231原式练习：改变积分次序解:积分域由两部分组成:改为X–型12/24/202260画出积分区域如图xyo231原式练习：改变积分次序解:积分例6.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,12/24/202261例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,122.利用极坐标计算二重积分

当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。例如:12/24/2022622.利用极坐标计算二重积分当一些二重积分直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系(1)直角坐标系与极坐标系的关系。Rxyo2Rxyo2R。RxyoRR-R-R12/24/202263直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系(1)直角坐标系与极坐（3）注意：“三换”：被积函数：积分区域：面积元素：坐标变量的转换边界曲线的转换面积元素的转换12/24/202264（3）注意：“三换”：被积函数：积分区域：面积元素：坐标变总结上述：在极坐标系下被积函数：积分区域：面积元素：二重积分化为两个单积分。适合：1.被积函数含有形式的;2.积分区域是圆、环、扇形域的。注意：根据极点在区域外、边界上、区域内把12/24/202265总结上述：在极坐标系下被积函数：积分区域：面积元素：二重积分2D1xyo例8.计算其中解:在极坐标系下原式故12/24/2022662D1xyo例8.计算其中解:在极坐标系下原式故12/16例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.rO12/24/202267例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故例10.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.

解:设由对称性可知12/24/202268例10.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解例10.计算双纽线所围成的图形的面积根据对称性有

12/24/202269解例10.计算双纽线所围成的图形的面积根据对称性有12备选：xyo11解：画出积分区域D如右(X-型)原式原函数求不出！把积分区域D视为Y-型原式12/24/202270备选：xyo11解：画出积分区域D如右(X-型)原式原函数求解：如图，由曲面方程消去z得立体在xoy面投影区域为xyzo12/24/202271解：如图，由曲面方程消去z得立体在xoy面投影区域为xyzooyxroyxroyxroyxr常用曲线的极坐标曲线：12/24/202272oyxroyxroyxroyxr常用曲线的极坐标曲线：12/三重积分的计算一、三重积分的概念

二、三重积分的计算12/24/202273三重积分的计算一、三重积分的概念二、三重积分的计算12二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:12/24/202274二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy12/24/202275zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,

解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx12/24/202276例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解例4.计算其中是由

z=x2+y2和

z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]12/24/202277例4.计算其中是由z=x2+y2和z=1所围成的其中为三个坐标例6.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面12/24/202278其中为三个坐标例6.计算三重积分所围成的闭区域.解例7.

计算三重积分解:

用“先二后一”12/24/202279例7.计算三重积分解:用“先二后一”12/162、利用柱面坐标计算三重积分(0≤

<+,0≤≤2,<z<+)rzM•0xzyyxM

(

,,z)x=rcosy=

sinz=z12/24/2022802、利用柱面坐标计算三重积分(0≤<+,0≤≤2其中为由例8.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.12/24/202281其中为由例8.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平例9.

计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=12/24/202282例9.计算三重积分解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中例.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为计算也可用极坐标！12/24/202283例.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两yzxoaaa例2：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.解：由对称性A=4A1(A1第一卦限部分）曲面方程:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxy12/24/202284yzxoaaa例2：求球面x2+y2+z2zyxDxy面积12/24/202285zyxDxy面积12/16/202237例1.

计算其中

L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.

(P189例1)

解:上点

O(0,0)12/24/202286例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一例2.计算其中

L为(1)半径为

a

圆心在原点的

上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点

A(a,0)沿

x轴到点B(–a,0).解:

(1)取L的参数方程为(2)取