数列倒序相加、错位相减、分组求和

数列倒序相加、错位相减、分组求和

数列倒序相加、错位相减、分组求和.选择题（共2小题）（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=xa的图象过点（4,2）'令a=1，nQ4•，记n数列｛%｝的前n项和为气，则S2015=（）A.•苏TB.•苏TC•莎-1d.，商T（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2・cos（xn），若a=f（n）+f（n+1），则⑥4a=（）拦iA.-2015B.-2014C.2014D.2015二・填空题（共8小题）VL则f(a)+f(1・a)=3.（2015春•温州校级期中）设心尸，若0Va4x+2）"（赤）十•••+「（褴），f(——)+f(2Q15____(2011春•启东市校级月考)S=1-2+3-4+5nn+1-6+・・・+(-1VL则f(a)+f(1・a)=）"（赤）十•••+「（褴）n+1100200301(2010•武进区校级模拟)数列｛a｝满足a(n6)'气=1，S是｛%｝的前n项和，则S21=

6.（2012•新课标）数列｛a｝满足a「（-1）na=2n-1,贝血｝的前60项和为山・nnTOC\o"1-5"\h\z7・（2015•张家港市校级模拟）已知数列｛aj满足a=1,a・a=2n（n€N*）,则S=・8：（2009•上海模拟）在数列｛打中，％=0,气=2,且a-a=1+（-1）（n€N*）,则n+2nns1尸—9.（2012•江苏模拟）设数列｛a｝的前n项和为n\o"CurrentDocument"2，则lal+lal+・・・+la1=・Sn=n2-4n+l八"12n10（2013春•温州期中）等比数列｛a｝中，若a=,n1万a=-4,Ulal+lal+…+lal=・412n三・解答题（共15小题）.在数列伍｝中，a=-18,a=a+2,求：lal+lal+・・・+lal.（2010•云r南模拟）已知数列｛a｝的前n项和nSn=25n-2n2（1）求证：｛a｝是等差数列・n（2）求数列｛lanl｝的前n项和Tn・13・已知在数列伍｝中，若a=2n-3+^，求S.2nnn_mn14・(2014・2nSn=1+2x+3x2+•••+nxnt.15.求下列各式的值:(2-1)+(22+2)+(23-3)+・・・+[2。+(-X)nn]；l+2x+4x2+6x3+••*+2nxn•16.(2010春•宁波期末)在坐标平面内有一点列An(n=0,1,2,…),其中A。(0,0),An(xn,n)(n=L2,3,…)，并且线段AnAn+i所在直线的斜率为刀(n=0,1,2,…).求x”x2求出数列｛Xj的通项公式设数列｛nxj的前n项和为S“求S”.17.(2013秋•嘉兴期末)已知等差数列｛aj的公差大于0,a3,志是方程x2-14x+45=0的两根.求数列伉｝的通项公式；记求数列｛bn｝的前n和&.18.(2014秋•福州期末)已知等比数例仇｝的公比q>l,a”a?是方程x2-3x+2=0的两根,(1)求数列3｝的通项公式;(2)求数列｛211・孔｝的前n项和&・19.（2011春•孝感月考）求和:S=（x+i）+（x+i）22n苦普2+..・+（Xn+七）②.20（2014春•龙子湖区校级期中）求数列｛nX^｝2n前n项和S.n21.（2011秋•文水县期中）已知数列伍｝中,a=2nnn-33，求数列｛la1｝的前n项和S.nn.数列｛3｝中，a=n・2n，求S..已知数列伍｝市，a=（2n：1）・3n,求S..求数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6，…的前n项和S.n.已知数列用｝中，_pn-!Cn^奇薮），试求数列伍｝n%［尸（口为偶数）n的前n项之和S.n数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一.选择题（共2小题）1.（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=xa的图象过点（4,2）,令a=1,n（N*,记n数列｛气｝的前n项和为气，则S2015=（）A••苏TB••苏TC•莎-1d•，商T【解答】解：函数f（x）=xa的图象过点（4,2）,则：4=2,a解得：a=_,所以：f（x）=｝,则:1:=二_=.瑚-.口Vn+1贝U：S=a+a+・・・+an12n—姬-i+V^-如+…-崩=口+i-i,则：——一S201E=V2O15+l一1=\-'2016一1故选：D.2・(2014春•池州校级期末)已知函数f(x)=x2•cos(xn),若a=f(n)+f(n+1)，贝胆】4a=()拦iA.-2015B.-2014C.2014D.2015【解答】解:V函数f(x)=x2・cos(xn),若a=f(n)+f(n+1),n••*』a=(a+a+a+・・・+a)+(a+a+a+・・・+a)—i135201324620141=1=(3+7+11+…+4027)・(5+9+13+・.・+4029)=-2X1007=-2014.故选：B.二.填空题（共8小题）3.（2015春•温州校级期中）设心好，若0Va芯）二—V1,则f（a）+f（1-a）=1,氏点（赤）顶盘）+…由噩）=“可【解答】解:-/,f二—妒+2当0VaV1时，f(a)+f(1-a)〃+小一旦=-+砂=-+W=1,4丑+241-a+24丑+2Ef力・疗一14丑+24性

=1007X1=1007,2014=1007X1=1007,20142015）+「'欢均）十•••+?〔故答案为：1,1007.4.（2011春•启东市校级月考）S=1-2+3-4+5n-6+・・・+（-1）n+1・n,贝US倾+S颁+S’尸1.【解答】解：由题意可得，'S倾=1-2+丧+・・・99-100=-50,S颁=1-2+3-4+-+199-200=-100s=1-2+3-4+・・・+299-300+301=-150+301=151.'•s+s+s=-50-100+151=1故答案为：1．5.（2010•武进区校级模拟）数列｛a｝满足a+%日心）,a1=1，Sn是｛%｝的前n顶和，则S21=6*2【解答】解：；,a+a=a+a,写计［二亍Cnt1223.•a=a,a+a=a+a3445.»—€1—€1—a=a=a==a，1352n-1即奇数项都相等•a21=a1=1

「•S=(a+a)+(a+a)+•••+(a+a)+a=102又i+i2341920212=6.答案：6.6.（2012•新课标）数列｛a｝满足a「（-1）na=2n・1,贝U｛a｝的前60项和禺1830.nn【解答】解：・.・N,51+（一1）等如一1=2n-l-(-D”写令bn+1=a4n+1+a4n+2+a=2n-l-(-D”写令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，■(a4n+2-a4n+1)a+a=(a-a)+4n+24n+44n+44n+3写十iW(UL1(a+a)=16n+8,n+14n+14n+24n+34n+44n_34n_24n_+a+16=b+16「.•豪列｛b｝是以16为公差的等差数列，｛a｝的前60项和为i即为数列｛b｝的前15项和nnVb=a+a+a+a=1011234.「15X14=1830S二项XIS―2-X1&7.(2015•张家港市校级模拟)已知数列｛%｝满足a=1,a•a=2(nGN)，则S=3X21006-3.1n+1nn2012【解答】解：•.•数列｛叩满足a1=1,an-an+1=2n,nGN*

••n=1时，a=2,••n=1时，a=2,2Va・a=2,「・nN2时，a・a=2,n-1nn_1n••写+1an-1.••数列｛a｝的奇数列、偶数列分别成等比数列，n•S=i-乏皿+2（1-产叫=3X2-3.20121-21006故答案为：3X21006・3.8.（2009•上海模拟）在数列｛叩中，a1=0,a2=2,且a2-a=1+（・1）n（n€N*）,，则s倾」2550.【解答】解：据已知当n为奇数时：a-a=0na=0,TOC\o"1-5"\h\zn+2nn当n为偶数时，a-a=2na=n,n+2nn0（口奇数）,n（口这偶数）故翥二S=0+2+4+6+・・・+100=0+50X2+1。0=2550.0（口奇数）,n（口这偶数）100—-故答案为：25509.（2012•江苏模拟）设数列{a}的前n项和为nz［，则lal+lal+…+lal=爵二虹+112n一\left\{\begin{array}{l}{{-n}A{2}+4n-1,1WnW2)\\{{n}人{2}-4n+7,nN3}\end{array}\right.【解答】解：•.•S=n2-4n+1,n..a=一％打-1,2n_5,n》2.①当nW2时，aV0,n.S'=la1=-a=2,S'=lal+la1=-a-a=3；11121212②当nN3,|a|+|a|+・・・+|a|=-a-a+a+・・・+a=12n123n-2S2+S=n2-4n+7.•.|a|+|a|+,・,+|a|=f'+如-1,i<n<2..n"4n+7,n)3故答案为：l<n<2.n‘-4n+7\n梁310.（2013春•温州期中）等比数列｛a｝中，若a%,n12a=-4，则|a|+|a|+・・・+|a|=2n-1-412n\frac｛1｝｛2｝.【解答】解：Va1^,气=-4,-4=【Xq/解得q=-2即数列｛a｝是以］为首项，以-2为公比的等比数n列则数列｛|a|｝是以上为首项，以2为公比的等比数n列

故lal+lal+-+la|=X*)=2n1-2-1~212nT故答案为：2]n-1a=a+2,求:n+1na=-18,a=a+2,三・解答题(共15小题)11.在数列｛%｝中，a1=-18,lal+lal+・・・+lal【解答】解：皿..•数列伍｝n1-2-1~2a=a+2,求:n+1na=-18,a=a+2,...｛a｝是首项为-18，公差为2的等差数列,n.La=-18+(n-1)X2=2n-20,由a=2n-20N0,nN10,n设俱｝的前n项和为S「当nN10时，laJ+laJ+^+lal=-S=-[-18n+*-1)]=-n+19n.2当n>10时,:laJ+la2l+・・・+lal=S-2S】。=n2-19n+180..lal+lal+・・・+lal=n2+l9n,irClO.n2-19n-H80,n>1012.（2010•云南模拟）已知数列｛a｝的前n项和nS*-电（1）求证：｛a｝是等差数列.n

(2)求数列｛lai｝的前n项和T.a=S=23.-[25(n-【解答】解：(i)证明：①n=i时，②nN2时，a=S-S=(25n-2n2)1)-2(nT)2]=27-4n,而a=S=23.-[25(n-于是伍｝为等差数列.n(2)因为a=27-4n，若a>0,则nV业,当1WnW6时，T=a+a+a=25-2n2,n12nn当nN7时，T=a+a++a-(a+a++a)n12678n6n625n-2n2(l<n<&).2n2-25n+156(n>7)综上所知13・已知在数列｛a｝中，若a=2n-3+^，求S.nn_mn=S-(S6n625n-2n2(l<n<&).2n2-25n+156(n>7)综上所知13・已知在数列｛a｝中，若a=2n-3+^，求S.nn_mn数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，222232nS=(-1+1+3+5+・・・+(2n-3))+(i1.1・・・+i)n=口(-1+如-3]+时'勺=n(n-2)+1-i222232n(2014•海淀区校级模拟)求和：Sn=1+2X+3X2+…”「【解答】解：当x=0时，s=1；n当x=1时，S=1+2+3+…+n=(n+D；当x乂1，且x，0时，S=1+2x+3x2+・・・+nXn」①nxSn=X+2X2+3X3+・"+nXn•②(1-X)Sn=1+X+X2+X3+・“+Xn_1-叫X=0时，上式也成立，求下列各式的值：(1)(2-1)+(22+2)+(23-3)+・・・+[2n+(1)n]；n

（2）l+2x+4x+6x+-+2nxn.【解答】解：（1）当n为奇数时，-1+2-3+…+(■1)n=n-1-n=-n+l9n22当n为偶数时，-1+2-3+-+(-1)n=n,n—2XV2+2+2+•••+!+=2a-=2-2,23nn+11-2iBS=(2-1)+(2+2)+(2-3)+-+[2+(-23nn1)n],n.n为奇数TOC\o"1-5"\h\z••D—•O—1+•O—1+x十夕KKnI1_K11[w*玲-A门为偶数(2)记S=l+2x+4x+6x+…+2nx,23nn则当x=l袖，S=l+2+4+6+・・・+2n=l+2•延电=n,+n+l；11~2~当xUl时,xS=x+2x+4x+•••+2nx,n23以.L(1-x)S=l+x+2(x+x+・・・+x)-2nx23nn+1n=l+x+2*(i-广勺-2nx,n+12nxn+1；(1-k)2lrn2+n+l,x2-k1^11+真-2nyA+i(1-k)21一真综上所述，S=

nK=1rH-11-K

(2010春•宁波期末)在坐标平面内有一点列A(n=0,1,2,…),其中A0(0,02nxn+1；(1-k)2lrn2+n+l,x2-k1^11+真-2nyA+i(1-k)21一真综上所述，S=

nK=1rH-1求x,xliiJ求出数列｛乂｝的通项公式x设数列｛nxj的前n项和为&，求Sn.liiJ【解答】解：(1)A。(0,0),A1(x1,i),A2(%,2)直线A0A1的斜率为20=1,12•x1=1直线A1A2的斜率为2,*2-2(x,n),A(x,n+1),(2)当n(x,n),A(x,n+1),••n+l-n_51f"Sif二专/W与f3累加得：2二专)％q-2+普•十检验当n=1时也成立，snn-1芦-(+产七成if)令b令b=2n,对应的前n项和T=n.•.「］+*，解得皿ai+4d=9I1.*•a=a+(n-1)d=2n-1・・・(6分)⑶一…，nsn"2n寥—(n+1)令%芸T对应的前硕和H』”二备十…专*TOC\o"1-5"\h\zlTr1,23,,,11云L二尸乒+Q+…歹两式相减得：、^21n云4二1侦项十…亍？一诙(2013秋•嘉兴期末)已知等差数列｛%｝的公差大于0,a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根.liiJ求数列｛a｝的通项公式；n记b=2%，求数列｛bn｝的前n和Sn.liiJ【解答】1解(1)Va3,a5是方程x2-14x+45=0的两根，35且数列｛a｝的公差d>0,n解方程x2-14x+45=0,得x=5,x=9,•a=5,a=9,・・・(2分)"i・・・(4分)（2）Va=2n-1,n•••史寄-1・"（8分）bn=2n+n=2^1+n••aa.a.a™（9Sn=b1+b2+b3+■■■+b^=（2'+2"+2^,■■+2f+（l+2+3+,・・+n）分）•^.一a、ja1352n~12（1-4”）2-+2IZ5+■■■+2"=2^2+2+"-+2=—二（11分）ewf*"（13分）・.・数列｛b｝的前n项和：n2时-1）"口+i广"（14分）*3*2（2014秋•福州期末）已知等比数例伍｝的公n比q>1,a「a2是方程x2-3x+2=0的两根，liii（1）求数列｛a｝的通项公式；n（2）求数列｛2n・a｝的前n项和S.liii【解答】解：（1）方程x广3x+2=0的两根分别为1、2,・・・（1分）依题意得a=1,a=2,・・・（2分）12所以q=2,・・・（3分）liil所以数列｛%｝的通项公式为an=2n.1；-（4分）（2）由（1）知2n・a=n・2；・・・（5分）nnliil所以S=1X2+2X2+・・・+nX2，①2nn

由①-②得：-S=2+22+23+・・・+4-nX2+i,-（8分）n即-S=-八w-nX2n/…（11分）n1-2n+1所以S=2+（n-1）・2小…（12分）n19.（2011春•孝感月考）求和:S=（x+i）+（x,+i）22n宣21x2+..・+（g）2.【解答】解：当x=±1时，•」（x+i）=4,「・S=4n,n32n当x乂±1时，.'•S=（x2+x4++x2n）+2n+（i+1++i）nVa=x2n+2+i242nsss=/（乂匝-1）+广.'•S=（x2+x4++x2n）+2n+（i+1++i）nK2-11-I~2=m*+i）+2n,/”（＞-1）所以当x=±1时，S=4n；n当xU±1时，S=（/ji）Jg2+i）+2n・n技（＞-1）

20.（2014春•龙子湖区校级期中）求数列｛nX^｝2n前n项和S.n【解答】解：..•数列｛n^｝前n项和S.n①…（3分）*=1*2十52*整打②（6分）①…（3分）*=1*2十52*整打②（6分）①-②，得:1S=j,1,1.1nn2计/尸尸十11-L2混12=1-1_口・・・（10分）F尹：•S=2口+2...（13分）n_r.21.（2011秋•文水县期中）已知数列用｝中,a=2nnn-33，求数列｛la1｝的前n项和S.nn【解答】解：令a=2n-33>0,解得n>丝n所以当nW16时，a<0,又%=2-33=-31,则数列｛la1｝的前n项和S=-虹也=-nn2nt-SR2n-33）=32n-乌；当nN17时，a>0,n则数列｛lanl｝的前n项和Sn=Si6+Sn=i&(i+3i)+(口一(i+血-33)=n2-32n+512,综上，S=[32口一口气口=£16).nIn2-32n+512(n>17)22.数列｛a｝中，a=n・2n,求S・【解答】解法一：S=1・2+2・22】3・23+・・・+n・4,nn2气=1.22+2.23+3.24+・・・+n・4+i，两式相减可得，-S=2+22+23+•••+2广n*21n=2(i-zn〉--n*2+1n+1化简可得S=2+(n-1)・2・n+1n解法二、由a=nZ=(n-1)*^+1-(n-2)Z,nnn+n可得S=[0-(-1)・2]+[1・8-0]+[2・24-1・8]+…n+[(n-2)・2n-(n-3)・2j+[(n-1)%-(n-2)・2]n=2+(n-1)・2・n+123・已知数列伍｝中，a=(2n-1)・3n，求S・【解答】解:Va=(2；-1)・3,nnn..•S=3+3X32+5X33+・・・+(2n-1)・3n,

..•3S=32+3X33+5X34+・・・+(2n-3)