最新沪科版九年级数学上册课件2123-二次函数表达式的确定

21.2二次函数的图象和性质*3.二次函数表达式的确定2022/12/24121.2二次函数的图象和性质*3.二次函数表达式的确定2学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）2022/12/242学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）202导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）2022/12/243导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定一般式法二次函数的表达式探究归纳问题1

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15讲授新课2022/12/244一般式法二次函数的表达式探究归纳问题1（1）二次函数y=a解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）2022/12/245解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法2022/12/246这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.归纳总结一般例1

一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是2022/12/247例1一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3练一练:

已知关于x的二次函数，当x=0时，

y=－1；当x=－2时，

y=0；当x=时，

y=0，求这个二次函数的解析式.由题意得：解：设所求的二次函数为,2cbxaxy++=解得所求的二次函数为2022/12/248练一练:

已知关于x的二次函数，当x=0时，y=－1；当x顶点法求二次函数的表达式选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，

解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.2022/12/249顶点法求二次函数的表达式选取顶点（-2，1）和点（1，-8）归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.2022/12/2410归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表例2

一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为

y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得

0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函数的解析式是2022/12/2411例2一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得

y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.

交点法求二次函数的表达式xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-5122022/12/2412解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与归纳总结交点法求二次函数表达式的方法

这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.2022/12/2413归纳总结交点法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.2022/12/2414想一想任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但特殊条件的二次函数的表达式例3.已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{关于y轴对称2022/12/2415特殊条件的二次函数的表达式例3.已知二次函数y＝ax2＋已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，∴{

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.2022/12/2416已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)BC二次函数与一次函数的综合解：如图所示；例5：抛物线与直线交于B,C两点.（1）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；2022/12/2417BC二次函数与一次函数的综合解：如图所示；例5：抛物线解：由（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；xyOA2-1-2-3-1216486BC得点A的坐标为（4,0）解方程组得B（2,2）,C（7,4.5）2022/12/2418解：由（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；xyOA2-xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2C12022/12/2419xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x练一练

如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA2022/12/2420练一练如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是

.注意：y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.xyO12-1-2-3-4321-13452022/12/2421当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+62022/12/24222.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，2022/12/24233.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.2022/12/24244.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；2022/12/24255.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．解：∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.2022/12/2426(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)

(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式2022/12/2427课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物21.2二次函数的图象和性质*3.二次函数表达式的确定2022/12/242821.2二次函数的图象和性质*3.二次函数表达式的确定2学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）2022/12/2429学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）202导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）2022/12/2430导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定一般式法二次函数的表达式探究归纳问题1

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15讲授新课2022/12/2431一般式法二次函数的表达式探究归纳问题1（1）二次函数y=a解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）2022/12/2432解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法2022/12/2433这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.归纳总结一般例1

一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是2022/12/2434例1一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3练一练:

已知关于x的二次函数，当x=0时，

y=－1；当x=－2时，

y=0；当x=时，

y=0，求这个二次函数的解析式.由题意得：解：设所求的二次函数为,2cbxaxy++=解得所求的二次函数为2022/12/2435练一练:

已知关于x的二次函数，当x=0时，y=－1；当x顶点法求二次函数的表达式选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，

解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.2022/12/2436顶点法求二次函数的表达式选取顶点（-2，1）和点（1，-8）归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.2022/12/2437归纳总结顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表例2

一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为

y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得

0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函数的解析式是2022/12/2438例2一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得

y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.

交点法求二次函数的表达式xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-5122022/12/2439解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与归纳总结交点法求二次函数表达式的方法

这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.2022/12/2440归纳总结交点法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.2022/12/2441想一想任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但特殊条件的二次函数的表达式例3.已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{关于y轴对称2022/12/2442特殊条件的二次函数的表达式例3.已知二次函数y＝ax2＋已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，∴{

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.2022/12/2443已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)BC二次函数与一次函数的综合解：如图所示；例5：抛物线与直线交于B,C两点.（1）在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线；2022/12/2444BC二次函数与一次函数的综合解：如图所示；例5：抛物线解：由（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；xyOA2-1-2-3-1216486BC得点A的坐标为（4,0）解方程组得B（2,2）,C（7,4.5）2022/12/2445解：由（2）记抛物线的顶点A，求△ABC的面积；xyOA2-xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x轴垂线，垂直为B1,C2C12022/12/2446xyOAB1-1-2-3-1216486BC过B,C两点作x练一练

如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）xOyAOxyBxOyCxOyDA2022/12/2447练一练如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是

.注意：y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.xyO12-1-2-3-4321-13452022/12/2448当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+62022/12/24492.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得