2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件

题型突破（六）操作探究型问题题型突破（六）1

操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题;(2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验2

折叠问题:折叠是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:折痕两侧的对应部分全等;对应点连线被折痕垂直平分.折叠问题中还常出现角平分线,可以尝试用等腰、半角模型等策略解决问题.类型一折叠折叠问题:折叠是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:3例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图②,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;图Z6-1①

②

③

④例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方图Z6-1①

②

③

④图Z6-1① ② ③ ④【分层分析】问题情境:DN+MB=EC.过点B作BF∥MN分别交AE,CD于点G,F,证出四边形MBFN为平行四边形,得出NF=MB,证明△ABE≌△BCF,得出BE=CF,即可得出结论.问题探究:(1)想要求∠AEF的度数,可以尝试将其放在特殊的三角形中求解,例如从△AQE的形状入手;(2)要求线段P'S的最小值,研究之后发现,其中有个端点(点S)是定点,如果能够确定点P'运动的轨迹,那么就容易确定线段P'S的最小值.问题拓展:利用折叠可知道相应的边、角相等,本题可以尝试利用三角形相似来求解线段的长度.【分层分析】2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图②,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;图Z6-1①

②

③

④例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.图Z6-1①

②

③

④例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方图Z6-1①

②

③

④图Z6-1① ② ③ ④2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例1[2019·连云港]问题拓展:利用折叠可知道相应的边、角相等,本题可以尝试利用三角形相似来求解线段的长度.例1[2019·连云港]问题拓展:利用折叠可知道相应的边2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件|考向精练|1.[2017·扬州]如图Z6-2,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4cm,则EC=

cm.

图Z6-2|考向精练|1.[2017·扬州]如图Z6-2,把等边三2.[2017·济宁]试验探究:(1)如图Z6-3①,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图①,猜想∠MBN的度数是多少,并证明你的结论.(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z6-32.[2017·济宁]试验探究:图Z6-3182020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2.[2017·济宁]试验探究:(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z6-32.[2017·济宁]试验探究:图Z6-3202020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-4图Z6-42020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-4图Z6-4(2)不发生变化.如图,连接BM,BP,过点B作BH⊥MN,垂足为H.∵EB=EM,∴∠EBM=∠EMB.∵∠EBC=∠EMN,∴∠MBC=∠BMN.∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC,∴∠AMB=∠BMN,又∵∠A=∠MHB,BM=BM,∴△BAM≌△BHM.∴AM=HM,BH=AB.∵BC=AB,∴BH=BC.又∵BP=BP,∴Rt△BHP≌Rt△BCP.∴HP=PC.∴△MDP的周长=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2.∴△MDP的周长为定值,周长为2.(2)不发生变化.图Z6-4图Z6-42020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件4.[2015·淮安]阅读理解:如图Z6-5①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示的形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.图Z6-54.[2015·淮安]阅读理解:图Z6-5简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是

;

(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=

;

(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有

个(包含四边形ABCD).

拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z6-5简单应用:图Z6-5[答案]简单应用:(1)正方形

[解析]因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形.[答案]简单应用:(1)正方形4.[2015·淮安]简单应用:(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=

;

图Z6-5（2）80°

[解析]在图③中,因为∠BCD=120°,∠BCE=∠ECF=∠FCD,所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°.又因为∠B=90°,所以∠BEC=50°,所以∠B'EC=50°,所以∠AEB'=180°-50°-50°=80°.4.[2015·淮安]简单应用:图Z6-5（2）80°4.[2015·淮安]简单应用:(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有

个(包含四边形ABCD).图Z6-54.[2015·淮安]简单应用:图Z6-5（3）5

[解析]当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有5个.理由如下:根据题意得:BE=B'E,BC=B'C,∠B=∠CB'E=90°,CD=CD',FD=FD',∠D=∠CD'F=90°,∴四边形EBCB'、四边形FDCD'是“完美筝形”;∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD'=CB',∠CD'O=∠CB'O=90°,∴∠OD'E=∠OB'F=90°.∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D'E=B'F,∠AEB'=∠CB'E=90°,∠AFD'=∠CD'F=90°,（3）52020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件4.[2015·淮安]拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z6-54.[2015·淮安]拓展提升:图Z6-52020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件

平移旋转类型:平移和旋转也是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:平移或旋转前后图形全等;而旋转有时会涉及到相似.在这类问题中也常常伴随求解线段的最值问题.类型二平移旋转平移旋转类型:平移和旋转也是中考中常见问题.解题时用到的37例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.①∠BEP=

°;

②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是

.

图Z6-6例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.图Z6-6(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接C【分层分析】(1)①利用等腰三角形的性质,使用三角形的内角和定理求∠BEP;②利用内错角相等证明CE与AB平行.【分层分析】2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.图Z6-6例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=【分层分析】(2)在DA延长线上取点F,使∠BFA=∠CFA=40°,则有△BPE∽△BFC,再证明△BPF∽△BEC,然后利用内错角相等证明CE∥AB.(2)如图②,点E在直线AD的右侧.CE∥AB,理由如下:在DA延长线上取点F,使∠BFA=∠CFA=40°,则有△BPE∽△BFC.易得△BPF∽△BEC,∴∠BCE=∠BFP=40°,∴∠BCE=∠ABC=40°,∴CE∥AB.【分层分析】(2)如图②,点E在直线AD的右侧.CE∥AB,例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.图Z6-6例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=【分层分析】(3)当点P在线段AD上运动时,AE的最小值为3.(3)如图③,CE∥AB.∵点E在直线CE上,点P在线段AD上,∴点E的运动轨迹是线段E1E2.∴当点P与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值=AB=3.【分层分析】(3)如图③,CE∥AB.|题型精练|1.[2017·泰安]如图Z6-7,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的,点A'与A对应,则角α的大小为 (

)A.30° B.60° C.90° D.120°图Z6-7C|题型精练|1.[2017·泰安]如图Z6-7,在正方形图Z6-8C图Z6-8C3.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12cm(如图Z6-9①),点G为边BC(EF)的中点,边FD与AB相交于点H,现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图②),在∠CGF从0°到60°的变化过程中,观察点H的位置变化,点H相应移动的路径长为

.(结果保留根号)

图Z6-93.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件4.[2018·宿迁]如图Z6-10,将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中,顶点A,B分别落在x轴,y轴的正半轴上,∠OAB=60°,点A的坐标为(1,0),将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60°,再绕点C按顺时针方向旋转90°,…),当点B第一次落在x轴上时,点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是

.

图Z6-104.[2018·宿迁]如图Z6-10,将含有30°角的直角三5.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(不与点A,B重合),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图Z6-11①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图Z6-115.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=B解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD逆时针旋转角α得到,α=90°,∴CB与CE重合,BF=AD,∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,5.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(不与点A,B重合),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;图Z6-115.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=B(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A,D,M,C四点共圆,∴∠CMD=180°-∠CAD=135°.(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CE5.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(不与点A,B重合),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图Z6-115.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=B2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-12图Z6-12图Z6-12图Z6-12图Z6-12图Z6-12[答案](1)3[答案](1)3图Z6-12图Z6-122020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-12图Z6-122020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-12图Z6-122020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件7.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中,∠ABC=30°,AC=4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).(1)如图②,当0<α<180时,连接AD,CE.求证:△BDA∽△BEC.(2)如图③,直线CE,AD交于点G.在旋转过程中,∠AGC的大小是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出这个角的度数.(3)将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°,求点G的运动路程.图Z6-137.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件7.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中,∠ABC=30°,AC=4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).(2)如图③,直线CE,AD交于点G.在旋转过程中,∠AGC的大小是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出这个角的度数.图Z6-137.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件7.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中,∠ABC=30°,AC=4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).(3)将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°,求点G的运动路程.图Z6-137.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图Z6-14①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.类型三图形分割图Z6-14例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线75图Z6-14图Z6-14【分层分析】(1)什么叫完美分割线?根据完美分割线的定义如何证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA?【分层分析】例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.图Z6-14例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线78【分层分析】(2)要求∠ACB的度数,分三种情形讨论即可.①当AD=CD时,②当AD=AC时,③当AC=CD时.【分层分析】2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-14图Z6-142020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件|题型精练|1.问题探究(1)请在图Z6-15①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.图Z6-15|题型精练|1.问题探究图Z6-15问题解决(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分?若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.图Z6-15问题解决图Z6-15解:(1)如图①所示.解:(1)如图①所示.1.问题探究(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.图Z6-151.问题探究图Z6-15(2)如图②,连接AC,BD相交于点O,作直线OM分别交AD,BC于P,Q两点,过点O作OM的垂线分别交AB,CD于E,F两点,则直线OM,EF将正方形ABCD的面积四等分.理由如下:∵点O是正方形ABCD的对称中心,∴AP=CQ,EB=DF.∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,∴∠AOP=∠BOE.又∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,∴△AOP≌△BOE,∴AP=BE=DF=CQ,∴AE=BQ=CF=PD.(2)如图②,连接AC,BD相交于点O,作直线OM分别交AD2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件1.问题解决(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分?若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.图Z6-151.问题解决图Z6-15(3)存在.当BQ=CD=b时,PQ所在直线将四边形ABCD的面积二等分.理由如下:如图③,延长BA到点E,使AE=b,延长CD到点F,使DF=a,连接EF.∵BE∥CF,BE=CF,BE=BC=a+b,∴四边形EBCF是菱形.连接BF交AD于点M,则△MAB≌△MDF.∴AM=DM,∴P,M两点重合,∴P点是菱形EBCF对角线的交点.(3)存在.当BQ=CD=b时,PQ所在直线将四边形ABCD2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2.用如图Z6-16①②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下两个探究问题:探究一:将图①②所示两个三角形按图③拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P.(1)当点P运动到∠CFB的平分线上时,连接AP,求线段AP的长.(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数.图Z6-162.用如图Z6-16①②所示的两个直角三角形(部分边长及角的探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M,N两点,连接MN.在旋转△DEF的过程中,△AMN的周长是否存在最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由.图Z6-16探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2.用如图Z6-16①②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下两个探究问题:探究一:将图①②所示两个三角形按图③拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P.(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数.图Z6-162.用如图Z6-16①②所示的两个直角三角形(部分边长及角的2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2.用如图Z6-16①②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出),完成以下两个探究问题:探究二:如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M,N两点,连接MN.在旋转△DEF的过程中,△AMN的周长是否存在最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由.图Z6-162.用如图Z6-16①②所示的两个直角三角形(部分边长及角的2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-17图Z6-17图Z6-17图Z6-172020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-17图Z6-172020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-17图Z6-172020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件题型突破（六）操作探究型问题题型突破（六）107

操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验,猜想获得数学结论的研究性活动,这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式,需要动手操作、合理猜想和验证.常见类型:(1)操作设计问题;(2)图形剪拼;(3)操作探究;(4)数学建模.解题策略:运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法.操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等试验108

折叠问题:折叠是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:折痕两侧的对应部分全等;对应点连线被折痕垂直平分.折叠问题中还常出现角平分线,可以尝试用等腰、半角模型等策略解决问题.类型一折叠折叠问题:折叠是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:109例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图②,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;图Z6-1①

②

③

④例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方图Z6-1①

②

③

④图Z6-1① ② ③ ④【分层分析】问题情境:DN+MB=EC.过点B作BF∥MN分别交AE,CD于点G,F,证出四边形MBFN为平行四边形,得出NF=MB,证明△ABE≌△BCF,得出BE=CF,即可得出结论.问题探究:(1)想要求∠AEF的度数,可以尝试将其放在特殊的三角形中求解,例如从△AQE的形状入手;(2)要求线段P'S的最小值,研究之后发现,其中有个端点(点S)是定点,如果能够确定点P'运动的轨迹,那么就容易确定线段P'S的最小值.问题拓展:利用折叠可知道相应的边、角相等,本题可以尝试利用三角形相似来求解线段的长度.【分层分析】2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图②,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;图Z6-1①

②

③

④例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.判断线段DN,MB,EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.图Z6-1①

②

③

④例1[2019·连云港]问题情境:如图Z6-1①,在正方图Z6-1①

②

③

④图Z6-1① ② ③ ④2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例1[2019·连云港]问题拓展:利用折叠可知道相应的边、角相等,本题可以尝试利用三角形相似来求解线段的长度.例1[2019·连云港]问题拓展:利用折叠可知道相应的边2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件|考向精练|1.[2017·扬州]如图Z6-2,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4cm,则EC=

cm.

图Z6-2|考向精练|1.[2017·扬州]如图Z6-2,把等边三2.[2017·济宁]试验探究:(1)如图Z6-3①,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.请你观察图①,猜想∠MBN的度数是多少,并证明你的结论.(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z6-32.[2017·济宁]试验探究:图Z6-31242020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2.[2017·济宁]试验探究:(2)将图①中的三角形纸片BMN剪下,如图②.折叠该纸片,探究MN与BM的数量关系.写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.图Z6-32.[2017·济宁]试验探究:图Z6-31262020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-4图Z6-42020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-4图Z6-4(2)不发生变化.如图,连接BM,BP,过点B作BH⊥MN,垂足为H.∵EB=EM,∴∠EBM=∠EMB.∵∠EBC=∠EMN,∴∠MBC=∠BMN.∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC,∴∠AMB=∠BMN,又∵∠A=∠MHB,BM=BM,∴△BAM≌△BHM.∴AM=HM,BH=AB.∵BC=AB,∴BH=BC.又∵BP=BP,∴Rt△BHP≌Rt△BCP.∴HP=PC.∴△MDP的周长=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2.∴△MDP的周长为定值,周长为2.(2)不发生变化.图Z6-4图Z6-42020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件4.[2015·淮安]阅读理解:如图Z6-5①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示的形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.图Z6-54.[2015·淮安]阅读理解:图Z6-5简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是

;

(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=

;

(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有

个(包含四边形ABCD).

拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z6-5简单应用:图Z6-5[答案]简单应用:(1)正方形

[解析]因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形.[答案]简单应用:(1)正方形4.[2015·淮安]简单应用:(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'=

;

图Z6-5（2）80°

[解析]在图③中,因为∠BCD=120°,∠BCE=∠ECF=∠FCD,所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°.又因为∠B=90°,所以∠BEC=50°,所以∠B'EC=50°,所以∠AEB'=180°-50°-50°=80°.4.[2015·淮安]简单应用:图Z6-5（2）80°4.[2015·淮安]简单应用:(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有

个(包含四边形ABCD).图Z6-54.[2015·淮安]简单应用:图Z6-5（3）5

[解析]当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有5个.理由如下:根据题意得:BE=B'E,BC=B'C,∠B=∠CB'E=90°,CD=CD',FD=FD',∠D=∠CD'F=90°,∴四边形EBCB'、四边形FDCD'是“完美筝形”;∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD'=CB',∠CD'O=∠CB'O=90°,∴∠OD'E=∠OB'F=90°.∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D'E=B'F,∠AEB'=∠CB'E=90°,∠AFD'=∠CD'F=90°,（3）52020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件4.[2015·淮安]拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.图Z6-54.[2015·淮安]拓展提升:图Z6-52020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件

平移旋转类型:平移和旋转也是中考中常见问题.解题时用到的主要策略有:平移或旋转前后图形全等;而旋转有时会涉及到相似.在这类问题中也常常伴随求解线段的最值问题.类型二平移旋转平移旋转类型:平移和旋转也是中考中常见问题.解题时用到的143例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.①∠BEP=

°;

②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是

.

图Z6-6例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.图Z6-6(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接C【分层分析】(1)①利用等腰三角形的性质,使用三角形的内角和定理求∠BEP;②利用内错角相等证明CE与AB平行.【分层分析】2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.图Z6-6例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=【分层分析】(2)在DA延长线上取点F,使∠BFA=∠CFA=40°,则有△BPE∽△BFC,再证明△BPF∽△BEC,然后利用内错角相等证明CE∥AB.(2)如图②,点E在直线AD的右侧.CE∥AB,理由如下:在DA延长线上取点F,使∠BFA=∠CFA=40°,则有△BPE∽△BFC.易得△BPF∽△BEC,∴∠BCE=∠BFP=40°,∴∠BCE=∠ABC=40°,∴CE∥AB.【分层分析】(2)如图②,点E在直线AD的右侧.CE∥AB,例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.图Z6-6例2[2019·淮安]如图Z6-6①,在△ABC中,AB=【分层分析】(3)当点P在线段AD上运动时,AE的最小值为3.(3)如图③,CE∥AB.∵点E在直线CE上,点P在线段AD上,∴点E的运动轨迹是线段E1E2.∴当点P与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值=AB=3.【分层分析】(3)如图③,CE∥AB.|题型精练|1.[2017·泰安]如图Z6-7,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的,点A'与A对应,则角α的大小为 (

)A.30° B.60° C.90° D.120°图Z6-7C|题型精练|1.[2017·泰安]如图Z6-7,在正方形图Z6-8C图Z6-8C3.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12cm(如图Z6-9①),点G为边BC(EF)的中点,边FD与AB相交于点H,现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图②),在∠CGF从0°到60°的变化过程中,观察点H的位置变化,点H相应移动的路径长为

.(结果保留根号)

图Z6-93.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件4.[2018·宿迁]如图Z6-10,将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系中,顶点A,B分别落在x轴,y轴的正半轴上,∠OAB=60°,点A的坐标为(1,0),将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向旋转60°,再绕点C按顺时针方向旋转90°,…),当点B第一次落在x轴上时,点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是

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图Z6-104.[2018·宿迁]如图Z6-10,将含有30°角的直角三5.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(不与点A,B重合),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图Z6-11①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图Z6-115.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=B解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD逆时针旋转角α得到,α=90°,∴CB与CE重合,BF=AD,∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,5.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(不与点A,B重合),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;图Z6-115.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=B(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A,D,M,C四点共圆,∴∠CMD=180°-∠CAD=135°.(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CE5.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(不与点A,B重合),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图Z6-115.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=B2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-12图Z6-12图Z6-12图Z6-12图Z6-12图Z6-12[答案](1)3[答案](1)3图Z6-12图Z6-122020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-12图Z6-122020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件图Z6-12图Z6-122020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件7.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中,∠ABC=30°,AC=4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).(1)如图②,当0<α<180时,连接AD,CE.求证:△BDA∽△BEC.(2)如图③,直线CE,AD交于点G.在旋转过程中,∠AGC的大小是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出这个角的度数.(3)将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°,求点G的运动路程.图Z6-137.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件7.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中,∠ABC=30°,AC=4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).(2)如图③,直线CE,AD交于点G.在旋转过程中,∠AGC的大小是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出这个角的度数.图Z6-137.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件7.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中,∠ABC=30°,AC=4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180).(3)将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°,求点G的运动路程.图Z6-137.[2019·宿迁]如图Z6-13①,在钝角三角形ABC中2020年中考数学复习专项训练：-操作探究型问题(含解析)课件例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图Z6-14①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.类型三图形分割图Z6-14例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线181图Z6-14图Z6-14【分层分析】(1)什么叫完美分割线?根据完美分割线的定义如何证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA?【分层分析】例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.图Z6-14例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线184【分层分析】(2)要求∠ACB的度数,分三种情形讨论