控制测量电子教案：7-5大地线

§7.5大地线我们知道，两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样一条线呢？经研究确认为它是一条大地线。7.5.1相对法截线设在椭球面上任取两点A、B，其纬度分别为。过A、B两点分别作法线与短轴交于点，与赤道面分别交于。现证明将不重合。(7-73)顾及(7-23)式，上式又可写成 (7-73)1故当时，，故不重合，因此（1）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（2）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。现假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B点照准A点，则照准面同椭球面的截线为，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因法线互不相交，故和这两条法截线不重合。我们把和叫做A、B两点的相对法截线。由上式可知，当，说明，某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，即法截线偏上，而偏下。由此，现将AB方向在不同象限时，正反法截线的关系表示为右图：当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。7.5.2大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义“大地线上每点的密切面（无限接近三个点构成的平面）都包含该点的曲线法线”亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间的曲面曲线。假如在椭球模型表面A、B两点之间，画出相对法截线，然后在A、B两点上各插一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有磨擦力。则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，故它实际上是两点的最短线。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的两点的正反法截线是不重合的，它们之间的夹角，在一等三角测量中可达千分之四秒，可见此时是不容忽视的。大地线是两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为 (7-74)在一等三角测量中，数值可达千分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三角测量中是不可忽视的。大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质可知，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。7.5.3大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程设P为大地线上任一点，其经度为L，纬度为B，大地方位角为A,当大地线增长dS到P1点时，则上述各量相应变化L+dl,B+dB,A+dA。对应于PP1的过P点的平行圈变化为PP2,PP1P2为一椭球面直角三角形，由于该三角形无限小，可视为平面三角形，故(7-75)又(7-76)再过P和P1分别作子午线的切线，由于P和P1无限接近，故可视为两者的切线同交于短轴的延长线上的T点。由PT和P1T所决定的平面可视为通过P和P1点切平面，同时由于P2也无限接近于P1，所以可视为在切平面上，因此由小扇形TPP2可得（7-79）(7-75)、(7-76)和(7-79)三个关系式称为大地线微分方程，在解决与椭球体有关的一些测量计算中经常用到。克莱洛方程：将(7-75)式代入(7-79)式，得： （7-80）顾及（7-81）两边积分得：或（7-82）式中C也叫大地线常数，该式即为著名的克莱洛方程，也叫克莱洛定理。它表明：在