工科数学分析-36泰勒公式课件

1几个初等函数的麦克劳林公式小结思考题作业

泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似计算与误差估计其它应用第六节泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立1几个初等函数的麦克劳林公式小结思考题作业泰勒(2简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.而其系数?用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢?一、泰勒公式的建立熟悉的函数来近似代替复杂函数.—

应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒公式2简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分3回想微分一次多项式泰勒公式3回想微分一次多项式泰勒公式4（如下图）如

以直代曲泰勒公式4（如下图）如以直代曲泰勒公式5需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.希望一次多项式用适当的高次多项式泰勒公式误差是的高阶无穷小问题(1)

系数怎么定?(2)

误差(如何估计)表达式是什么?5需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精6猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交1.n次多项式系数的确定泰勒公式6猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好17假设泰勒公式7假设泰勒公式8同理可得即泰勒公式8同理可得即泰勒公式9从而泰勒公式9从而泰勒公式10说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直到n阶导数值.从而称为n阶泰勒多项式.称为泰勒系数.10说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直11公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式11公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式12下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理1(带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式)设则带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式泰勒公式12下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理113证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明.泰勒公式13证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定14下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的误差.泰勒公式14下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的15定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式)设则泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式15定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公16分析即证也即证其中泰勒公式16分析即证也即证其中泰勒公式17证令由要求泰勒公式17证令由要求泰勒公式18

柯西定理

柯西定理用1次用2次泰勒公式18柯西定理柯西定理用1次用2次泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式20拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式20拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式21注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则泰勒公式21注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则22泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适当的n,使近似代替达到要求的任意精度.22泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适23皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意)当对余项要求不高时,可用皮亚诺型余项带有皮亚诺型余项(4)展开式是唯一的泰勒公式23皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.24(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:n阶泰勒公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式24(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)25麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有拉格朗日型余项带有皮亚诺型余项泰勒公式25麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带26解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳林公式.麦克劳林(Maclaurin)公式于是有的近似表达公式泰勒公式26解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳27有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式27有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式28解例2因为泰勒公式所以28解例2因为泰勒公式所以29误差为泰勒公式29误差为泰勒公式30泰勒公式泰勒多项式逼近30泰勒公式泰勒多项式逼近31类似地,有泰勒公式31类似地,有泰勒公式32解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一阶泰勒公式是其中三阶泰勒公式是32解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.33

常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!33常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!34泰勒公式34泰勒公式35泰勒公式35泰勒公式36例3

解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得

带拉格朗日型余项的公式展开问题注一般不能用这种方法.泰勒公式36例3解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得37须解决问题的类型:(1)已知x和误差界,要求确定项数n;(2)

已知项数n和x,计算近似值并估计误差;(3)已知项数

n和误差界,确定公式中

x

的三、近似计算与误差估计适用范围.泰勒公式37须解决问题的类型:(1)已知x和误差界,要求确定项38例4

解

已知x和误差界,要求确定项数n泰勒公式38例4解已知x和误差界,要求确定项数n泰勒公式39满足要求.泰勒公式39满足要求.泰勒公式40四、其它应用常用函数的泰勒展开求例5

型未定式泰勒公式

解

因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了.40四、其它应用常用函数的泰勒展开求例5型未定式泰勒公式41求极限练习41求极限练习42

利用泰勒公式可以证明不等式(多个点的函数值的关系).例6证明:提示:泰勒公式凸函数的定义42利用泰勒公式可以证明不等式(多个点的函数值的关43例7设上的最小值.求证:提示:

利用泰勒公式可以证明不等式(有关高阶导与函数值的关系).泰勒公式43例7设上的最小值.求证:提示:利用泰勒公式44例8.设求证:提示:泰勒公式44例8.设求证:提示:泰勒公式45

利用泰勒公式可以证明不等式(有关高阶导与函数值的关系).例9证明:提示:泰勒公式45利用泰勒公式可以证明不等式(有关高阶导与函数值46五、小结

多项式局部逼近.

了解泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用.

泰勒(Taylor)公式的数学思想熟记常用函数的麦克劳林公式;掌握泰勒(Taylor)公式的其他应用.泰勒公式46五、小结多项式局部逼近.了解泰勒(Taylor)公式47解故由于有因显然,泰勒公式思考题47解故由于有因显然,泰勒公式思考题48作业习题3.6(148页)5.6.(5)泰勒公式48作业习题3.6(148页)5.6.(5)泰勒公49几个初等函数的麦克劳林公式小结思考题作业

泰勒(Taylor)（英）1685-1731近似计算与误差估计其它应用第六节泰勒(Taylor)公式第三章微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立1几个初等函数的麦克劳林公式小结思考题作业泰勒(50简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.而其系数?用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢?一、泰勒公式的建立熟悉的函数来近似代替复杂函数.—

应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒公式2简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分51回想微分一次多项式泰勒公式3回想微分一次多项式泰勒公式52（如下图）如

以直代曲泰勒公式4（如下图）如以直代曲泰勒公式53需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.希望一次多项式用适当的高次多项式泰勒公式误差是的高阶无穷小问题(1)

系数怎么定?(2)

误差(如何估计)表达式是什么?5需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精54猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交1.n次多项式系数的确定泰勒公式6猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好155假设泰勒公式7假设泰勒公式56同理可得即泰勒公式8同理可得即泰勒公式57从而泰勒公式9从而泰勒公式58说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直到n阶导数值.从而称为n阶泰勒多项式.称为泰勒系数.10说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直59公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式11公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式60下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理1(带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式)设则带有皮亚诺型余项n阶泰勒公式泰勒公式12下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理161证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明.泰勒公式13证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定62下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的误差.泰勒公式14下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的63定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式)设则泰勒(Taylor)中值定理泰勒公式15定理2(带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公64分析即证也即证其中泰勒公式16分析即证也即证其中泰勒公式65证令由要求泰勒公式17证令由要求泰勒公式66

柯西定理

柯西定理用1次用2次泰勒公式18柯西定理柯西定理用1次用2次泰勒公式67如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式19如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式68拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式20拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式69注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则泰勒公式21注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则70泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适当的n,使近似代替达到要求的任意精度.22泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适71皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意)当对余项要求不高时,可用皮亚诺型余项带有皮亚诺型余项(4)展开式是唯一的泰勒公式23皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.72(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:n阶泰勒公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式泰勒公式24(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)73麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有拉格朗日型余项带有皮亚诺型余项泰勒公式25麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带74解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳林公式.麦克劳林(Maclaurin)公式于是有的近似表达公式泰勒公式26解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳75有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式27有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式76解例2因为泰勒公式所以28解例2因为泰勒公式所以77误差为泰勒公式29误差为泰勒公式78泰勒公式泰勒多项式逼近30泰勒公式泰勒多项式逼近79类似地,有泰勒公式31类似地,有泰勒公式80解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一阶泰勒公式是其中三阶泰勒公式是32解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.81

常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!33常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!82泰勒公式34泰勒公式83泰勒公式35泰勒公式84例3

解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得

带拉格朗日型余项的公式展开问题注一般不能用这种方法.泰勒公式36例3解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得85须解决问题的类型:(1)已知x和误差界,要求确定项数n;(2)

已知项数n和x,计算近似值并估计误差;(3)已知项数

n和误差界,确定公式中

x

的三、近似计算与误差估计适用范围.泰勒公式37须解决问题的类型:(1)已知x和误差界,要求确定项86例4

解

已知x和误差界,要求确定项数n泰勒公式38例4解已知x和误差界,要求确定项数n泰勒公式87满足要求.泰勒公式39满足要求.泰勒公式88四、其它应用常用函数的泰勒