人教版九年级数学二次函数的图像和性质课件

二次函数的图像和性质2022/12/24二次函数的图像和性质2022/12/191知识回顾1、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条

。当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小。2、反比例函数的图像有何特征？反比例函数的图像是

，共有

支，且关于

对称。当

时，图像在

象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当

时，图像在

象限，在每个象限内y随x的增大而

。直线双曲线两原点增大一、三二、四k>0k>0k<0k<0知识回顾1、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条23、画函数图像的基本步骤是：

、

、

。

列表

描点

连线知识回顾3、画函数图像的基本步骤是：列表描点连线知识回顾3画形如y=ax2的函数图像：1、画函数y=x2的图像；观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x…

…y=x2……9411049-3-2-10123画形如y=ax2的函数图像：1、画函数y=x2的图像；观4xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=5二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫6

二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2

，xyO－33369二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称

（3）有最低点，没有最高点二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的7y轴是抛物线y=x

2

的对称轴，抛物线y=x

2

与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x

2

的最低点．xyO－33369

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称

（3）有最低点，没有最高点y轴是抛物线y=x2的对称轴，抛物8例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5xyO

－222464－48例1在同一直角坐标系中，画出函数9观察函数的图象与函数y=x2

的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．xyO

－222464－48观察函数10

你画出的图象与图中相同吗？探究

画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数11x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5xyO－22－2－4－64－4－8对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？x···－4－3－2－101234·········x···12一般地，抛物线y=ax2

的对称轴是_____，顶点是______．当a>0时，抛物线的开口______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越_______；当a<0时，抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．归纳向下高大练习：函数的图象是

，顶点坐标是

，对称轴是

，开口方向是

.y轴原点向上低小一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是_133、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向14反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.抛物线y=-x2的开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.3.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=

.反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是，顶点坐标151．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝2x2当x＝______时，y有最______值，其最______值是______。课前复习1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____162、二次函数y=2x²、的图象与二次函数y=x²

的图象有什么相同和不同？a＞02、二次函数y=2x²、17Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1a＜0Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5183、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向194、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？画出函数y＝2x2和函数y＝2x2+1的图象，并加以比较4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开20（1）二次函数y=2x²＋1

的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系？x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…（0，1）（1）二次函数y=2x²＋1的图象与二次函数y=2x²21x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…（0，1）问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.5222、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象23你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

完成填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．以上就是函数y＝2x2＋1的性质。﹥0﹤0=0小小1你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质24（2）二次函数y=3x²－1

的图象与二次函数y=3x²的图象有什么关系？x…–1–0.6–0.300.30.61…y=3x2…31.080.2700.271.083…y=3x2–1…20.08–0.73–1–0.730.082…（0，-1）a＞0（2）二次函数y=3x²－1的图象与二次函数y=3x²25(3)在同一直角坐标系中画出函数的图像(3)在同一直角坐标系中画出函数26Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1y在同一直角坐标系中画出函数的图像a＜0（0，2）（0，-2）Oxy1234512345–5–4–3–2–1–527试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．向上向下y轴y轴(0，k)(0，k)|a|越大开口越小，反之开口越大。试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口28练习1.把抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线

，再向上平移5个单位，可以得到抛物线

；2.对于函数y=–x2+1，当x

时，函数值y随x的增大而增大；当x

时，函数值y随x的增大而减小；当x

时，函数取得最

值,为

。＜0＞0=0大0练习＜0＞0=0大029…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像30y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减k>0k<0k<0k>0(0,k)y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y31探究x…-3-2-10123…解:列表画出二次函数、的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5探究x…-3-2-10123…解:列表画出二次函数3212345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1讨论抛物线

与的开口方向、对称轴、顶点?12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-33抛物线与抛物线有什么关系?

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10讨论抛物线与13412345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10向左平移1个单位归纳向右平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-35练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系36顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移237一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;h<0，向左平移xy归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x38y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函39练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？y=2（x-3）2y=-2（x-2）2y=3（x+1）2练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶402、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下413、抛物线y=4（x-3）2的开口方向

，对称轴是

，顶点坐标是

，抛物线是最

点，当x=

时，y有最

值，其值为

。抛物线与x轴交点坐标

，与y轴交点坐标

。向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是424.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开435、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。5、按下列要求求出二次函数的解析式：（2）形状与y=-2(x44抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下向下(1,0)(3,0)知识巩固抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=45小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.

抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向46如何平移：如何平移：47在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图48在同一坐标系中,作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.根据图象回答问题：三个图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?对称轴仍是平行于y轴的直线x=1;增减性与y=3x2类似.

顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.开口向上,当X=1时有最小值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1在同一坐标系中,作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)249对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.顶点是(1,-2)二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当x=1时y有最小值:且最小值=-2.二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3(x-1)2,y=-3x²的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1对称轴仍是平行于y轴的直线顶点是(1,-2)二次函数y=3(50在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象。根据图像回答问题对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,当x=1时y有最大值;且最大值=2(或最大值=-2).想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2yX=1在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=51对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

x=1对称轴仍是平行于y轴的直线顶点分别是二次函数y=-3(x+152一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时,向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.归纳用平移观点看函数：抛物线与抛物线形状相同,位置不同.一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²53二次函数特点：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线

x=h，顶点为(h，k)。2.当a>0时，开口向上；当x=h时，y取最小值为k;

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小,

在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.3.当a<0时，开口向下；当x=h时，y取最大值为k;

在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,

在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.二次函数54二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称551.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:

３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:３562.不同点:只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x=h和y轴.(3)最值不同:分别是k和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)

的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系2.不同点:只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和571.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表:y=a(x-h)²+k开口方向对称轴顶点坐标a>0a<01.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出58一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax的

相同，

不同22知识回顾：形状位置

y=ax2y=a(x-h)+k2上加下减左加右减一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax59知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥0时，开口

，当a﹤0时，开口

，向上向下

2.对称轴是

；3.顶点坐标是

。直线X=h(h,k)知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥60二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5

y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7）（2，－6）你能说出二次函数y=—x－6x＋21图像的特征吗？212二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5y61探究:如何画出的图象呢?我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二次函数也能化成这样的形式吗?探究:如何画出的图象呢?62配方

y=—(x―6)+3212你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。配方63归纳二次函数y=—x－6x+21图象的画法：(1)“化”：化成顶点式；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212归纳二次函数y=—x－6x+21图象的(1)“化”64510510Oxyx…3456789……7.553.533.557.5…510510Oxyx…3456789……7.553.533.65求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．

函数y=ax²+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．函数y=a66函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

1.

说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？67函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？68方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容3方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容369抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：

a＞0开口向上a＜0开口向下⑵a，b决定抛物线对称轴的位置:

(对称轴是直线x=－—)

①

a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；②

b=0＜＝＞对称轴是y轴；③a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧

2ab【左同右异】抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：70⑶

c决定抛物线与y轴交点的位置：①

c＞0＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；②

c=0＜＝＞图象过原点；③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（，）。

（5）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=－—

时,y有最大(最小)值y=b2a______________________4a4ac－b2⑷顶点坐标是（，71-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？

y

1..x13-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的721.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在（）A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（734.若二次函数y=ax2+bx+c

的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）

A.b2-4ac>0B.<0

C.a+b+c=0D.>01xyo-15.若把抛物线y=x2-2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18

B

B-2ab4a4ac-b24.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,746.若一次函数y=ax+b

的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则75二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐76（五）、学习回顾：抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

y=ax2(a>0)y=ax2+k(a>0)y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2+k(a>0)y=ax2+bx+c(a>0)填写表格：（五）、学习回顾：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=a771.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系1.相同点:小结拓展回味无穷二次函数y=ax782.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)

的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当>0时,向右平移;当<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移||个单位

(当>0时向上平移;当<0时,向下平移)得到的.小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是79二次函数的图像和性质2022/12/24二次函数的图像和性质2022/12/1980知识回顾1、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条

。当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小。2、反比例函数的图像有何特征？反比例函数的图像是

，共有

支，且关于

对称。当

时，图像在

象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当

时，图像在

象限，在每个象限内y随x的增大而

。直线双曲线两原点增大一、三二、四k>0k>0k<0k<0知识回顾1、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条813、画函数图像的基本步骤是：

、

、

。

列表

描点

连线知识回顾3、画函数图像的基本步骤是：列表描点连线知识回顾82画形如y=ax2的函数图像：1、画函数y=x2的图像；观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：x…

…y=x2……9411049-3-2-10123画形如y=ax2的函数图像：1、画函数y=x2的图像；观83xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=84二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫85

二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2

，xyO－33369二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称

（3）有最低点，没有最高点二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的86y轴是抛物线y=x

2

的对称轴，抛物线y=x

2

与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x

2

的最低点．xyO－33369

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称

（3）有最低点，没有最高点y轴是抛物线y=x2的对称轴，抛物87例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5xyO

－222464－48例1在同一直角坐标系中，画出函数88观察函数的图象与函数y=x2

的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．xyO

－222464－48观察函数89

你画出的图象与图中相同吗？探究

画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数90x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5xyO－22－2－4－64－4－8对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？x···－4－3－2－101234·········x···91一般地，抛物线y=ax2

的对称轴是_____，顶点是______．当a>0时，抛物线的开口______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越_______；当a<0时，抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．归纳向下高大练习：函数的图象是

，顶点坐标是

，对称轴是

，开口方向是

.y轴原点向上低小一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是_923、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向93反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.抛物线y=-x2的开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.3.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=

.反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是，顶点坐标941．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝2x2当x＝______时，y有最______值，其最______值是______。课前复习1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____952、二次函数y=2x²、的图象与二次函数y=x²

的图象有什么相同和不同？a＞02、二次函数y=2x²、96Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1a＜0Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5973、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向984、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？画出函数y＝2x2和函数y＝2x2+1的图象，并加以比较4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开99（1）二次函数y=2x²＋1

的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系？x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…（0，1）（1）二次函数y=2x²＋1的图象与二次函数y=2x²100x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…（0，1）问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2…4.51012、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象102你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

完成填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．以上就是函数y＝2x2＋1的性质。﹥0﹤0=0小小1你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质103（2）二次函数y=3x²－1

的图象与二次函数y=3x²的图象有什么关系？x…–1–0.6–0.300.30.61…y=3x2…31.080.2700.271.083…y=3x2–1…20.08–0.73–1–0.730.082…（0，-1）a＞0（2）二次函数y=3x²－1的图象与二次函数y=3x²104(3)在同一直角坐标系中画出函数的图像(3)在同一直角坐标系中画出函数105Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1y在同一直角坐标系中画出函数的图像a＜0（0，2）（0，-2）Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5106试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．向上向下y轴y轴(0，k)(0，k)|a|越大开口越小，反之开口越大。试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口107练习1.把抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线

，再向上平移5个单位，可以得到抛物线

；2.对于函数y=–x2+1，当x

时，函数值y随x的增大而增大；当x

时，函数值y随x的增大而减小；当x

时，函数取得最

值,为

。＜0＞0=0大0练习＜0＞0=0大0108…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像109y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减k>0k<0k<0k>0(0,k)y＝ax2+ka>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y110探究x…-3-2-10123…解:列表画出二次函数、的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5探究x…-3-2-10123…解:列表画出二次函数11112345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1讨论抛物线

与的开口方向、对称轴、顶点?12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-112抛物线与抛物线有什么关系?

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10讨论抛物线与111312345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10向左平移1个单位归纳向右平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-114练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系115顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2116一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;h<0，向左平移xy归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x117y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)y＝a(x-ｈ)2a>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函118练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？y=2（x-3）2y=-2（x-2）2y=3（x+1）2练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶1192、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下1203、抛物线y=4（x-3）2的开口方向

，对称轴是

，顶点坐标是

，抛物线是最

点，当x=

时，y有最

值，其值为

。抛物线与x轴交点坐标

，与y轴交点坐标

。向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是1214.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开1225、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。5、按下列要求求出二次函数的解析式：（2）形状与y=-2(x123抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下向下(1,0)(3,0)知识巩固抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=124小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.

抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向125如何平移：如何平移：126在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．观察图象,回答