高等数学下册第八章

第八章向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题.空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的.本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容.第一节向量及其线性运算一、向量的概念客观世界中有这样一类量，它们既有大小，乂有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做回邕（或券越）.在数学上，常用一条有方向蕨蕨,H丽］线段来表示向 /B量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以4为起点、8为终点的有向线段所表示的向量记/作存（图8-1）.有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面AT 图8—1加箭头）来表示向量，例如a、r、u、尸或77*了、F等.在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度与该质点的位置有关，一个力与该力的作用点的位置有关），有些向量与其起点无关.由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为巨出蛆（以后简称包魅），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什藐7rW遇到与起，/莪的向址时，可在一般原则下作特别处理.由于我们只讨论自由向量，所以如果两个向址a和。的大小相等，且方向相同，我们就说向量。和b是曳幽，记作a=b,这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.向量的大小叫做向址的模.向&4B、。和二的模依次记作I同I、IaI和工I.模等于1的向量叫做里位包好模等于零的向量叫做刈迪，记作。或为零向量的起点和终点重合7^痂】可以看做是任意的.TOC\o"1-5"\h\z设有两个非零向量a,b,任取空间一点。，作示=a,）后=8.规定不超过7T的4408（设卬=44。8,0W（pWir）称为向量。与b的 Xfi地（图8-2）,记作（Q）或（4）,即（a,b）=小如 /藁而量。与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可/以在0到TT之间任意取值. ►]如果（A）=0或％就称向量。与，平行.记作 图8-2a//b.如果（。淮）=个,就称向盘a与力垂直，记作aJ•儿由于冬向量与另一向量的夹角可以在。到”之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直.当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条立线上.因此，两向量平行，又称两向量型.类似还有向量共面的概念.设有7〃23）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面•二、向量的线性运算1.向量的加减法向量的加法运算规定如F：设有两个向量a与机任取一点九作八力”，再以B为起点,作8下=机连接TOC\o"1-5"\h\zAC（图8-3）,那么向量46?=c称为向址。与方的 C趣，记作a+力，即 Q+b/3上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三 /一/A a B鲤典 图8.力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们也有向量相加的笔立理辿理楚则•这就是：当向啦"与方不平行时，作用：=a,彳力=〃，以48病a二？5?而边形ABCI）,连接对角线AC（图8-4）,显然向量:立即等于向鼠。与b的和a+4向址的加法符合下列运算规律：

(1)交换律a+b=b+a；(2)线^®(a+6)+c=a+(b+c).这是奇版向址加法的规定(三角形法则)，从图8-4可见：a+b=AH+HC=AC=c,

b+a=AD+DC-AC=c,所以符合交换律.乂如图8-5所示，先作a+b再加上j即得和(。+〃)+c,若以。与力+c相加1,则得同一结果，所以符合结合律.由于向量的加法符合交换律与结合律，故〃个向量田，勺,…，%(〃23)相加可写成勺+/+…+%,并按向址相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如TOC\o"1-5"\h\z下：以前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量 夕\4,明,再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图8-6,有 /卜s=a,+a2+a.+%+a5.设。为一向量，与。的模相同而方向相反的向量叫做 图8—6a的负向量，记作由此，我们规定两个向量〃与。的差b—a=b+(-a).即把向量-。加到向量〃上，便得力与a的差力-。(图8-7(a)).(a)(b)

(a)(b)特别地，当》="时，有a-a=a+(-a)=0.显然，任给向量近及点。，有AB=AO+7)B=OB-OA,因此，若把向量a与b移到同一起点。，则从a的终点4向方的终点B所引向量同便是向量〃与。的差方-。(图8-7(b)).由三角形两边之和大于第三边，有la+bIWlaI+lbI及la-力IWlaI+lbI,其中等号在a与力同向或反向时成立.2.向量与数的乘法向量a与实数A的乘积记作4明规定Aa是一个向量，它的模IXaI=IAIlaI,它的方向当人>0时与a相同，当A<0时与a相反.当入=0时，1入al=0,即入a为零向量.这时它的方向可以是任意的.特别地，当入=±1时，有\a-a(-1)a=-a.向量与数的乘积符合下列运算规律：(1)纺食塞人(从a)=〃(八a)=(A〃)a.这是因为由向量与数的乘积的规定可知，向量入(从a)、〃(入a)、(M)a都是平行的向量，它们的方向也是相同的，而且IA(fia)I=l/z,(Aa)I=I(A/z)aI=IAjuIlai,所以A(jna)=p,(Aa)=(A/z)a.(2)金胆矍(A+/z)a=Aa+p,a, (1-I)A(a+b)=Aa+\b. (1-2)这个规律同样可以按向量与数的乘积的规定来证明，这里从略了.向量相加及数乘向量统称为向量的线挂运算. .例1在平行四边形48。。中.设袍=a,AD=b.试用a和b表示向量而、福、泥和话，这里M是平行四边形对角线的交点(图8-8).解由于平行四边形的对角线互相平分，所以a+b=AC=2AMt即—（a+b）=2MA,于是MA=-a+b）.因为讥=一加，所以证=4_（a+〃）.又因-a+〃=4=2而，所以说=［（。-a）.由于M8=-MO,所以MB=/（。一。）.前面已经讲过，模等于I的向量叫做单位向量.设e“表示与非零向量。同方向的单位向量，那么按照向量与数的乘积的规定，由于lai>0,所以lale“与e”的方向相同，即lale.与a的方向相同.又因lale.的模是lai\ea\=lai・l=lal,即lale“与q的模也相同，因此，a=\a\ea.我们规定，当人户0时,?=1。.由此，上式乂可写成AAiTi=e-这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.由于向量入”与。平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系.即有定理1设向量。卢0,则向量。平行于。的充分必要条件是：存在唯一的实数A,使》=八a.证条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性.设力〃a.取"I=21，当〃与。同向时入取正值，当。与。反向时人取负值，即有“入a.这是因为此时b与入a同向，且lAal=lAllal=-；--laI=I£»I.\aI再证数A的啡一性.设b=a。，乂设b=〃*两式相减，便得（A=0,即I入-川21=0.因故"一川=。即入=口.定理证毕.TOC\o"1-5"\h\z定理1是建立数轴的理论依据.我们知道.给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定 , 」 •： 一了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及 ° ' '一个单位向量就确定了一条数轴.设点。及单位 图8-9向量i确定了数轴。》（图8-9）,对于轴上任一点P,对应一个向后而，由于加〃i,根据定理1,必有唯一的实数%,使。户=式（实数x叫做轴上有向线段（〃；的值），并知加与实数X——对应.于是点2~►向量苏=.式一实数X,

从而轴匕的点P与实数X有一一对应的关系.据此，定义实数X为轴上点P的坐标.

由此可知，轴上点。的坐标为工的充分必要条件是OP=xi.三、空间直角坐标系在空间取定一点。和三个两两垂直的单位向址i、j、h就确定了三条都以0为原点的两两垂直的数轴，依次记为建（横轴）、建（纵轴）、速J（啰轴）.统称空屈.它们构成一个空间直角坐标募称为需系或［o7},a］坐标系（前二G）.通常把X轴和y轴配置在水平面上，而二轴则是铅垂线；它HJ的正向通常符合行手规则,即以右F握住二轴，当右手的四个手指从正向.V轴以；角度转向正向）轴时，大拇指的指向就是2轴的正向,如图8-I1.三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平而，这样定出的三个平面统称为坐标面.X轴及y轴所确定的坐标而叫做X。）而，另两个111V轴及二轴和由-轴及X轴所确定的坐标面，分别叫做）西及Z巴西.三个坐标而把空间分成八个部分，每一部分叫做一个姆.其市]H.yOz面前方、z〃工面右方的那个卦限叫做第一卦限,赢第二、第三、第四卦限，在X。1面的上方.按逆时针方向确定.加霹行I卦限，在X。'面的下方,由第一卦限之下的第五圭卜限，按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母IJijn、n、v、也、亚、皿表示（图8-12）.任给向量r,有对应点M,使加=厂以0M为对角线、三条坐标轴为梭作长方体RHMK-"A。，如图8-13所示，有r=0M=0P+PN+NM=（）IP+0Q+0R,设OP=xi.7）Q=yj,0K=zA,贝l] ►r=OM=xi+>7+zk.上式称为向量r的笺坯&岭式，工i、和二k称为向量r沿三个坐标轴方向的显然，给定向量广，就确定了点M及〃户、而、7函三个分向量，进而确定了X、九z三个有序数；反之，给定三个有序数x、y、z,也就确定了向量，与点M.于是点向量，与三个有序数"八z之间有一一对应的关系M<—►r=OM=xi+yj+zk«——>（x,y,z）,据此，定义：有序数7、z称为回龙」（在坐标系Oxyz中）弛生登，记作r=（x,y,z）；有J子数x、y、z也称为宓义（在坐标系Oxyz中）©组便，汨作M（x,y,z）.向Hr=。力称为点M关线a0的良隹.上述定燕瓦一个点与该点的向径仃相同的坐标.记号（x,y,z）既表示点M,乂表示向世。疝坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例如：如果点M在yOz而上，那么X=0；同样,在zOx面上的点，有）•=0；在x（）y而上的点，有Z=0.如果点M在％轴上，那么y=z=O；同样，在y轴上的点，有z=x=O；在z轴上的点，有*=y=0.如点M为原点，则x=y=z=0.四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法,减法以及向量与数的乘法的运算如下：设a=(a①当a,、*.%有一个为零，例如0,a,、"，#(),这时(I-3)式应理解为

也=0.,b,\

①当a,、*.%有一个为零，例如0,a,、"，#(),这时(I-3)式应理解为

也=0.,b,\

一=一;明当«.、4、%有两个为零.例如%=%=。,"产0.这时(I-3)式应理解为a=ati+(itJ+a.k,b=bj+b,j+bk.利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，有a+b=(%+/>,)/+(«,+4)j+(a,+-)A,a-b=(a,-h,)i+(ay-bjj+(at-b.)k,Aa=(Aa,)/+(Aa))j+(A«:)A(入为实数)，即a+b=(a,+b,,a,+b,,a:+b:),a-b=(aj-bt,at-l)>,a:-6.),

Afl=(Ao,,A</,,Aa.).由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了.定理1指出，当向量时，向量〃〃。相当于〃=人。，坐标表示式为(>也也)=A(a,,o,,a;),这也就相当于向量b与a对应的坐标成比例例2求解以向量为元的线性方程组5x-3j=a,,3x-2y=b,其中a=(2,l,2),b=(-1,1,-2).

解如同解以实数为元的线性方程组一样，可解得x=2a-3b,y=3a-5b.将。力的坐标表示式代入，即得x=2(2,l,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),

j=3(2,l,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).例3已知两点4已1,九,Z1)和8(心，z2)以及实数4#-1,在直线.48上求点M,使AM=AMB.如图8-14所示.由于AM=OM-OA,MB=OB-OM,OM-OA=\(0B-'0M),因此从OM-OA=\(0B-'0M),凉=占(凉+人用.将右、说的坐标(即点,4、点H的坐标)代人，即得—।zx,+Xx2%+人力z,+Az2\~\1+A*1+入'1+入J*这就是点M的坐标.本例中的点M叫做有向线段战的A分点.特别地，当A=1时，得线段AB的中点为通过本例，我们应注意以F两点：(1)由于点M与向量宿有相同的坐标,因此，求点肘的坐标，就是求而的坐标.(2)汜号(x,y,z)既可表示点M,又可表示向盘疝，在几何中点与向量是两个不同的概念，不可混淆.因此，在看到记号(%y,z)时，须从上F文去认清它究竟表示点还是表示向量.当(x,y,z)表示向量时，可对它进行运算；当(*九z)表示点时，就不能进行运算.五、向量的模、方向角、投影1.向■的模与两点间的距离公式设向量r=(x,y,z)，作。M=r，如图8-13所示，有r=OM=()P+OQ+OR,按勾股定理可得Irl=\0M\=y/\OP\2+\0Q\2+\0R\2.由。P=xi,7)Q=yj,OR=zk,有\0P\=Ixl,IOQI=lyl,\0R\=Izl,于是得向量模的坐标表示式IrI=-Jx1+y2+z'.设有点A(x,,y,当)和点8(孙，力生)，则点A与点8间的距离MBI就是向量幅的模.由AB=0R-0A=(x2,y2,z2)-(x,,y,,zt)=(*2"，力-y.，Z2-Z|),即得4两点间的距离1481=IA8I=^/(x,-x,)2+(y2-/i+(z?-Zf)'.例4求证以"(4,3,1)、%(7,1,2)、M,(5,2.3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为 2 , , ,IA/..WJ2=(7-4)2+(1-3)2+(2-I)2=14,\M2M3\2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6,I川必-=(4-5尸+(3-2尸+(1-3/=6,所以IM2MJ=I圾MJ,即△〃，小2M为等腰三角形.例5在z轴匕求与两点4(-4,1,7)和8(3,5.-2)等距离的点.解因为所求的点M在z轴上，所以设该点为时(0,0二).依即意有\MA\=\MB\,即y(0+4):+(0-1)2+(z-7):=7(3-0)2+(5-0):+(-2-z)2.两边平方，解得14Z=~9,因此，所求的点为叩,0⑤.例6已知两点4(4,0,5)和8(7,1,3),求与XA方向相同的单位向量7.解因为篇=隔-加=(7,1,3)-(4,0,5)=(3.1.-2),所以\AB\=6+—+(-2>=于是于是AB]e力=^=r=-^(3,1,-2).,SIM/I42.方向角与方向余弦非零向量r与三条坐标轴的夹角AB]e力=^=r=-^(3,1,-2).,SIM/I42.方向角与方向余弦非零向量r与三条坐标轴的夹角a、S、y称为向量r的史典圆.从图8-15可见，设。M=r=（x,y,z）,由于,V是T圆段加的值.MP_LOP,故cosa= \0M\类似可知O从而COS0=cosy=言.cosa,cosp.cosy)=(|7|JTrT*i7T)=T77(x'y>2)CCSa,cosB，cosy称为向量r的.瓦町余整.上式表明，以向盘r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量并由此可得cos*a+cos'/?+cos2y=1.例7和方向角.解已知两点时|（2.2,々）和知2（1,3,0）,计算向量而而的模、方向余弦"M=(l-2,3-2,0-^7)=(-1,1,-72),IAfXI=IAfXI=7(-1)2+I2+(-72)1cosa="-,2tt6=辛，y=+1+2=5/4'=2；42

cosy=;3H=T'设点4位于第I卦限，向径方与x轴、y轴的夹角依次为:和:，且I=6,求点A的坐标.

解a=三,0=半由美系式cos2a+cos2/?+cos)=1,得因点A在第I卦限，知cosy>0,故2cosy2cosy11

COSy=y.于是示=1次、=6(£，¥t)=(3,3.,3),这就是点4的坐标.3.向量在轴上的投影如果撇开y轴和Z轴,单独考虑a轴与向量，=隔的关系,那么从图8-15可见，过点M作与欠轴垂直的平面.此平面与*轴的交点即是点P.作出点儿即得向量r在x轴上的分向量。户,进而由。户=力，便得向后在工轴上的坐标X,且x=lrIcosa.一般地，设点。及单位向量e确定〃轴(图8-16).任给向量r,作加=r,再过点M作与u轴垂宜的平面交u轴于点M'(点盟'叫做:里以理上翘上的矍州)，则向量宿称为向量r在u轴上的分向量.设而=入e,则数人称为向量，在u轴上的投影，记作Prjj或(r)“.按此定义,向量。在直角坐标系。4z中的坐标巴、%、巴就是a在三条坐标轴上的投影.即a,=Prj,fl,",=Prj,fl,a.=Prj.fl,或记作=(a),,a,=(a),,a.=(a)..由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质：性质1Prjua=laIcos<p(即(a兀=laIcos。)，其中中为向量a与“轴的夹角；性质2Prj,(a+ft)=Prj.a+Prj.d(即(…).=(a).+⑹.);性质3Prj„(Aa)=APrj„a(EP(Aa)„=A(a),).例9设正方体的一条对角线为“M,一条棱为且1。41=a,求殖在南方向上的投影Pr扃了.'①向fitr在向Ma(a#0)的方向I：的投影P%r是指「在某条与。同方向的轴I-的投

解如图8-17所示，记4M04=卬，有1041 1侬3=而方=方于是Pr加0A=1041cos3=T..设"=a-6+2c,t>=-。+38-。.试用。、力、<:表示2“-3。..如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形..把△A8C的8C边五等分，设分点依次为D,、/、伉、伉，再把各分点与点A连接.试以AB=c、BC—a表zn向量014、0?A、/月和Z\4..已知两点%(0,1,2)和/(1,-1.0).试用坐标表示式表示向用方而及-2；虫亡.求平行于向址。=(6.7,-6)的单位向国..在空间在角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？.4(1,-2,3),8(2,3,-4),C(2,-3,-4),0(-2.-3.1)..在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出卜.列各点的位置：4(3,4,0),8(0,4,3),C(3,0,0),0(0,-1,0)..求点(。,6,点关于(I)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标..自点,九,％)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标..过点心(4,九，z°)分别作平行于工轴的宜线和平行于x()y面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？边长为a的正方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点柞.<•轴和y轴上，求它各顶点的坐标..求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离..在y3面上，求与三点4(3,1,2).8(4,-2.-2)和C(0,5,1)等距离的点..试证明以三点4(4,1.9).8(10,-1.6)、C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰立命三角形..设已知两点M,(4,々,1)和%(3,0,2),计算向依历而;的模、方向余弦和方向1(1..设向fit的方向余弦分别满足(I)cosa=0;(2)cos3=I;(3)cosa=<<>s°=(),问这些向址与坐标轴或坐标面的关系如何?.设向r的模是4,它与u轴的夹角是W，求r6：”轴上的投影..一向V的终点在点8(2,-1,7),它在x轴,)轴和z轴上的投影依次为4.-4和7.求这向址的起点A的坐标..设/n=3i+5/+8A,”=2i-4j-7A和〃=5i+j-4A,求向H°=4，"+3〃一p仔.1轴L

的投影及在y轴上的分向量.第二节数量积向量积*混合积一、两向量的数量积设一物体在恒力F作用下沿直线从点明移动到点.*,以s表示位移由物理学知道，力尸所作的功为即=I尸IIsIcos0,其中。为尸与S的夹角(图8-18).从这个问题看出，我们有时要对两个向量4和b作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于、历1及它们的夹角0的余弦的乘积.我们把它叫做向量a与力的数量积，记作(图8-19),即a•b=\a\IbIcos8.图8-18 图8-19根据这个定义，上述问题中力所作的功卯是力尸与位移S的数累积.即W=F-s.z\由于IbIcos6=181cos(a.b),当aX0时是向htb住向量a的方，向上的投影，用Prjab来表示这个投影，便有a-h=\a\Prj),同理，当。#0时有。•力=IbIPrj/.这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.由数量积的定义可以推得：(1)a•a=la12.这是因为夹角9=0,所以a•a=\al2cos0=IaI\(2)对于两个非零向量。力，如果。-6=0,那么。上6；反之，如果。上。，那么a,8二0.这是因为如果。•方=0,由于lawo,⑸#0,所以CQS。=0,从而，二会即a_Lb；反之，如果a_L方，那么=y-,cos8=0,于是"A=lallZ>lcos8=0.由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为；向量a_L匕的充分必要条件是a-b=Q.数量积符合下列运算规律：(1)窸曼底a'b=b-a.证瀛添义有Z\ Z\a'b=\a\\b\cos(a,b),b,a=\b\\a\cos(6,fl),而Z\ Z\lai161=161lai,且cos(a.b)=cos(Z>,a),所以a,b=b'a.(2)分配律(a+b)-c=a,c+b•c.证者二i时，上式显然成立；当exo时，有(a+b),c=IcIPrjf(a+b),由投影性质2,可知Prje(a+b)=Prjra+Prj/,所以(a+6),c=IcI(Prjra+Prj/)=IcIPrj{.a+IcIPrj/=a-c+b-c.(3)数量积还符合如下的结合律：(Xa)•b=A(a•d),A为数.证当。=0时，上式显然成立；当时，按投影性质3,可得(Aa)-b=\b\Prjfc(Ka)=lbIAPrjta=入I。IPrjA«=A(a,b).由上述结合律，利用交换律，容易推得a,(Aft)=A(«•b)及(Aa)*"b)=A/i.(a,).这是因为a•(人力)=(Ab)•a=A(Z>•a)=A(a,Z>)；

(Xa)•()=Aa•(从\)]=A[/i(a,b)]=A/z(a•b).例1试用向量证明三角形的余弦定理.图8-20证设在△48C中，乙8C4=8(图8-20)IBCI=a,IC4I=I),\ABI二c,要证cZ=a"+b—-图8-20iUCB=a,C4=b,AB=c,贝l]有c二a-b,从而\c12=c・c=(a-b)・(a-b)=a・a+》•b-2a•bz\=Irtl2+\b\2-2lalIftlcos(a,ft).z\由lai=a,\b\=6,1。1=」及(。,力)=0,即得c2=a2+b2-2a6cos8.下面我们来推导数量积的坐标表示式.^a=a,i+aj+a：k.b=b、i+b、j+bjc.按数量积的运算规律可得a•b=(a/+aj+a；A)・(b，i+bj+b:k)=aj-(6,1+b、j+b：k)+(i、j•(b，i+b,j+b；k)+a：k•(bj+bj+b：k)=atbti•i+atbj・j+a、b：i•k+n/J•i^abj ・k+ab、k♦iabk•j+(i.b,k-k.因为i、J和A互相垂•直，所以i•j=八A=A•i=0,j'i=k-j=i-k=0.乂因为i、j和&的模均为1,所以i•i=j•八A•A=1.因而得a,b=a,/>.+0也+"也・这就是两个向量的数量积的坐标表示式.因为a•h=laI161cos。，所以当a与b都不是零向量时，有cos8cos8=\a\\b\将数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代入上式,就得abt+al)t+ab/) .Xf-• ••cos8=- - - .Ja：+a：J”+b：+b；这就是两向什夹f(!余弦的坐.标表示式.例2已知三点M(1,1.1)、4(2.2,1)和矶2,1,2),求乙4MB.解作向量M彳及福.乙4M8就是向量而与苏的夹角.这里.加=(1,1.0),/!〃：=(1,0,1),从而M4-A7e=lxl+lxO+Oxl=],

IM4I= I丽=/l2+03+lf=72.代人两向量夹角余弦的表达式，得MA•MB| 1cosZ_AMB二-r—…广= =—.\MA\\MB\々•"2由此得LAMB=y.例3设液体流过平面5上面积为,4的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)。.设〃为垂直于5的单位向量(图8-21(a)),计算单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量m(液体的密度为p).图8-21解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为4、斜高为I。I的斜柱体(图8-21(b)).这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是。与〃的夹角仇所以这柱体的高为21cos仇体积为4IvIcos0=Av-n.从而，单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量为m=pAv•n.二、两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.F面就举一个简单的例子来说明表达力矩的方法.设0为一根杠杆〃的支点.有一个力F作用于这杠杆上〃点处.F与中的

夹角为。（图8-22）.由力学规定，力尸对支点。的力矩是一向量它的模

\M\=\0Q\IFI=IOPIIFIsin0,而M的方向垂直于而与F所决定的平面，M的指向是按右手规则从。户以不超过曾的角转向尸来确定的，即当右手的四个手指从样以不超过tt的角转向F握拳时，大拇指的指向就是M的指向（图8-23）.这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况,在其他力学和物理问题中也会遇到.于是从中抽象出两个向量的向量积概念.设向量c由两个向量。与方按下列方式定出：c的模Icl=laiIMsine,其中8为a、b间的夹角；c的方向垂直于a与力所决定的平面（即c既垂直于明又垂直于5），c的指向按右手规则从。转向。来确定（图8-24）,向量c叫做向量a与b的向量积，记作axb,即c=axb.按此定义,上面的力矩Af等f而与产的向心积，即M=OPxF.由向址积的定义可以推得：（1）axa=0.这是因为夹角8=0,所以laxal=la-sin0=0.（2）对于两个非零向量。力，如果axb=0,那么a〃6反之，如果那么axb=0.这是因为如果axb=0,由于laiX0,IZH六0,那么必有sin8=（）.于是8=。或Ti•，即a〃力；反之，如果。〃b,那么。=0或it,于是sin9=0,从而laxhI=0.即ax力=0.由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此，上述结论可叙述为：向量。〃力的充分必要条件是axb=O.向址积符合下列运算规律：(1)hxa=-axb.这是因为按右手规则从b转向a定出的方向恰好与按右手规贝IJ从a转向b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.(2)分配律(a+b)xc=axc+bxc.(3)有赢还符合如下的结合律：(Aa)xb-aX.{Xb)=A(flxft)(A为数).这两个规律这里不予证明.下面来推导向量积的坐标表示式.设a=a,i+aj+a；k,b=b,i+bj+b：k.那么，按上述运算规律，得axb=(aj+aJ+a.k)x(bj+bj+b.k)=a,ix(b,i+bj+b,k)+aJx( +bsk)+axix(b,i+bj+b:k)=atbt(ixt)+a也(ixj)+a也(ixA)+a也(jxi)+a,6,(yxj)+a,bjjxk)+aj),(kx<)+a也(Axj)+a也(AxA).因为ixi=jxj=kxk=0、ixj=k、jxk=i、kxi=j,jxi=-k、kxj=-i和ixk=所以axb=(a也-a,b,)i+(a：b.-a.b,)j+(a,6>-aybt)k.为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成TOC\o"1-5"\h\zi j kaxb= a, a, ar .b, bt例4设a=(2,l,-1),力=(1,-1,2),计算axA.i j k解 axb= 2 1 -1 =i-5j-3k.1 -1 2例5已知三角形45c的顶点分别是4(1,2,3)、8(3,4,5)和。(2,4,7),求三角形48c的面积.解根据向址积的定义.可知三角形的面积S.：=2MClsin44=^\AlixAC\.由于同=(2,2,2),m=(1,2,4),因此__ijkABxAC=222=4/-6/+2JI,124于是5A^=yl4<-6/+2AI=y/42+(-6)J+22="TOC\o"1-5"\h\z例6设刚体以等角速度3绕/轴旋转，计算刚体 ,3上一点M的线速度.解刚体绕/轴旋转时，我们可以用在/轴上的一 二 弋个向址3表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住/轴，当右手的 一毛四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是3的方向(图8-25). y设点M到旋转轴I的距离为明再在/轴上任取一 /点。作向量「=而，并以。表示3与，的夹角，则 ”/a=Irlsin3.设点M的线速度为u,由物理学上线速度与角速度间 图8-25的关系可知，”的大小为lvl=la>la=la>llrlsin8；”的方向垂直于通过M点与/轴的平面，即”垂直于3与r；又u的指向是使3、八。符合右手规则.因此有v=xr.•三、向量的混合积设已知三个向kta力和c.先作两向量a和b的向址积axb.把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(axb)♦c,这样得到的数量叫做三向量a力、c的混合积，记作下面我们来推出三向量的混合积的坐标表示式•设a=(a,,a,,4) =(b,.6,,6,),r=(c,,c,,q),因为*jkax力二%°, 0,b、b,b,•・*•= 1- J+ k,工b,b,4 6,bf再按两向量的数量积的坐标表示式，便得[abc]=（axb）-ca（a.atatata,=c, -c, +c,b,b.'b,bt，b,hfa«a,a,

=b、A,A.Jc,J向量的混合积有下述几何意义：向量的混合积[abc]=（axb）♦c是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.如果向量a、。、c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向。来确定），那么混合积的符号是正的；如果a3、c组成左手系（即c的指向按左手规则从。转向力来确定），那么混合积的符号是负的.郭实上，设加=%而=》，芯=，按向量积的定义，向量积axb=/是一个向量，它的模在数值上 C.Lr TOC\o"1-5"\h\z等于以向量a和。为边所作平行四边形的面\a/\/Z\积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当％ 0匕―/Me组成右手系时，向量/与向量c朝着这平面的 \/同侧（图8-26）；当a、b、c组成左手系时，向量/与 / D向量C朝着这平面的异侧.所以，如设/与C的夹角 图8-26为a,那么当a、b、c组成右手系时,a为锐角；当。力。组成左手系时，a为钝角.由于[abc]=（axb）•c=IaxIIcIcosa,

所以当a力、c组成右手系时，[abc]为正；当a力、c组成左手系时」abc]为负.因为以向量a为9为棱的平行六面体的底（平行四边形0408）的面积S在数值上等于laxbl,它的高h等于向量c在向量/上的投影的绝对值，即h=IPrj,cI=IeIIcosaI,所以平行六面体的体积V=Sh=\ax6IIcIIcosaI=I[abc]I.由上述混合积的几何意义可知，若混合积[abc]#0,则能以a、，、c三向世为棱构成平行六面体，从而、c三向量不共面；反之，若a、b、c三向量不共面，则必能以a/、c为棱构成平行六面体，从而[a力c]六0.于是有下述结论：三向量。力、c共面的充分必要条件是它们的混合积[abc]=0,即%a,5b.A6,=0.Jc,q例7已知不在一平面上的四点：4(修，当)、8(%，力，为)、。(/,力，/)、0(3,九，z“).求四面体43co的体积.解由立体几何知道，四面体的体积V等于以向量.藐、公和高为棱的平行六面体的体积的六分之一.因而V=y|[4BACAD]\.由于AB=(z2-xx，力-y,A-Zi),AC=(x3-x,,y3-y,,z3-z,),A。=(x,-x,,y4-y,,z4-zt),所以42-*|y2一九Z：-Z|„1丫=±n%一/y3-ytZ3-Z|,o44一~九一九Z「Z|上式中符号的选择必须和行列式的符号一致.例8已知A(】，2.0)、8(2,3,1)、C(4,2,2)、M(%),z)四点共面，求点M的坐标％、y、z所满足的关系式.解4、8、C、M四点共面相当于宿、福、正三向量共面,这里而=(*-l,y-2,z),H=(1,1,1),祀=(3,0,2).按三向量共面的充分必要条件.可得x-1y-2z1 1 1 =0,3 0 2即21+y-3z-4=0.这就是点M的坐标所满足的关系式.习题8-2.设a=3i-j-2A.6=i+2j-A,求a•b及axb；(2)(-2a)•3b及ax2b；(3)。力的夹角的余弦..设。力、c为单位向量，且满足a+8+c=0,求*6+6・c+c・a..已知%(1,-1.2)、M1(3,3,1)和%(3.1.3).求与拆下；、可7：同时垂直的单位向量..设质量为100kg的物体从点外(3,1,8)沿直线移动到点外(1,4,2),计算重力所作的功(坐标系长度单位为m.重力方向为z轴负方向)..在杠杆上支点O的一侧与点0的距离为X,的点P,处，有一与万百成角0,的力死作用着；在。的另一侧与点0的距离为2的点匕处，有一与诅成角%的力尸z作用着(图8-27).问内、4、I、1尸/符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？.求向量a=(4,-3,4)在向量6=(2,2/)上的投影..设a=(3.5,-2),6=(2,1,4),间人与〃行怎样的关系，能使得入a与z轴垂直？.试用向量证明直径所对的阴周角是直角..已知向量。=2»-3_/+&淮=，-/+34和，=，-2九计算：(1)(a•b)c-(a•€)/＞；(2)(a+b)x(b+c)；(3)(axb)•c..已知苏=i+3h冠=j+3A,求△048的面积.-11.已知。=(4，叫,4)/=(4,6,,=),c=(c,,c,,q),试利用行列式的性质证明:(axb)•c=(ftxc)•a=(cxa)•b,12.试用向量证明不等式：/a；+a；+a；+6；+〃：\albl+a2b2+a363I,其中%，％，4，4，勾，丛为任意实数.并指出等号成立的条件.第三节平面及其方程一、曲面方程与空间曲线方程的概念因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空间直线以前，先引入有关曲面方程与空间曲线方程的概念.像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹.在这样的意义下，如果曲面S与三元方程尸（x,y,z）=O （3-1）有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（3-1）；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（3-1）,那么，方程（3-1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（3-1）的图形（图8-28）.空间曲线可以看作两个曲面加，$的交线.设F（x,y,z）=0和G（x,y,z）=0分别是这两个曲面的方程，它们的交线为C（图8-29）.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组图8-28 图8-29反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组（3-2）.因此，曲线C可以用方程组（3-2）来表示.方程组（3-2）就叫做空间曲线C的方程，而曲线C就叫做方程组（3-2）的图形•在不访不二潼*们将以向量为工鼠儒而而稔亲中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.二、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量•容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面n上一点m0"，K.“）和它的一个法线向量〃=（4,8］）为已知时，平面n的位置就完全确定了.下面我们来建立平面〃的方程.TOC\o"1-5"\h\z设M（xj,z）是平面〃上的任一点（图8-30）. 1则向量疣B必与平面n的法线向址〃垂直，即它们的数量积等于零n- =0.因为〃=（m）,Ma,M=（#-.%,y-%,Z-Zo）.所 7，以有 /.4（x-x0）+^（3~Jo）+Cz-zo）=°- 图8_30（3-3）这就是平面n上任一点M的坐标x,y,z所满足的方程.反过来.如果M（x.y,z）不在平面n上,那么向量.%M与法线向量M不垂直,从而n•玩而#0,即不在平面［J上的点M的坐标x,y,z不满足方程（3-3）.由此可知,平面11上的任一点的坐标x,y,z都满足方程（3-3）；不在平面〃上的点的坐标都不满足方程（3-3）.这样，方程（3-3）就是平面〃的方程，而平面〃就是方程（3-3）的图形.因为方程（3-3）是由平面〃上的一点%,国.笛一“）及它的一个法线向量〃=（4,也0确定的，所以方程（3-3）叫做生理竺良法式一方售“7~益由2,-3,0）且以〃=（】，-2,3）为法线向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程（3-3）,得所求平面的方程为（x-2）-2（y+3）+3z=0,即x-2y+3z-8=0.例2求过三点MJ2,-I,4）、/%（-1.3,-2）和/（0,2,3）的平面的方程.解先找出这平面的法线向量〃.因为向量〃与向量时薪；和*M；都垂直,而M；M；=（-3,4,-6）,万武=（-2,3,-1）,所以可取它们的向量积为“，即 ,_ijkn=M,m\xA/..W*=-34-6=14i+9j-k,-23-1根据平面的点法式方程（3-3）,得所求平面的方程为14（—2）+9（丁+I）-（z-4）=0,即14x+9y-z-15=0.三、平面的一般方程因为平面的点法式方程（3-3）是％、y和z的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，设有三元一次方程Ax+By+Cz+D=0. （3-4）我们任取满足该方程的一组数即Ax{}+By。+Cz{）+D=0. （3一5）把上述两等式相减.得A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0. （3-6）把它和平面的点法式方程（3-3）作比较，可以知道方程（3-6）是通过点儿（仆,y0,z。）且以〃=（A,8,C）为法线向量的平面方程.但方程（3-4）与方程（3-6）同解，这是因为由（3-4）减去（3-5）即得（3-6）,乂由（3-6）加上（3-5）就得（3-4）.由此可知，任一三元一次方程（3-4）的图形总是一个平面.方程（3-4）称为平面的一般方程，其中x、y、z的系数就是该平面的一个法线向量〃的坐标.即n=（A,B,C）.例如，方程3x-4y+z-9=0.表示一个平面,“=（3.-4,1）是这平面的一个法线向量.对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点.当7）=0时，方程（3-4）成为4x+Ry+Cz=0,它表示一个通过原点的平面.当4=0时，方程（3-4）成为8）+。+。=0,法线向量〃=（0,8.0垂直于x轴，方程表示一个平行于（或包含）工轴的平面.同样，方程+Cz+办=0和+By+〃=0分别表示一个平行于（或包含）y轴和z轴的平面.当4=8=0时，方程（3-4）成为G+。=0或z=.法线向出〃=（0.0.0同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于（或重合于面的平面.同样，方程4x+D=0和fly+0=0分别表示一个平行于（或重合于））小面和*Oz面的平面.例3求通过x轴和点（4,-3,-I）的平面的方程.解由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴,于是法线向量在一

轴上的投影为零，即4=0;又由平面通过x轴，它必通过原点，于是。=0•因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因这平面通过点(4,-3,-1),所以有-3B-6=0,或C=-38.以此代人所设方程并除以B(8/0),便得所求的平面方程为y—3z=0.例4设一平面与x、y和z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点(图8-31),求这平面的方程(其中a^O,60O,c^O).解设所求平面的方程为4%+By+Cz+O=0.因P(q,0,0)、Q(0,6,0)和A(0,0,c)三点都在这平面上，所以点P、0和R的坐标都满足方程(3-4),即有 图8-31rOA+0=0,6B+0=0,

[cC+0=0,

解得TOC\o"1-5"\h\zDn口门 DA= ,B=--,C= .a b c以此代入(3-4)并除以。(。/0),便得所求的平面方程为—+4-+—=1. (3-7)abc方程(3-7)叫做平面的截距式方程，而a、6和c依次叫做平面在x、y和z轴上的截距.四、两平面的夹角两平面的法线向轨的夹角(通常指锐角或宜角)称为两平面的夹角.设平面和〃2的法线向量依次为%=(4，4，6)和〜=(42,fl2,C2),Z\ Z\ /X则平面〃|和〃2的夹角。(图8-32)应是(叫,〃2)和(-n,,n2)=1T-(nt,n2)

图8-32/\两者中的锐角或直角.因此,cose=ICOS(W1,/l2)l.图8-32〃2的夹角。可由a /+C]C?Icos3=:'，1 ~:- (3-8)/宙+8：+C：/用+8；+C；来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：小、也互相垂宜相当于44+b,b2+c,c2=o；48c〃|、/人互相平行或重合相当于/= /A2h2C2例5求两平面、-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.解由公式(3-8)有11x2+(-1)x1+2x1I1cos0=-_一•一，,一~ =—/12+(-1)2+22/22+I2+ 2因此，所求夹角0=y.例6—平面通过两点,%(1,1,1)和％(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解设所求平面的一个法线向量为n=(4,B,C).因根忒=(-1,0,-2)在所求平面上,它必与n垂直,所以有-A-2C=0. (3-9)又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0,所以又有A+B+C=0. (3-10)由(3-9)、(3-10)得到.4=-2C,/?=C.由平面的点法式方程可知，所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(2-1)=0.将4=-2C及8=C代入上式，并约去C(。声0).便得-2(x-1)+(y-I)+(z-l)=0,即2x-y-z=0.这就是所求的平面方程.

例7设尸。(舞,九田)是平面祗+力+。2+0=0外一点，求P。到这平面的距离(图8-33).解在平面上任取一点％(孙，以百)，并作一法线向量”，由图8-33,并考虑到RR：与"的夹角8也可能是钝角，得所求的距离—>. >一. |P.Pq-n,d=IP|%|Icos的= - .而 图8-33般二(4,3,C),P[PQ=(x0-x,,y0-71,z0—z1),得 __PiP：•n4(x()f)+8(几f)+C(z()-Z|)lnl y/A2+B2+C2Ax0+gyu4-Cz0-(4%,+fiyt+Czt)

^A2+B2+C2因为4尤।+Byt+Czj+。=0,所以►P}PQ•wAxq+By0+CzQ+D+c，.由此得点Po(Xo,九,Zo)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式(3-11)14%0+ByQ+CzQ+DI

^A2+B2+C2(3-11)例如，求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离，可利用公式(3-11),便得“Jx2+lx-x3=3=&

i/l2+12+(—I)2 3习题8—3.求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程..求过点%(2,9,-6)且与连接坐标原点及点Mn的线段()Mtt垂宜的平面方程.3,求过%(1,1,-1)、％(-2.-2,2)和M,(l,-1,2)三点的平面方程..指出下列各平面的特殊位置,并间出各平面：x=0； (2)3y-1=0；(3)2x-3y-6=0； (4)x- =0；(5)y+z=I； (6)x-2z=0；(7)6x+5y-z=0.

.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦..一平面过点（1,0,-1）且平行于向累。=（2//）和6=（1,-1,0）,试求这平面方程..求三平面x+3y+z=1.2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点..分别按下列条件求平面方程：（1）平行于面且经过点（2,-5,3）；（2）通过z轴和点（-3,1,-2）；（3）平行于x轴且经过两点（4,0,-2）和（5,1,7）..求点（1,2,1）到平面x+2）+2z-10=0的距离.第四节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程空间直线人可以看做是两个平面〃।和〃2的交线（图8-34）.如果两个相图8-34交的平面/7,和的方程分别为4卢+%>+C、z+。|=0和A2x+B2y+C2z+D2=。，那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程图8-34r4.x+B,y+C,z+D,=0,, , （4-1）A2x+B2y+C2z+D2=0.反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能同时在平面〃।和n2上，所以它的坐标不满足方程组（4-1）,因此,1,[线/.可以用方程组（4-1）来表示.方程组（4-1）叫做至如篁线电二根万笆通过空间一直线心的平面有无限多个,R5"有获前笏辩面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间宜线七二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做这条直线的互包包量.不靖过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线，所以当直线L上一点的0（4,九,2。）和它的一方向向量s=（〃[,”,/，）为已知时,直线工的位置就完全确定了.下面我们来建立这直线的方程.设点M（叫y,z）是直线L上的任一点,则向所正不与L的方向向址$平行

(图8-35).所以两向量的对应坐标成比例，由于M押=(x-x0,y-y0,z-z0),s=(m,n,p)，从而有==匚*==.① (4-2)mnp反过来，如果点M不在直线L上，那么由于瓦筋与s不平行，这两向量的对应坐标就不成比例.因此方程组(4-2)就是直线L的方程，叫做雪幽赞型程或点向式方程.在线的任一方向向量s的坐标m、n和P叫做这直线的一组互围笠而向量s的方向余弦叫做该直线的左包金买由直线而标式方程容易导出直线的参数方程.如£x-x0y-y0z-z0

mnp

则

x=%0+mt,,y=y0+nt, (4-3)(z=zQ+pL方程组(4-3)就是直线的参数方程.例1用对称正房施嬴通表示直线［算+y+z+l=0,J (4-4)2x-y+3z+4=0.解先找出这直线上的一点(/，九为).例如，可以取%=1,代入方程组(4一4),得y+z=-2,y-3z=6.解这个二元一次方程组，得y0=°.zo=-2,①当"一"和〃中有一个为零，例如m=0,而“与p#0时，这方程组应理解为.x-x0=0,y-/o”一飞

np当mn和〃中有两个为零，例如m="=0,而pK0时，这方程组应理解为rx-x„=O,1/-To=°-即(1,0,-2)是这直线上的一点.下面再找出这直线的方向向量s.因为两平面的交线与这两平面的法线向量小=(1,1,1),%=(2,-1,3)都垂直，所以可取iJks=n.x/i,=1 1 1=4i-j-3k.2-13因此，所给直线的对称式方程为x-1_y_z+2=-1=令「1=工？=等=’,得所给直线的参数方程为4 —1 -5x=1+ ,,y=-，,z=-2-3/.三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角)叫做吧真线电委用.设直线L、和一的方向向量依次为%=(叫，/加)和叼=(m2，P1),则/\/\/\和Lz的夹角(P应是(S1,s2)和(-S1,")=IT-(S1,&)两者中的锐角或直角，因此cosip-Icos(s,,s2)I.按两向量的夹角的余弦公式，直线和直线L?的夹角w可由lzn,m2+n,n2+p,p,l ..COS(P=— ■ — ■■ (4-D)来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：两直线。和L2互相垂直相当于叫叫+n,n,+pr=0；m.n.p.两直线L、和&互相平行或重合相当于‘=」=".叫n2Pl例2求直线匕：『=/1=平和&■的夹角.解直线L,的方向向量为阳=(1,-4,1),直线人的方向向量为&=(2,-2,-1).设直线Lt和&的夹角为3,则由公式(4-5)有11x2+(-4)x(-2)+1x(-1)I1

cos(p=- 7- ,/『+(-4)2+V々+(-2)、(-1),◎

所以1T所以1T四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角图8—36W（0W”日称为直缪刍生典典差电（图8-36）,当直线与平面垂直时，规定直线与平面图8—36设直线的方向向量为S=（m,〃,p）,平面的法线向量为n=（4,8,C），直线与平面的夹角为W，那么3=辛-（s，〃），因此sinw=Icos（S,“）I.按两向量夹角余弦的坐标表示式，有(4-6)14m+Bn+Cp\

s)n--_ _ __ - (4-6)-/42■¥B1+C1>/mi+n2+p因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行，所以,直线与平面垂直相当于(4-7)因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn.+Cp=0. （4-8）例3求过点（1,-2,4）且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.解因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向讨（2,-3,1）作为所求直线的方向向量.由此可得所求直线的方程为-3五、杂例例4求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=l的交线平行且过点（-3,2,5）的直线的方程.解法一因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量S一定同时与两平面的法线向量明、%垂直，所以可以取TOC\o"1-5"\h\zi j ks=〃iX〃2= 1 0 -4 =-(4i+3j+A),2 -1 -5因此所求直线的方程为x+3_y-2_z-5~4~=~3~= *解法二过点(-3,2,5)且与平面4-42=3平行的平面的方程为x-4z=-23,过点(-3,2,5)且与平面2%-，-52=1平行的平面的方程为2x-y-5z=-33,所求直线为上述两平面的交线，故其方程为%-4z=-23,

2x-y-5z二一33.例5求直线彳=彳=宁与平面2x+y+z-6=0的交点.解所给直线的参数方程为x=2+y=3+z,z=4+2i,代人平面方程中，得2(2+/)+(3+t)+(4+2r)-6=0.解上列方程，得，=-1.把求得的i值代入直线的参数方程中,即得所求交点的坐标为x=1,y=2,z=2.例6求过点(2,1,3)且与宜线亭■=1」=一\垂直相交的直线的方程.解先作一平面过点(2,1,3)且垂直于已知直线,那么这平面的方程应为3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0. (4-9)再求已知直线与这平面的交点.已知直线的参数方程为工=-l+3z,y=l+2z,z=T. (4-10)把(4-10)代入(4-9)中，求得从而求得交点为信号-y).以点(2点，3)为起点，点(彳-旬为终点的向量是所求直线的一个方向向最，故所求直线的方程为x-2v-1z-32--1~4,有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组Alx+B]y+Ciz+Di=0, （4-11）42x+B2y+C2z+D2=0 （4-12）所确定，其中系数4、4、G与冬、冬、。2不成比例.我们建立三元一次方程Atx+B}y+Ctz+D,+A（Azx+B2y+C2z+D2）=0, （4-13）其中人为任意常数.因为4、4、g与a2,b2x2不成比例，所以对于任何一个人值，方程（4-13）的系数：4+人/、当+A/、％+入S不全为零，从而方程（4-13）表示一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程（4-11）和（4-12）,因而也满足方程（4-13）,故方程（4-13）表示通过宜线/,的平面，且对应于不同的A值，方程（4-13）表示通过直线L的不同的平面.反之，通过直线/，的任何平面（除平面（4-12）外）都包含在方程（4-13）所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为即更，而方程（4-13）就作为通过宜线L的平面束的方程（实际上，方程（4-正藤条缺少平面（4-12）的平面束）.x+y-z-1=0,例7求直线' 、在平面x+>+z=0上的投影直线的方程.x-y+z+1=0,,rx+y-z-1=0,解过直线- c的平面束的方程为x-y+z+1=0（x+y-z-1）+A（x-y+z+l）=0,即（1+A）x+（1-A）y+（-1+入）z+（-1+A）=0, （4-14）其中A为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是（1+A）•1+（1-A）•1+（-1+A）-1=0,即A+1=0,由此得A=-1.代入（4-14）式，得投影平面的方程为

即所以投影直线的方程为2y-2z-2=0,

y—z—1=0即所以投影直线的方程为y—z-1=0,

x+y+z=0.习题8—4.求过点（4,-1,3）且平行于直线宁=+=三'的直线方程..求过两点圾（3,-2,1）和优（-1,0,2）的直线方程..用对称式方程及参数方程表示电线rx-y+z=1,

[2x+y+z=4..求过点（2,0,-3）且与直线rx-2y+4z-7=0,+5,-2z+1=0垂直的平面方程.5.求直线证明宜线5x-3y+3z-9=0.’ 与直线34一2y+z-1=0Jx+2,-z5.求直线证明宜线5x-3y+3z-9=0.’ 与直线34一2y+z-1=0Jx+2,-z=7, 上r与直线7.[-2x+y+z=7求过点（0,2.4）且与两平面r2x+2y-z+23=0,的夹角的余弦.[3x+8y+2-18=03x+6y-3z=8.平行.2x-y-z=0x+2z=l和y-3z=2平行的直线方程.8.求过点（3」.-2）且通过直线宁=等=+的平面方电9.求直线[ 与平面x-y-z+l=0的夹角.[x-y-z=010.试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)=彳和4x-2y-21=3；—Z一，D(2)(3)-y=-^=y-?fl3x-2y+7z=8；x-2y+2z-3al )---=---=---和x+)+z=S.3 1一4IL求过点(1.2,1)而与两直线rx+2y-z+l=0.<和[x-y+z-1=0平行的平面的方程.12.求点(-1,2,0)在平面*+2)—2+1=0上的投影.{x+y-z•»-1=0,的距离.2x-y+z-4=014.设,WU是真线A外一点是直线〃上任意一点，且直线的方向向量为s,试证：点M。到直线A的距离lAf^fxsl{2x-4>+z=0,在平面4x-y+z=l上的投影直线的方程.3x-y-2z-9=016.画出下列各平面所围成的立体的图形：(1)戈=0,)=0,z=0,x=2,y=1,3x+4y+2z-12=0；(2)x=0.z=0,x=1,y=2.z=-^~.4第五节曲面及其方程一、曲面研究的基本问题在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状.在第三节中关于建立一种最简单的曲面——平面方程的例子就属于基本问题(1),以下是建立另一种特殊曲面——球面方程的例子.例1建立球心在点、半径为R的球面的方程.解设M(叫九z)是球面上的任一点(图8-37),则=R.由于IMM= -x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2,所以y/(x-Xq)1+(y-y0)2+(2-20)2=R、或(x-x0):+(y-y0)2+(z-z0)2=/?\ (5-1)这就是球面上的点的坐标所满足的方程.而不在 图8-37

球面上的点的坐标都不满足这方程.所以方程(5-1)就是以为球心、/?为半径的球面方程.如果球心在原点，那么X。=y0=z(,=0,从而球面方程为x2+y2+z2=R'.下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子.例2方程/+/+z?-2x+4y=0表示怎样的曲面？解通过配方，原方程可以改写成(x-1)3+(y+2)2+z2=5.与(5-1)式比较，就知道原方程表示球心在点.％,(1,-2.0)、半径R=6的球面.一般地，设有三元二次方程Ax2+Ay1+Az2+。工+Ey+&+G=0,这个方程的特点是缺V,yz,o各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方可以化成方程(5-1)的形式，则它的图形就是一个球面.下一目中，讨论旋转曲面，也是基本问题(1)的例子；而第三、四目中分别讨论柱面、二次曲面，则是基本问题(2)的例子.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做壁段电典，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的磐和迪一设在yOz坐标面上有一已知曲线C,它筱7程./(y,z)=0,把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面(图8-38).它的方程可以求得如下：设,z,)为曲线C上的任一点，则有/(%,Z|)=0. (5-2)当曲线c绕Z轴旋转时，点绕2轴转到另一点M(x,y,z),这时z=Z|保持不变,且点M到z轴的距离d=y/x2+y2=lytI.将Z1=z,%=士y/x2+y2代入(5-2)式，就有/(±Jx+/,z)=0, (5-3) 图8-38

这就是所求旋转曲面的方程.由此可知，在曲线C的方程/(＞,z)=0中将y改成士//+L,便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.同理，曲线C绕)轴旋转所成的旋转曲面的方 *程为/(y,iy/x2+z2)=0. (5-4)例3直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的吸息，两直线的夹角a(0＜。＜向叫做圆锥面的坐理史.试建立顶点在坐标原点。,旋转轴为z轴库而篇为。的圆锥面(图8-39)的方程. 图8-39解在ya坐标面上，直线L的方程为z=ycota, (5-5)因为旋转轴为Z轴,所以只要将方程(5-5)中的,改成士+丁，便得到这圆锥面的方程z=±1£+y2Cota或z2=a'(x2+/), (5-6)其中a=cota.显然，圆锥面上任一点M的坐标一定满足方程(5-6).如果点例不在圆锥面上，那么直线0M与z轴的夹角就不等于a,于是点M的坐标就不满足方程(5-6).例4将*出坐标面上的双曲线分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.