2022届高考数学课标版数学(文理通用)一轮题型专项练课件-专题4-数列

专题四数列专题四数列-1-4.1数列小题专项练4.1数列小题专项练-2--3-1.求数列通项的常用方法(1)依据数列的前几项求通项.(2)由an与Sn的关系求通项.(3)求等差数列、等比数列的通项,或求可转化为等差数列、等比数列的通项.2.等差数列(1)通项公式、等差中项公式、两种形式的求和公式.(2)常用性质:①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq;②an=am+(n-m)d(m,n∈N*);④已知等差数列{an},若{an}是递增数列,则d>0;若{an}是递减数列,则d<0.-3-1.求数列通项的常用方法④已知等差数列{an},若{a-4-3.等比数列(1)通项公式、等比中项公式、公比q=1和q≠1两种形式的求和公式.(2)常用性质:①m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);②an=am·qn-m(m,n∈N*);④已知等比数列{an},公比q>0,且q≠1.若{an}是递增数列,则a1>0,q>1或a1<0,0<q<1;若{an}是递减数列,则a1>0,0<q<1或a1<0,q>1.-4-3.等比数列④已知等比数列{an},公比q>0,且q≠-5-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(

)A.-12 B.-10 C.10 D.12答案解析解析关闭因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.答案解析关闭B-5-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析解-6-一二2.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(

)A.-24 B.-3 C.3 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-6-一二2.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2-7-一二3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(

)A.100 B.99 C.98 D.97答案解析解析关闭答案解析关闭-7-一二3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=-8-一二4.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭答案解析关闭-8-一二4.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn-9-一二5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(

)A.1 B.2 C.4 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-9-一二5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a-10-一二6.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=(

)A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50答案解析解析关闭由等比数列的性质,得S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,故(S8-10)2=10×(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.答案解析关闭B-10-一二6.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为S-11-一二7.已知数列{an}满足:=an-1·an+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=(

)A.84 B.63 C.42 D.21答案解析解析关闭答案解析关闭-11-一二7.已知数列{an}满足:=an-1·-12-一二8.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=(

)A.9 B.15C.18 D.30答案解析解析关闭答案解析关闭-12-一二8.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1-13-一二9.已知各项均为正数的等比数列{an},a5·a6=4,则数列{log2an}的前10项和为(

)A.5 B.6 C.10 D.12答案解析解析关闭由等比数列的性质可得a1·a2…·a10=(a1·a10)(a2·a9)…(a5·a6)=(a5·a6)5=45,故log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1·a2·…·a10)=log245=10,故选C.答案解析关闭C-13-一二9.已知各项均为正数的等比数列{an},a5·a-14-一二10.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),Sn为数列{an}的前n项和,则S217=(

)A.217a2-a1 B.217a1-a2

C.a1 D.a2答案解析解析关闭∵an+1=an-an-1(n≥2),∴a3=a2-a1,a4=-a1,a5=-a2,a6=a1-a2,a7=a1,a8=a2,∴数列{an}的周期为6,S217=S36×6+1=36(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1=36×0+a1=a1,故选C.答案解析关闭C-14-一二10.已知数列{an}满足an+1=an-an--15-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-15-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二12.(2018浙江,10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则(

)A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二12.(2018浙江,10)已知a1,a2,a3-17-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-17-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-18-一二14.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-一二14.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a-19-一二15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-一二15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3-20-一二16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-一二16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a4.2数列大题4.2数列大题-21--22-1.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.①形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.②形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.-22-1.求通项公式的常见类型(2)等差数列、等比数列求通-23-2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:①数列的单调性;②函数的单调性;③导数.(2)求参数范围时,可利用:①作差法;②同号递推法;③先猜后证法.-23-2.数列求和的常用方法-24-4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.-24-4.数列不等式问题的解决方法4.2.1

等差、等比数列与数列

的通项及求和4.2.1等差、等比数列与数列

的通项及求和-25--26-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比数列的通项及求和例1记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.-26-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比数列的通项及-27-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练1已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设{an}的公差为d.

即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.-27-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练1已知等差数列-28-考向一考向二考向三考向四考向五可转化为等差、等比数列的问题例2已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3an,求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解:(1)∵3S1,2S2,S3成等差数列,∴4S2=3S1+S3,∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,∴公比q=3,∴an=a1qn-1=3n.-28-考向一考向二考向三考向四考向五可转化为等差、等比数列-29-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,∵b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)·2n-2n(2n+1)=-4n,∴Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-29-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得无论是求数列的-30-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;-30-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2设{an}是-31-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由已知得

-31-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由已知得-32-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln

23n=3nln

2.∵bn+1-bn=3ln

2,∴数列{bn}为等差数列.-32-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n-33-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及错位相减求和例3已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).-33-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及错位相减-34-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.-34-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)设等差数列{-35-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1-35-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设数列{a2nb-36-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列{an}与数列{bn}分别是等差数列和等比数列,那么数列{an·bn}的前n项和采用错位相减法来求.-36-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求数列通项的基-37-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练3已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.-37-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练3已知等比数列-38-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,-38-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设cn=(bn+-39-考向一考向二考向三考向四考向五-39-考向一考向二考向三考向四考向五-40-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及裂项求和例4已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,两式相减,得3an+1-3an=2an+1,∴an+1=3an.∵a1≠0,∴数列{an}是以3为公比的等比数列,∴an=3·3n-1=3n.-40-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及裂项求和-41-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=log3an=n,

解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.-41-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=-42-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练4Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.-42-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练4Sn为数列{-43-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1可知

设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn-43-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1-44-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+ln

Sn),求数列{cn}的前n项和.对数列{bn}:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.∴bn=2n-1.-44-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶数讨论的数列求-45-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln

Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln

Sn.

∴ln

Sn=lnn(n+1)=lnn+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n·2n·2n-1=n·(-2)n,设数列{(-1)nanbn}的前n项和为An,数列{(-1)nln

Sn}的前n项和为Bn,则An=1×(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n·(-2)n,①则-2An=1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+n·(-2)n+1,②①-②得3An=1×(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1-45-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n-46-考向一考向二考向三考向四考向五当n为偶数时,Bn=-(ln1+ln2)+(ln2+ln3)-(ln3+ln4)+…+[lnn+ln(n+1)]=ln(n+1)-ln1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln1+ln2)+(ln2+ln3)-(ln3+ln4)+…-[lnn+ln(n+1)]=-ln(n+1)-ln1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).-46-考向一考向二考向三考向四考向五当n为偶数时,-47-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练5已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3(n∈N*)成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)∵4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3成等比数列,其公比设为q,∴2n+3=4×qn+2-1,解得q=2.-47-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练5已知函数f(-48-考向一考向二考向三考向四考向五-48-考向一考向二考向三考向四考向五4.2.2

数列中的证明及存在性问题4.2.2数列中的证明及存在性问题-49--50-考向一考向二考向三等差(比)数列的判断与证明(1)求a1,a2;(2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列;(3)如果数列{bn}满足an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.又a1=5满足an=3n+2,所以an=3n+2.因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,所以数列{an}是以5为首项,3为公差的等差数列.-50-考向一考向二考向三等差(比)数列的判断与证明(1)求-51-考向一考向二考向三-51-考向一考向二考向三-52-考向一考向二考向三解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an

为同一常数.(2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;若

=an-1·an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.-52-考向一考向二考向三解题心得1.判断和证明数列是等差(-53-考向一考向二考向三对点训练1设数列{an}的前n项和为Sn,且首项a1≠3,an+1=Sn+3n(n∈N*).(1)求证:{Sn-3n}是等比数列;(2)若{an}为递增数列,求a1的取值范围.(1)证明:∵an+1=Sn+3n,∴Sn+1=2Sn+3n.∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).∵a1≠3,∴数列{Sn-3n}是首项为a1-3,公比为2的等比数列.-53-考向一考向二考向三对点训练1设数列{an}的前n项和-54-考向一考向二考向三(2)解:由(1)得,Sn-3n=(a1-3)×2n-1,∴Sn=(a1-3)×2n-1+3n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)×2n-2+2×3n-1.∵{an}为递增数列,∴当n≥2时,(a1-3)×2n-1+2×3n>(a1-3)×2n-2+2×3n-1,∵a2=a1+3>a1,∴a1的取值范围是(-9,+∞).-54-考向一考向二考向三(2)解:由(1)得,Sn-3n=-55-考向一考向二考向三数列型不等式的证明例2设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列{an}的通项公式;(1)解:4Sn=an(an+2),①

即2(an+an-1)=(an+an-1)·(an-an-1).∵an>0,∴an-an-1=2,∴an=2+2(n-1)=2n.-55-考向一考向二考向三数列型不等式的证明(1)解:4Sn-56-考向一考向二考向三解题心得要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和,再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩,再求数列的和,必要时对其和再放缩.-56-考向一考向二考向三解题心得要证明关于一个数列的前n项-57-考向一考向二考向三对点训练2已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.-57-考向一考向二考向三对点训练2已知数列{an}满足a1-58-考向一考向二考向三数列中的存在性问题例3已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.-58-考向一考向二考向三数列中的存在性问题(1)证明:由题-59-考向一考向二考向三解题心得假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.(2)解:由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.-59-考向一考向二考向三解题心得假设推理法:先假设所探求对-60-考向一考向二考向三对点训练3已知数列{an}和{bn},a1a2a3…an=(n∈N*),且a1=2,b3-b2=3,数列{an}为等比数列,公比为q.(1)求a3及数列{bn}的通项公式;(2)令cn=,是否存在正整数m,n(m≠n),使c2,cm,cn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.-60-考向一考向二考向三对点训练3已知数列{an}和{bn-61-考向一考向二考向三-61-考向一考向二考向三专题四数列专题四数列-62-4.1数列小题专项练4.1数列小题专项练-63--64-1.求数列通项的常用方法(1)依据数列的前几项求通项.(2)由an与Sn的关系求通项.(3)求等差数列、等比数列的通项,或求可转化为等差数列、等比数列的通项.2.等差数列(1)通项公式、等差中项公式、两种形式的求和公式.(2)常用性质:①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq;②an=am+(n-m)d(m,n∈N*);④已知等差数列{an},若{an}是递增数列,则d>0;若{an}是递减数列,则d<0.-3-1.求数列通项的常用方法④已知等差数列{an},若{a-65-3.等比数列(1)通项公式、等比中项公式、公比q=1和q≠1两种形式的求和公式.(2)常用性质:①m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);②an=am·qn-m(m,n∈N*);④已知等比数列{an},公比q>0,且q≠1.若{an}是递增数列,则a1>0,q>1或a1<0,0<q<1;若{an}是递减数列,则a1>0,0<q<1或a1<0,q>1.-4-3.等比数列④已知等比数列{an},公比q>0,且q≠-66-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(

)A.-12 B.-10 C.10 D.12答案解析解析关闭因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.答案解析关闭B-5-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析解-67-一二2.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(

)A.-24 B.-3 C.3 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-6-一二2.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2-68-一二3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(

)A.100 B.99 C.98 D.97答案解析解析关闭答案解析关闭-7-一二3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=-69-一二4.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭答案解析关闭-8-一二4.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn-70-一二5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(

)A.1 B.2 C.4 D.8答案解析解析关闭答案解析关闭-9-一二5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a-71-一二6.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=(

)A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50答案解析解析关闭由等比数列的性质,得S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,故(S8-10)2=10×(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.答案解析关闭B-10-一二6.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为S-72-一二7.已知数列{an}满足:=an-1·an+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=(

)A.84 B.63 C.42 D.21答案解析解析关闭答案解析关闭-11-一二7.已知数列{an}满足:=an-1·-73-一二8.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=(

)A.9 B.15C.18 D.30答案解析解析关闭答案解析关闭-12-一二8.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1-74-一二9.已知各项均为正数的等比数列{an},a5·a6=4,则数列{log2an}的前10项和为(

)A.5 B.6 C.10 D.12答案解析解析关闭由等比数列的性质可得a1·a2…·a10=(a1·a10)(a2·a9)…(a5·a6)=(a5·a6)5=45,故log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1·a2·…·a10)=log245=10,故选C.答案解析关闭C-13-一二9.已知各项均为正数的等比数列{an},a5·a-75-一二10.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),Sn为数列{an}的前n项和,则S217=(

)A.217a2-a1 B.217a1-a2

C.a1 D.a2答案解析解析关闭∵an+1=an-an-1(n≥2),∴a3=a2-a1,a4=-a1,a5=-a2,a6=a1-a2,a7=a1,a8=a2,∴数列{an}的周期为6,S217=S36×6+1=36(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1=36×0+a1=a1,故选C.答案解析关闭C-14-一二10.已知数列{an}满足an+1=an-an--76-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-15-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-77-一二12.(2018浙江,10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则(

)A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二12.(2018浙江,10)已知a1,a2,a3-78-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-17-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-79-一二14.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-18-一二14.设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a-80-一二15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-一二15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3-81-一二16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-一二16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a4.2数列大题4.2数列大题-82--83-1.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.①形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.②形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.-22-1.求通项公式的常见类型(2)等差数列、等比数列求通-84-2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列{an·bn}的前n项和Sn,其中{an},{bn}一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:①数列的单调性;②函数的单调性;③导数.(2)求参数范围时,可利用:①作差法;②同号递推法;③先猜后证法.-23-2.数列求和的常用方法-85-4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:①先求和后放缩;②先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.-24-4.数列不等式问题的解决方法4.2.1

等差、等比数列与数列

的通项及求和4.2.1等差、等比数列与数列

的通项及求和-86--87-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比数列的通项及求和例1记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.-26-考向一考向二考向三考向四考向五等差、等比数列的通项及-88-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练1已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设{an}的公差为d.

即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.-27-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练1已知等差数列-89-考向一考向二考向三考向四考向五可转化为等差、等比数列的问题例2已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3an,求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解:(1)∵3S1,2S2,S3成等差数列,∴4S2=3S1+S3,∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,∴公比q=3,∴an=a1qn-1=3n.-28-考向一考向二考向三考向四考向五可转化为等差、等比数列-90-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,∵b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)·2n-2n(2n+1)=-4n,∴Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-29-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得无论是求数列的-91-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;-30-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2设{an}是-92-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由已知得

-31-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)由已知得-93-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n+1=23n,∴bn=ln

23n=3nln

2.∵bn+1-bn=3ln

2,∴数列{bn}为等差数列.-32-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得a3n-94-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及错位相减求和例3已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).-33-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及错位相减-95-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.-34-考向一考向二考向三考向四考向五解:(1)设等差数列{-96-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1-35-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设数列{a2nb-97-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列{an}与数列{bn}分别是等差数列和等比数列,那么数列{an·bn}的前n项和采用错位相减法来求.-36-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求数列通项的基-98-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练3已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{bn}的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.-37-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练3已知等比数列-99-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}前n项和为Sn,-38-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设cn=(bn+-100-考向一考向二考向三考向四考向五-39-考向一考向二考向三考向四考向五-101-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及裂项求和例4已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,两式相减,得3an+1-3an=2an+1,∴an+1=3an.∵a1≠0,∴数列{an}是以3为公比的等比数列,∴an=3·3n-1=3n.-40-考向一考向二考向三考向四考向五求数列的通项及裂项求和-102-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=log3an=n,

解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.-41-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=-103-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练4Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.-42-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练4Sn为数列{-104-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1可知

设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn-43-考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1-105-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+ln

Sn),求数列{cn}的前n项和.对数列{bn}:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.∴bn=2n-1.-44-考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶数讨论的数列求-106-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln

Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln

Sn.

∴ln

Sn=lnn(n+1)=lnn+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n·2n·2n-1=n·(-2)n,设数列{(-1)nanbn}的前n项和为An,数列{(-1)nln

Sn}的前n项和为Bn,则An=1×(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n·(-2)n,①则-2An=1×(-2)2+2×(-2)3+3×(-2)4+…+n·(-2)n+1,②①-②得3An=1×(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n·(-2)n+1-45-考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n-107-考向一考向二考向三考向四考向五当n为偶数时,Bn=-(ln1+ln2)+(ln2+ln3)-(ln3+ln4)+…+[lnn+ln(n+1)]=ln(n+1)-ln1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln1+ln2)+(ln2+ln3)-(ln3+ln4)+…-[lnn+ln(n+1)]=-ln(n+1)-ln1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).-46-考向一考向二考向三考向四考向五当n为偶数时,-108-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练5已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3(n∈N*)成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)∵4,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+3成等比数列,其公比设为q,∴2n+3=4×qn+2-1,解得q=2.-47-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练5已知函数f(-109-考向一考向二考向三考向四考向五-48-考向一考向二考向三考向四考向五4.2.2

数列中的证明及存在性问题4.2.2数列中的证明及存在性问题-110--111-考向一考向二考向三等差(比)数列的判断与证明(1)求a1,a2;(2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列;(3)如果数列{bn}满足an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.又a1=5满足an=3n+2,所以an=3n+2.因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,所以数列{an}是以5为首项,3