【一轮复习专题】2020届高考文科数学第一轮复习专题：极坐标与参数方程

2020届高考文科数学第一轮复习专题：极坐标与参数方程一、知识点：极坐标的概念;直线、圆、椭圆的参数方程。二、复习目标1、理解和掌握参数方程和极坐标是高考中的一个重点。2、极坐标和参数方程是研究圆锥曲线一种非常有价值的方法，我们熟练这种方法，把这种方法应用到圆锥曲线中，并通过这个方法来培养学生分析数学、解决实际问题的能力。3、培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。三、复习重点：极坐标的相关知识;直线、圆、椭圆的参数方程。四、复习难点：用极坐标和参数方程解决曲线方程的综合性问题。一、自我诊断知己知彼点P的直角坐标为(-巨迈)，那么它的极坐标可表示为.【答案】(2,竺)4厂【解析】直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，F=PC0：n*3兀。TOC\o"1-5"\h\z〔y=psm0y=-—V*在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线P二4cos0于A、B两点,贝I」\AB\=.【答案】2訂【解析】注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x=1,曲线p=4cos0的直角坐标方程是x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线x=1的距离等于1,因此\AB\=2j3。.若直线F:2t(t为实数)与直线4x+ky=1垂直，则常数k=.〔y=2+3t【答案】-6【解析】参数方程|x=J:，所表示的直线方程为3x+2y=7，由此直线与直线〔y=2+3t344x+ky=1垂直可得(-―)x(-)=-1，解得k=-6。2knn在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3,3)、(4,6)，求AAOB(其中O为极点)的面积．【答案】3TOC\o"1-5"\h\znn【解析】由题意知A、B的极坐标分别为(3,3)、(4,6)，则AAOB的面积沁11nAOB=2OA・OB・sinZAOB=2X3X4Xsin6=3.曲线Jx=5cos0,(0是参数)的左焦点的坐标是.〔y=3sin0【答案】(-4,0)【解析】题中曲线的直角坐标系的方程为乂+2—=1，其中a=5,b=3,c=4，及左259焦点为(-4,0)。二、温故知新夯实基础1．平面直角坐标系一|x，=2・x(2>0),设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0：//小的〔y=〃•y仪>0)作用下，点P(x,y)对应到点P'(x‘，y‘)，称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2．极坐标系角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度p和从射线Ox到射线om的角度e来刻画（如图所示）.这两个数组成的有序数对p0）称为点M的极坐标.p称为点M的极径,e称为点M的极角.一般认为p$0.当极角e的取值范围是［0,2兀）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标pe）（p^o）建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径p=0,极角e可取任意角.（2）极坐标与直角坐标的互化y楮r0X设M为平面内的一点，它的直角坐标为（x,y）,极坐标为（p,e）.由图可知下面关系式成立：fx=pcos0或P2二x2+y2Iy=psin0tan0=—（x丰0）Ix这就是极坐标与直角坐标的互化公式.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆p=r(0We<2n)圆心为（r,0），半径为r的nnp=2rcos_e(—2we<2)

圆n圆心为(r，空)，半径为r的圆OXp=2rsin_O(0W0<n)过极点，倾斜角为a的cXot0=a(pWR)或0=n+直线a(pWR)过点(a,0)，与极轴垂直的直线(曲1;八/nnpcos&=a(—2<。<2)n过点(a，2)，与极轴平行的直线:(0-2)—1P1JTRpsin_3=a(0<3<n)4・参数方程和普通方程的互化⑴曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过逍去参数从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么$=f只就是曲线的参数方程.〔y=g&丿5．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tana(x_x0)Vx=Xc+tcosa，0丄.(t为参[y=y0+tsina数)x2+y2=r2F=rcos0，(0为参数)〔y=rsin0圆(x-a)2+(y-b)2=r2[x=:+rcos0(0为参数)〔y=b+rsm0.椭圆x2,y2a2+b2=1(a>b>0){x=acos申，(0为参数)y=bsin申抛物线y2=2px(p>0)|x=2pt2，(t为参数)[y=2pt三、典例剖析思维拓展考点一极坐标与直角坐标的互化例1（1）以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y二1-x（0<X<1）的极坐标方程.（2）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为psin29=cos9和psin0=1•以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.【答案】⑴p=__1f0<0<-^•(2)(1,1)cos0+sin0v2丿【解析】⑴|X=pCOs0[y=psin0y=1—x化成极坐标方程为pcos0+psin0=1即p=1cos0+sin0•・・0WxW1,・・・线段在第一象限内（含端点）,•:0<0<-2⑵因为x=pcos0,y=psin0，由psin20=cos0，得p2sin20=pcos0，所以曲线C1的直角坐标方程为y2=x.由psin0=1，得曲线C2的直角坐标方程为y=1.由»2=x得|x=1，故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为（1,1）.Iy=1[y=1【易错点】容易忽略参数范围【方法点拨】（1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.（2）直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x=pcos0,y=psin0直接代入并化简即可；而极坐

标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如pcos0,psin0,P2的形式，进行整体代换.考点二伸缩变换及求曲线的极坐标方程例1将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.⑴写出曲线C的方程；(2)设直线l:2x+y-2二0与C的交点为P，卩2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.12【答案】⑴曲线C的方程为x2+兰=1.⑵p=L4sin0-2cos0【解析】(1)设Sy)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x,y)，依题意，得|x二xi，[y二2y1由x2+y2=1得x2—二1，1112丿即曲线C的方程为x2+等=1.x2+斗=1解得Ix=1或Ix=02x+y-2=0[y=0[y=212不妨设P(1,0),P(0,2),则线段PP的中点坐标为11,11，所求直线斜率为k=丄，12“2于是所求直线方程为y-1二-x于是所求直线方程为y-1二-2丿化为极坐标方程，并整理得2pcos0-4psin0=-3,即p=4sin0—2cos0*【易错点】伸缩变换易变错【方法点拨】求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系，设P(p，0)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极

径p和极角0之间的关系式；⑶将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．考点三参数方程与普通方程的互化例1已知直线l的参数方程为[X=1+t（参数tgR），圆C的参数方程为[y=4-2t$=2cos0+2（参数0丘[0,2兀]）,求直线l被圆C所截得的弦长.[y=2sin0【答案】迈5【解析】由F=I+；，消参数后得普通方程为2x+y-6=0，由[X=2皿0+2，消[y=4-2t[y=2sin0参数后得普通方程为（x-2）2+y2=4，显然圆心坐标为（2,0），半径为2.由于圆心到直线2x+y-6=0的距离为d=逅，根据勾股定理，所求弦长为痘。5【易错点】参数方程化普通方程【方法点拨】本题考查直线和圆的联立问题，就是把参数方程转化为直角坐标系下的普通方程。例2（2017年沈阳市三模）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C的参数方程为[x=2霁0（0为参数），直线m的参数方程为$=2+；（参数tgR），直线l垂直于[y=3sm0[y=1+2t直线m且过椭圆C的右焦点F.⑴求椭圆C的普通方程和直线l的参数方程；⑵直线Z交椭圆C于A、B两点’求話侖【答案】（1）椭圆C的方程为宁【答案】（1）椭圆C的方程为宁+等=1，直线l的参数方程为＜=.2聘tx—1—t5=屮好t一t5（t为参数）11FAFB4活2)15【解析】⑴椭圆中的a_2,b仝，:.椭圆C的方程为宁+等_1，直线m的斜率为2,直线1的斜率为-,直线1的参数方程为］[2为2,直线1的斜率为-,直线1的参数方程为］[2丁5x_1-5.迟t

y飞tt5(t为参数)(2)将直线1的参数方程＜x_1一5J5t

y盲t(t为参数)代入椭圆的方程中得到关于t的兀一次方程16t2-12J5t-45=0设t，t是A,B所对应的参数，则12t+t123\.：5；t•t_-45<041216根据参数的几何意义可知:11FBFB根据参数的几何意义可知:11FBFBTFA=匕FA卜lFB-15易错点】直线参数方程的表示要用标准形式，参数几何意义及参数的符号方法点拨】线段长度与参数几何意义之间的联系考点四极坐标方程与参数方程的综合应用例1(2015・课标全国I)在直角坐标系xOy中，直线C1:x_-2，圆C2:(x-1》+(y-2》_1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C1，C2的极坐标方程；若直线C3的极坐标方程为0_^4(peR)，设C2与C3的交点为M，N，求AC2MN的面积．【答案】(1)q的极坐标方程为pcos9_-2，C2的极坐标方程为p2-2pcos9-4psin9+4_0.(2)12【解析】(1)因为x_pcos9,y_psin9,所以C］的极坐标方程为pCOSe=-2，C?的极坐标方程为p2-2pcos9-4psin9+4=0.（2）将9=t代入p2-2pcos9-4psin9+4=0，4得p2-3迈p+4=0，解得p=2远p=、辽.12故p-p=<2，即mn=迈.由于C2的半径为1，所以AC2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为1.22【易错点】第二问求三角形面积易化为直角坐标求点，求距离求面积，计算量大易错【方法点拨】（1）已知直角坐标方程化极坐标系方程直接运用公式x=pcos9,y=psin9带入化简即可；（2）注意运用极坐标求解.例2（2016・全国丙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C】的参数方程为|x=、'3cosa（a［y=sina为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin〔9+-K2逅.I4丿（1）写出C］的普通方程和C2的直角坐标系方程；⑵设点P在C1上，点Q在C2上，求IPQI的最小值及此时P的直角坐标.【答案】（1）C］的普通方程为++y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0；（2）IPQI的最小值为72，此时P的直角坐标为f3丄'.122丿【解析】（1）C］的普通方程为宁+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.（2）由题意，可设点P的直角坐标为（■-3cosa,sina）因为C2是直线，所以IPQI的最小值即为P到C2距离dC）的最小值，22dCxdCx)=v'3cosa+sina-4L(=y!2sina当且仅当a=2kK+—（k&Z）时，d（a取得最小值，最小值为逐，此时P的直角坐6标为［3丄'.122丿【易错点】解题方法选择不当导致计算量太大而出错.【方法点拨】与圆锥曲线有关的最值问题转化为参数形式比较容易求解.四、举一反三成果巩固考点一极坐标与直角坐标的互化在以O为极点的极坐标系中，圆p=4sin9和直线psina相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.【答案】3【解析】由P=4sin9可得x2+y2=4y，即x2+（y一2》=4由psin9=a可得y=a.设圆的圆心为0，,y=a与x2+（y一2》=4的两交点A,B与O构成等边三角形，如图所示．fl由对称性知Zfl由对称性知ZO'OB=30o，OD=a.在Rt^OB在Rt^OB中，易求DB・・・B点的坐标为呼a,又TB又TB在x2+y2=4y上,——a〔3丿+a2=4a即4a2一4a=0，解得a=0（舍去）或a=3.2、(2015江苏21(C))已知圆c的极坐标方程为p2+2迈psinfo--V4=0，求I4丿圆C的半径．【答案】唐【解析】由题意得si』e-U=^sine-迟cose，I4丿22所以p2+2p(sin0-cos0)-4=0，即p2+2psin0—2pcos0—4=0，从而x2+y2+2y-2x-4=0，即(x—1)2+(y+1)2=6，故圆c的半径为J6・(2015全国II文23)在直线坐标系xOy中，曲线C:$=tCOs°((t为参数，工0)[y=tsin°其中0w°s•在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:p=2sin0,2C3:p=2*3cos0・求C与C交点的直角坐标；23若C与C相交于点A,C与C相交于点B，求|AB|的最大值.1213【答案](1)C2与C1交点的直角坐标为(0,0)和(拿》.(2)当°=¥时，|ab|最大值为4・【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2—2y=0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2—2运x=0・3联立$2+y2—2y=03y=-2x2+y2—2羽3y=-2所以C与C交点的直角坐标为(0,0)和(竺上)・2122(2)曲线C的极坐标方程为0=°(peR,pH0)，其中0£°<n・

<4，因此a得到极坐标为(2sina,a)，B的极坐标为(2j3cosa,a)・<4，所以|AB=2sina-^3cosa=4sin(a)当a=5n时，|AB|取得最大值，最大值为4-考点二伸缩变换及求曲线的极坐标方程n1、在极坐标系中，求曲线p=2cosB关于直线0=4对称的曲线的极坐标方程.【答案】见解析【解析】以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线p=2cos6的直角坐标方程为(x—1)2+y2=1,且圆心为(1,0).n直线6=4的直角坐标方程为y=x,因为圆心(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆(x—l)2+y2=l关于y=x的对称曲线为x2+(y—1)2=1.n所以曲线p=2cos6关于直线6=4对称的曲线的极坐标方程为p=2sin6.考点三参数方程与普通方程的互化1、(1)求直线|x二2+t(t为参数)与曲线二3cosa(a为参数)的交点个数.[y=—1-1[y=3sina(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线1：[x二t(t为参数)过椭圆C：[x二3cos申[y=t—a[y=2sin申((p为参数)的右顶点，求常数a的值.【答案】(1)直线与曲线有2个交点(2)a=3【解析】⑴将Ix二2+'消去参数t得直线x+y-1=0；〔y=-i-t将Ix二3cosa消去参数a得圆x2+y2二9.y=3sina又圆心（o,o）到直线x+y一1二0的距离d=^--<3.2因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．⑵直线l的普通方程为x-y-a二0，椭圆C的普通方程为兰+22=194・・・椭圆C的右顶点坐标为（3,0），若直线l过（3,0），贝U3—a=0,a=3•2、（2016全国甲文23）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）+y2=25.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程;（2）直线l的参数方程是|x=tcos%（t为参数），l与C交于A、B两点，|AB|=x10，[y=tsina，求l的斜率.【答案】⑴圆C的极坐标方程为p2+12pcos0+11=0.（2）l的斜率k=±学.【解析】（1）整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0，p2=x2+y2一由*cos0=x可知圆C的极坐标方程为p2+12pcos0+11=0.psin0=y（2）解法一：将直线l的参数方程代入圆C:x2+y2+12x+11=0化简得，12+12cosat+11=0，设A,B两点处的参数分别为t,t，则；'1+12=12cosct,，12Itt=1112所以IAB1=11—tl=f（t+1）2—4tt=€144cos2a—44=<10，解得cos2a=，12^12128l的斜率k=tana=±西.3解法二：设l:y=kx，其中k=tana，如图所示，

圆心到到l的距离d芒，故kd圆心到到l的距离d芒，故kd<62d2y15考点四极坐标方程与参数方程的综合应用1、在直角坐标系xOy中，以。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2匹cos-，直线l的参数方程为X七_(t为参数),4y12J2t直线l和圆C交于A,B两点，P是圆C上不同于A,B的任意一点.求圆心的极坐标；求△PAB面积的最大值.【答案】(1)壬.(2)峙5.4J【解析】(1)由圆C的极坐标方程为2y2cos得22叮2■—cos—sin2把Xcos代入可得圆C的直角坐标方程为X2y22x2y0,ysin即X12y122・•・圆心坐标为1,1,・••圆心的极坐标为•v■■■—,—.4⑵由题意，得直线l的直角坐标方程为2、/2x-y-1=0.・：圆心（1,一1）到直线l的距离d=^~3~，•:IABI=2、；r2—d2=（2护）2+（—1）23\2\»-9=¥点P到直线l的距离的最大值为r+d=p+罕=罟,・S=\叽5半=]0护，，Smax=2X3X3=9-2、（2016全国乙文23）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为|x=acost（t1[y=1+asint为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:p=4cos9.2（1）说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；11（2）直线C的极坐标方程为9=a，其中d满足tana=2，若曲线C与C的公共300012点都在C上，求a.3【答案】⑴极坐标方程p2-2psin9+1-a2=0.（2）a=1.【解析】（1）将C化为直角坐标方程为x2+（y-1）2=a2，从而可知其表示圆.1令x=pcos9，y=psin9，代入得极坐标方程p2-2psin9+1-a2=0.（2）将C,C化为直角坐标方程为C:x2+y2—2y+1—a2=0，C:x2+y2—4x=0•1212两式相减可得它们的公共弦所在直线为4x-2y+1-a2=0.又C,C公共点都在C上，故C的方程即为公共弦4x-2y+1-a2=0.1233又C为9=a，tana=2，即为y=2x，从而可知a=1.300五、分层训练能力进阶【基础达标】1、已知直线l的参数方程为F=1+；（参数teR），圆C的参数方程为F=2COs!+2[y=4—2t[y=2sin9(参数9g[0,2兀]),求直线1被圆C所截得的弦长.【答案】逅5【解析】由F=1+；，消参数后得普通方程为2x+y-6二0，由[X=2吧+2，消[y=4-2t[y=2sm9参数后得普通方程为(x-2)2+y2=4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x+y-6二0的距离为d二痘，根据勾股定理，所求弦长为痘。552、直线*=4+at(t为参数)与圆|x=2+Fcos9(e为参数)相切，求切线的倾斜角.[y=bt[y=v3sin9【答案】上或王3【解析】直线的普通方程为bx-ay-4b二0，圆的普通方程为(x-2》+y2二3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为、3，从而有訂=⑷-a•0—4b，即a2+b2b3a2+3b2=4b2‘..b=土\：'3a，而直线的倾斜角的正切值为tana=—，..tana=土；3，因此切线的倾斜角为仝或王W333、在直角坐标系xOy中，已知曲线C:|x=t+1，(t为参数)与曲线C:|x=aSin9，1[y=1-2t2[y=3cos9(9为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a=3【答案】2【解析】曲线C:Ix=t+h直角坐标方程为y=3-2x，与x轴交点为(3,0)；曲线1[y=1-2t丿2丿C:Ix=asin9,直角坐标方程为兰+兰=1，其与x轴交点为(-a,0),(a,0)，由a>0，2[y=3cos9a29曲线C与曲线C有一个公共点在x轴上，知a=3。122

能力提升】1、（2017全国2卷文22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos0=4•1（1）M为曲线q上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|-\OP\二16，求点P的轨迹C的直角坐标方程;2⑵设点A的极坐标为f2,导点B在曲线C上，求论面积的最大值.【答案】（1）P的轨迹C直角坐标方程为x2+y2-4x=0.（2）△oab的面积取最2大值为2+v-3.【解析】（1）设点P的极坐标为（p,0），因为|OM|-Op=16，所以点M的极坐标IP丿把点M的坐标代入C:pcos0=4中得:16•cos0=4，即p=4cos0•1p两边冋时乘以P，得p2=4pcos0，化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0.（2）解法一C的极坐标方程为p=4cos0，所以点B的极坐标可设为（4cos0,0），sin‘0工=4cos0^sin0一-^3cos0<3丿122丿33丿=1x2x4cos033丿=1x2x4cos02所以点A的直角坐标为f2cosn,2sinn1，所以S二1•IOAI・丨OBI•sinZAOB△OAB22sin120违丿因为0e20-K=4即0=-12时，△OAB因为0e解法二：h是AOAB中O