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参考答案-(20分) V表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。对^f(x)=ax2+bx+ceV,在V上定义变换：T[f(X)]=3ax2+(2a+2b+3c)x+(a+b+4c)(1)验证了是丫上的线性变换；(2)求V的基Y,x,\到基1—1尸,x-1,1的过渡矩阵P；(3)求丁在基/,工1下的表示矩阵A；(4)在V中定义内积= 求基x-x,l的度量矩阵G。解：(1)T§Lf(x)=a[x2+b1x+crg(x)=a2x2+b2x+c2f+g=(q+。2)/+(4+〃2)x+(q+C2)7(/+g)=3(q+a2)f+[2(/+/)+2(4+A?)+3(q+c2)]x+[(%+/)+(4+4)+4(q+c2)]=3«jX2+(2ci[+2/?,+3c])x+(%+4+4<,j)+3〃2/+(2〃2+2b2+3ca)X+(生+4+4c2)=7V）+r（g）类似可验证：T时）=kT（『）或把丁写成:0o]小23b0o]小23b(1)n/w]=[x2,x,i]21再来验证就更方便了。(2)由-1 0 0[(x-l)\x-lj]=[x2,xj]-2101-11得基父,X,1到基（X-1）2,11的过渡矩阵为1 0 0P=-2101-11(3)由T，)=3/+2,+l,T(x)=2x+1,T(l)=3x+4得7在基已为1下的表示矩阵为:’300、A=223J14,(1) g”=£x4dx=~,gi2=g2l=£x3dx=-TOC\o"1-5"\h\zwZ I&3=£Yai=；=&],^22 =g23=%2=£x〃X=；，^33=£^V=1故度量矩阵1 1 15 4 3-111

G=— — —’31-1二(20分)设A=12-1<210,(1)求A的行列式因子、不变因子、初等因子;(2)求A的Jordan标准形J：(3)求可逆矩阵尸使尸"4尸=J：(4)计算/'并求解微分方程组.六（15分）证明矩阵A是Hermite矩阵的充分必要条件是A是正规矩阵且其特征值全是实数。证明：若A是矩阵，则A满足A〃A=AA〃，是正规矩阵。并且存在酉矩阵U使得U"AU=diag（4,4，・、4）其中4,冬,…是矩阵A的特征值。对上式两边取共轨转置可得U〃AU=diag（%，Z，因此4=W（i=L2,•••，〃），即A的特征值全是实数。反之，若4是正规矩阵，则存在酉矩阵U使得U"AU=diag（4,4,•••,4）其中4,4,…,4是矩阵A的特征值。从而A=Udiag（4,4,…，4）u〃对上式两边取共轨转置可得A"=Udiag（W，石,...,％）U"又因为A的特征值全是实数，因此有A〃=A,即A是〃47山也矩阵。七（10分）设Aw ,证明rank（/zi-A*A）=/?-r；x=（/~A+A）y,VyeR”是齐次方程组Ar=0的通解。证明：（1）设AeR：x"的奇异值分解（SVD）为U"V=[oof可=diag（5，/,...,b.）则A=UrV\从而1。oj所以ra

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