高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册组合数

2.4组合数导学案【学习目标】.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题..能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.能解决有限制条件的组合问题.【自主学习】知识点组合数与组合数公式组合数定义及表示从〃个不同元素中取出加（"赤〃）个元素的所有不同组合的个数,叫做从〃个不同元素中取出勿个元素的组合数，用符号c表示.组合数公式乘积形式「，， 1）（〃一2）…（〃—加+1）m\阶乘形式r._n\"m\（77—zn）!性质5-LJ-rm——Ln12_n备注规定C=i【合作探究】探究一组合数的计算与证明【例1】⑴计算C：0-C”A；；(2)证明：E 4 310X9X8X7解⑴原式=C；lA；=/=Qi。口।~一7X6X5=210-210=0./、皿 〃！(2)M〃=勿•-T- -(〃一切！〃•(〃-1)!(加一1)!(〃一防！(〃—1)!…=n• 7-7- (/zz—1)!(n—m)!归纳总结：⑴涉及具体数字的可以直接用公式计算;⑵涉及字母的可以用阶乘式C：=京力计算:(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①c：=c厂;②C+尸c:+cT.【练习1】(1)计算艰+〉+算+…++0的值为()A.C2015B.C2015C.CC.C；016—1D.C2015-1（2）计算：C?+C?+d+Cg=.【答案】（DC（2）210解析（1）C：+C+C；H FC；0”=C：+C：+C：+C；+…+C；015—C：=C；+CH FC；oi5—1=•,•=C；015+C；015—1=C；016—1（2）C；+C；+C；+C；=C；+C；+C；=C；+婿=《0=0=210.探究二简单的组合应用题【例2】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）既要有队长，又要有女运动员.解（1）第一步：选3名男运动员，有《种选法；第二步：选2名女运动员，有C；种选法，故共有CMC；=120（种）选法.（2）方法一（直接法）：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理知共有C：•c：+d•C+c：・c；+c：•0246种选法.方法二（间接法）：不考虑条件，从10人中任选5人，有制种选法，其中全是男运动员的选法有戊种，故“至少有1名女运动员”的选法有C；°-C=246（种）.(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C；种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C；种选法，其中不含女运动员的选法有C：种，故不选女队长时共有C；一索种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C；+C-C；=191(种).归纳总结：.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关..要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.【练习2】在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训I.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.解(1)从中任取5人是组合问题，共有d=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有心=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C；=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：选从甲、乙、丙中选1人，有C；=3种选法，再从另外9人中选4人，有C；种选法，共有C；C；=378(种)不同的选法.探究三不同元素分组、分配问题【例3】有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成三组，每组都是2本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.解(1)分三步：先选一本有爆种选法，再从余下的5本中选两本有仁种选法，最后余下的三本全选有C：种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有C；CC；=60(种).(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题.因此，分配方式共有ChCMCMA；=360(种).(3)先分三组，有C；Cg种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为4B,C,D,E,F,若第一组取了4,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为C48CD,哥)，但CMC种分法中还有(46,EF,CD),(CD,AB,E4,(CD,EF,A扮,(EF,CD,M),{EF,AB,CD),共A；种情况，而这A；种情况只能作为一种分法，故分配方式有「a=15(种).(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式「a：•用=90(种).归纳总结：【练习3】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社

会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有种.【答案】12解析将4名学生均分为两个小组,解析将4名学生均分为两个小组,共有至

"aT=3(种)分法；将两个小组的同学分给两名教师，共有&=2种分法；最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地，有用=2种分法，故不同的安排方案共有3X2X2=12(种).探究四相同元素分配问题[例4]6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子.解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C；=10(种).(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，^|0|000|00|,有森种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|[00],有C；种插法，故共有C；・C；=40(种).(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板,有种插法，如100100001,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如Iloo1100001，有C种插法.②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|,有C；种插法.故共有C；・C+C；）=30（种）.归纳总结：（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.（2）将〃个相同的元素分给加个不同的对象血，有CT：种方法.可描述为n-\个空中插入m—1块板.【练习4】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A.4种 B,10种C.18种 D.20种【答案】B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取.第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册.即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C：种分法.第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队,一队分给画册，另一队分给集邮册，有C：种分法.因此，满足题意的赠送方法共有C：+C：=4+6=10（种）.课后作业A课后作业A组基础题一、选择题.C+窃的值为（ ）A.72B.36C.30D.42【答案】B解析c；+c：=d+d6X57X62X16X57X62X1+2X115+21=36..西:小•等于（）bioo।Cioo1A.~B.101C.ttzD.6b 107【答案】DAT,，r-Aioi A；O1A：0|：i解析~Ir97=Tc-Ir：l=r'=A;j=6.LiooT-^IOOI^IOOI^IOObiol3.某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（）A.16 B.21C.24 D.90【答案】B解析分2类:第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C=6种选取方法.第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有仁=15种选取方法.由分类加法计数原理得，共有戏+森=6+15=21（种）选取方法.4.把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有（）A.80种 B.120种C.140种 D.50种【答案】A解析当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有C；C；=20（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有C：C；=30（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有C：C；=30（种）不同的分配方案.故共有20+30+30=80种不同的分配方案.5.从2,3,…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组，a,b,c且水沃c,则不同的数组有（）A.35组 B.42组C.105组 D.210组【答案】A解析不同的数组，有C；=35（组）..凸十边形的对角线的条数为（）A.10 B.35D.90C.45D.90【答案】B解析瑶。-10=35（条），所以选B..北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A.C：黑便； B.此心尺/nl2z>1 1「 8 八z>12z>4z-»I*3筋 U.V14L12V8A8【答案】A解析首先从14人中选出12人共C；：'种,然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得0； 将三组分配下去共C：M%・如种.故选A.二、填空题.C；+C：+C；+…+或=.【答案】7315解析原式=C：+C；+C+…+C；：=C；+C：+…+点=以+凿=。=以=7315..已知C,C：,C成等差数列，则Cf=.【答案】91解析•:c,C,燥成等差数列， p4_i_•乙5一"丁"，n\A2X--~~—5!（〃一5）! n\ n\ =4!（/7-4）!+6!（77-6）!整理得万一2"+98=0,解得〃=14,〃=7（舍去），则比=《=91.10.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有种.【答案】75解析第一步，先从6名男医生中选出2名男医生有C：=15种选法；第二步，从5名女医生中选出1名有C；=5种选法，根据分步乘法计数原理可知，选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组的不同选法共有森C；=15X5=75种.11.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有种.【答案】48解析两老一新时，有C；C；A；=12（种）排法；两新一老时，有CC挥=36（种）排法.故共有48种排法.三、解答题12.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数.解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C；XC：XC：=64（种），若2张同色，则有C：XC；XC：XC；=144（种），若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有色XC：XC：XC；=192（种）,剩余2张同色，则有C；XC；XC=72（种）,所以共有64+144+192+72=472（种）不同的取法.13.高二（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？解（1）从余下的34名学生中选取2名，有备=561（种）.，不同的取法有561种.（2）从34名可选学生中选取3名，有点种.或者点一注=d=5984（种）.，不同的取法有5984种.（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有以）Cl=2100（种）.，不同的取法有2100种.（4）选取2名女生有C；°C：5种，选取3名女生有C%种，共有选取方式及=以Cs+C*=2100+455=2555（种）.不同的取法有2555种.⑸选取3名的总数有C3因此选取方式共有N=C：5-C；5=6545-455=6090（种）.不同的取法有6090种.14B组能力提升一、选择题1.在“海上联合一2013”中俄联合军演中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机，俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方各选出2个单位（1架飞机或1艘军舰都作为1个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有（）A.80种 B.120种C.180种 D.38种【答案】C解析若中方选出1架飞机，则选法有C：C；C；=120（种）；若俄方选出1架飞机,则选法有C©C：=60（种），故不同选法共有120+60=180（种）..假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为（）A.30B.21C.10D.15【答案】D解析用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有森=15种分配方法..某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）A.150种 B.120种 C.240种 D.540种【答案】A【解析】由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：3,1,1三组；②5名插班生分成：2,2，1三组，当5名插班生分成：3,1,1三组时，共有（C；C；N=6O种方案;当5名插班生分成:2,当5名插班生分成:2,2,1三组时,•G6=90种方案;所以，共有60+90=150种不同的安排方案.故选：A..将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的力、6两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在力医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有（ ）A.36种 B.32种 C.24种 D.20种【答案】A【解析】从甲、乙、丙3人在4医院的人数进行分类：若三人中只有一人在力医院，则甲在4医院时有。；=4种方案，乙、丙两人之一在A医院时有=12种方案；若三人中只有两人在力医院，则含有甲时有C；C：=12种方案，乙、丙两人同时在4医院时有C；=4种方案；若三人均在/医院，则有C；=4种方案；所以共有36种安排方案.故选：A..（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A.若任意选择三门课程，选法总数为可B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C；C；C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C；-C；D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为C；C；-C；

【答案】ABD【解析】若任意选择三门课程，选法总数为C；,故A错误若物理和化学至少选一门，选