龙门高三数学 第五篇 第三节 平行关系自主复习（文） 北师大

第三节平行关系考纲点击1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.热点提示1.以选择、填空的形式考查线与面、面与面平行关系的判定与性质定理的内容.2.在解答题中，综合考查定理的应用.整理ppt1．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：平面外一条直线与平

行，则该直线与此平面平行．(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线

．2．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：一个平面内的

与另一个平面平行，则这两个平面平行．此平面内的一条直线平行两条相交直线整理ppt整理ppt1．对于直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是(

)A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n【解析】

A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．【答案】

C整理ppt2．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为(

)A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，a⊂α，则a∥βC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b【解析】

A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a⊂α，则a与β无公共点，∴a∥β.【答案】

B整理ppt3．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线【解析】因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．【答案】

D整理ppt4．在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【解析】∵M、N分别为△ACD与△BCD的重心，∴MN∥AB，∴MN∥面ABC，MN∥面ABD.【答案】面ABC、面ABD整理ppt5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1中点，过E、C1、C作一截面，则截面的面积为________．整理ppt如图，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC，BE∥CF，∠BCF＝90°，求证：AE∥平面DCF.整理ppt【自主探究】过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形，所以AD

EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，所以AE∥平面DCF.整理ppt【方法点评】判定直线与平面平行，主要有三种方法：(1)利用定义(常用反证法)．(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．【特别提醒】线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．整理ppt1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC中点．证明：PA∥面EDB.【证明】连接AC交BD于O，连接EO，则O为AC中点．又∵E为PC中点，∴EO为△PCA的中位线，∴EO∥PA.又PA⊄面EDB，EO⊂面EDB，∴PA∥平面EDB.整理ppt如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF∥平面BCGH.【思路点拨】本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明．整理ppt【自主探究】△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，∴EF∥平面BCGH.又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1G

FC.∴四边形A1FCG为平行四边形．∴A1F∥GC.又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，∴A1F∥平面BCGH.又∵A1F∩EF＝F，∴平面A1EF∥平面BCGH.整理ppt整理ppt2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1A和C1C的中点，求证：面EB1D1∥面FDB.【证明】如图，连接ED、B1F，设正方体棱长为a.则EB1=DF=ED=B1F∴四边形EDFB1为菱形．∴EB1∥DF.又DF⊂面DBF，EB1⊄面DBF，∴EB1∥面DBF.同理ED1∥面DBF.又EB1∩ED1=E，∴面EB1D1∥面DBF.整理ppt如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大．【思路点拨】先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值．整理ppt整理ppt【方法点评】利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题．整理ppt3．(2008年扬州月考)如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.整理ppt【解析】如右图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴MO∥PA.又∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.整理ppt1．(2009年广东高考)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是(

)A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④整理ppt【解析】①显然错误，因为这两条直线相交才满足条件；②成立；③错误，这两条直线可能平行，相交，也可能异面；④成立，用反证法容易证明．故选D【答案】

D整理ppt2．(2009年福建高考)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是(

)A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【解析】∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．故选B.【答案】

B整理ppt3．(2009年江苏高考)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)整理ppt【解析】

(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．(3)如图，α∩β=l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．【答案】

(1)(2)整理ppt4．(2009年江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.【解析】

(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C，故A1D⊥平面BB1C1C.又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.整理ppt1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义——判定定理——性质定理——应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作