线性代数期末考试题及答案AB卷

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子％山24。32的项为.1c1c的值为.c2000、100021022,.行列式a ba2b2U0.设矩阵4=0.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1,则其解空间的维数为..设矩阵4=(4,%，%,%),其中%,%，%线性无关，% -%+2%,向量0=£a,,则方程AX=B的通解为./=|.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3,贝4T—2A—同=.二、选择题TOC\o"1-5"\h\z.若两个三阶行列式D,与D2有两列元素对应相同，且9=3,。2=-2，则。+2的值为( ).A.lB.-6 C.5 D.0.对任意的〃阶方阵4,8总有( ).\.AB=BA B.\AB\=\BA\C.(AB)-1 D.(AB)2=A2B2.若矩阵X满足方程AXB=C,则矩阵X为( ).A.A'BCB.A'CB'C.CAB' D.条件不足，无法求解.设矩阵A为四阶方阵，且R(A)=3,则R(A*)=( ).A.4 B.3 C.2 D.l.下列说法与非齐次线性方程组AX=B有解不等价的命题是(

A.向量力可由A的列向量组线性表示B.矩阵A的列向量组与(A,〃)的列向量组等价C.矩阵A的行向量组与(A,夕)的行向量组等价D.(A,p)的列向量组可由A的列向量组线性表示TOC\o"1-5"\h\z.设〃阶矩阵A和5相似，则下列说法错误的是( ).A.|A|=|B| B.R(A)=R(5)C.A与8等价 D.A与B具有相同的特征向量7.设/(x)=X：+工2?+工3?+2以/2-2M七+4%2*3为正定二次型，则a满足( ).A.a>Ie^cci<—1 B.1<a<2C.—1<tz<1 D.—2<a<—1三、计算题1+01 I…I1 1+a,,•, 11.已知£>“=. .- :,其中…4,H。,求A“+4“+…1 1 ••l+a”，02，02.设矩阵4=1、一110,且AX=A+2X,求X.23,

［、［、"的列向量组的一个最大无关3-1>02153.求矩阵4=（四。2，。3，%。5）=203J104组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.{x}+x2—3x3—x4=1,3x1-x2-3x3+4x4=4,的通解.X]+5x2-9&-8x4=05.求一个正交变换X=py,将二次型/（七,》2，七）=2工N2-2工科3一2々七化成标准形.四、证明题已知〃阶方阵A和B满足24-6=B-4E,证明2不是A的特征值。模拟试题（五）答案1.。||。24。32。43；2.(b-d){c-d){c-b)‘10 0 0、0 10 00 0 1 ——2、° ° T 1 ,4.3；5/(1,—1,1,一2)T+(l,l,l,l)T(ZeR)；6.-120.二、1.A；2.B；3.D：4.D；5.C；6.D；7.C.1+4 1 ・・・111+,1三、1.解A"+4“+…+4=: .' .11•••1a} 0 ••• 10 a, ••• 1 X\o"CurrentDocument"=：：-：=n“，・

• • • 1=10 0 ••• 12.解由AX=A+2X得(A-2E)X=A,又由于—222

|A-2E|=1-10=2*0,

-121即A-2E可逆，故X=(A-2E)TA.而(A-2EY122、0220>从而X=(A-2EY'AX=(A-2EY'A=--14122、122b22W010=-123乂1(1, 03.解A=2122 1、fl001215-1 010303-13^001-1104-1J100000、-110.则a,,a2,a.为矩阵A的列向量组的一个最大无关组，其中a4=a,+3a2-a,,a5=-a2+a,.’114.解A=3-1J5’114.解A=3-1J5-344foi3~207-4

054I-40,故方程组的一个特解,得齐次线性方程组的基础解系32321得基础解系。=-1单位化得4=将&，&正交化：取用=刍，当4=7时，解方程组（A+将&，&正交化：取用=刍，pnrr得基础解系统=143=o工2〃2=刍一〃2=刍一而r’一?、单位化得巴=单位化得巴=wi=T2i将耳，2,居构成正交矩阵63百一3右一3

逅6巫6V6一3p=(P1,p”pj=‘200、使得尸-NP=0-10,于是有正交变换又=/»卜使/=2%2一丫22-必2.“Of四、证明对等式2ATb=B-4E两边同时左乘A,得2B=AB-4A即（A-2E）5=4A.由于4可逆,故同/0,从而|（4一2£泗=|A-2同忸|#0,即|A—2E|wO,故2不是A的特征值.模拟试题（一）一、填空题.1.排列217986354的逆序数为.2.6阶行列式中。2吗2。56a43a35。64的符号为.'1021、4-1r03.设A= ,问元素x的代数余子式是22-10 J5-21,.设A为一个三阶方阵，若同=3,则..三维线性空间一组基«,=（1,1,。）,4=（1,0,1）,0,=（0,1,1）,则方=（2,0,0）在上述基底下的坐标是.二、选择题.TOC\o"1-5"\h\z-1 1 11.已知|川=1 -1 x ,则同中x的一次项系数是（ ）.1 -1A.lB.-lC.2 D.-2.要断言矩阵A的秩为r,只需要条件（ ）满足即可.A中有/•阶子式不为0A中任何r+1阶子式为0A中不为0的子式的阶数小于等于rA中不为。的子式的最高阶数等于r.二次型=M+6芭』+3』2的矩阵表示为（ ）.

C.(X1,%2)2Yx/C.(X1,%2)2Yx/3)\X2>.一个"维向量组%,02,…,a.,(s>l)线性相关的充要条件是(A.含有零向量B.有两个向量的对应分量成比例C.有一个向量是其余向量的线性组合D.每一个向量是其余向量的线性组合5.若a,夕为单位正交向量，则(0

5.若a,夕为单位正交向量，则(~2.A.x任意，A.x任意，y=——2x=l,y=±2三、判断向量组B.x任意，y=—-2x=1»y=——2的线性相关性，若相关，把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来.四、解下列方程组.(120)1-13I)(120)1-13I)求X.⑴设X5-30、008,2玉-x2+x3+x4=1(2)问丸为何值时，方程组•再+2尤2-刍+4儿=2有解，并求通解.玉+lx2-4x3+1lx4=A,五、求一正交变换，将二次型广(%,々，X3)=2x；+2x；+2■+2王与化为标准型.六、若是实对称矩阵A的两个特征值，冈，%是其对应的特征向量，证明G与％正交.

模拟试题（一）答案一r 9一、1.18；2.正号；3.-10；4.—；5.(1,1,-1).64二、1.C；2.D；3.B；4.C；5.D.-2-1-2-2-1-2-2~1因此，7?(%。2。3，%)=3<4,所以向量组线性相关，最大无关组为名,02，。4,1 2「]Qfj=—<Z|+—tZ,+06Z^./J3-2OY'fl20M四、解⑴X=_]3I5-30，一々008>「380]1-120Oj‘2-1(2)A=12J‘2-1(2)A=12J71-1-411]p42-0iiaJ[o2-50-1423-7-3002-5?当/I=5时，方程组有解，此时53~506575045350同解方程组1当/I=5时，方程组有解，此时53~506575045350同解方程组1 6 4X\=~7X3-7X4+7»/ / 5通解为3 7 3X2=产-『4+-,五、解A=1.00、0,由3；\A-AE\=1

2-2

0003-/1=-(A-l)(A-3)2,'T、当4=1时，由（A-E）X=0得特征向量为4=1,单位化4=11

正

0当…3时，（4„征11

正

0<oj⑴因此，得正交矩阵I 7用正交变换X=py,把f(x],x2,x.)=2xf+2xl+2xj+2x,x2化为标准型/1(M，%，%)=4+3$+3y；.六、证明由已知得AtZ]=4四，A%=4%，因此.a,=(al，A,j-a, A^-a2=a1，(Aa2)=al，(Z,a2)=a-