2022-2023学年人教版初中数学专题《求反比例函数解析式》含答案解析

专题反比例函数优选提升题一：求反比例函数解析式一、填空题1．（2022·福建泉州·九年级期末）如图，y＝（x＞0）的图象经过A（2，6）、B两点，且tan∠AOB＝，则点B的坐标是_____．【答案】，【分析】过点A作于，作轴于，作交的延长线于．通过证得，得出，设，则，，即可得到，根据题意得到，解得，即可求得，求得直线的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得B的坐标．【详解】解：过点A作于，作轴于，作交的延长线于．，，，，，，，，设，则，，，，，，解得，，直线的解析式为，反比例函数的图形经过，反比例函数为，由，解得，或，，，，故答案为：，．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．2．（2022·江苏·九年级期末）如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为______．【答案】40【分析】过C1、C2、C3…作x轴垂线，垂足分别为D1、D2、D3…，求得，，，…是等腰直角三角形，D1、D2、D3…为OA1、A1A2、A2A3…中点；C1（y1，y1）代入反比例函数可得y1，C2（4+y2，y2）代入可得y2，…，根据坐标规律计算求值即可；【详解】解：如图，过C1、C2、C3…作x轴垂线，垂足分别为D1、D2、D3…，∵∠B1OA1=∠B2A1A2=∠B3A2A3=…=45°，∴，，，…是等腰直角三角形，∵B1A1⊥x轴，B2A2⊥x轴，B3A3⊥x轴，…，∴C1D1∥B1A1，C2D2∥B2A2，C3D3∥B3A3，…，∵C1、C2、C3…为OB1、A1B2、A2B3…中点，∴C1D1、C2D2、C3D3、…为、、、…的中位线，∴D1、D2、D3…为OA1、A1A2、A2A3…中点，中：OD1=D1C1=y1，则C1（y1，y1），，解得：y1=2（经检验符合题意），即y1=，中：A1D2=D2C2=y2，则x2=2y1+y2，C2（4+y2，y2），，解得：y2=（经检验符合题意），即y2=，中：设A2D3=D3C3=y3，则x3=2y1+2y2+y3，C2（+y3，y3），，解得：y3=（经检验符合题意），同理可得y4=，…，y400=，=++…+=40，故答案为：40；【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，反比例函数解析式，公式法解一元二次方程，通过解一元二次方程方程求得坐标规律是解题关键．3．（2022·河北承德·九年级期末）如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则m的值为______，n的最大值为______．【答案】

5

4

5【分析】根据确定点B(1，5)，代入反比例函数解析式解困确定k值；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，根据“波浪线”的最高值为5，确定n的最大值为5．【详解】解：∵，∴点B(1，5)，代入，解得k=5；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，∴m=，∵抛物线的最大值为5，∴n的最大值为5，故答案为：5；4；5．【点睛】本题考查了抛物线与反比例函数的综合，平移规律，熟练掌握抛物线的性质和反比例函数的性质是解题的关键．4．（2022·安徽·九年级期末）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行．反比例函数y＝（k≠0）的图象，与大正方形的一边交于点A（，4），且经过小正方形的顶点B．求图中阴影部分的面积为_____．【答案】40【分析】根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果．【详解】解：反比例函数的图象经过点，，反比例函数的解析式为；小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，设点的坐标为，反比例函数的图象经过点，，，小正方形的面积为，大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且，大正方形在第一象限的顶点坐标为，大正方形的面积为，图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．二、解答题5．（2022·河北保定·九年级期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点．(1)求反比例函数的解析式；(2)点B在该反比例函数图像上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当的面积为9时，求点B的坐标．(3)请直接写出时，自变量x的取值范围．【答案】(1)y=(2)点B的坐标为（5，）或（-1，）(3)x＞4或x＜0【分析】（1）将点代入即可求得答案；（2）分三种情况讨论即可得到答案；（3）解出时的值，即可求出x的取值范围．（1）解：把A点坐标为（2，6）代入反比例函数y=得，k=12，∴反比例函数的解析式为y=；（2）解：设点B坐标为（m，n），分三种情况：①当B点在第一象限且在A点的上方时，（yB-yA）×CB=9

即（n-6）×m=9，

-6）×m=9，解得m=-1不符合，舍去；②当B点在第一象限且在A点的下方时，（yA－yB）×CB=9

即（6-n）×m=9，（6－）×m=9，解得m=5，∴点B坐标为（5，）；③当B点在第三象限时，（yA－yB）×CB=9，（6-n）×（-m）=9

（6）×（-m）=9，解得m=-1，∴点B坐标为（-1，），所以点B的坐标为（5，）或（-1，）；（3）解：当时，，故当时，自变量x的取值范围为x＞4或x＜0．【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题，反比例函数的解析式，掌握反比例函数图像上点的坐标特征以及反比例函数的解析式是解题的关键．6．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)的面积为(3)存在，点的坐标为，，【分析】（1）作垂直于轴，根据等腰三角形的三线合一求出，再由等腰直角三角形OAB求出点A的坐标，最后用待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）将三角形的面积转化为，再根据三角形面积公式进行计算即可；（3）分别考虑OP，AP，BP为对角线构成的平行四边形，再求出P点坐标即可．（1）作垂直于轴，垂足为点，∵，∴，∵，，∴．∴∴点设一次函数解析式为，反比例函数解析式为将点和代入，得，，∴一次函数的解析式为．将点代入，得．∴反比例函数的解析式为，即一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）将两个函数联立得，整理得2，解得，，所以，，所以点，即的面积为；（3）由（1），（2）可知，，O(0，0)，当OP为对角线时，点P；当DP为对角线时，点P；当AP为对角线时，点P∴点的坐标为，，．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．7．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【答案】(1)D，反比例函数表达式为y＝(2)E，DE∥AC，理由见解析(3)点G的坐标为或都在反比例函数图象上【分析】（1）根据B，则BC＝2，而BD＝，则CD＝，故点D=，将D点代入函数解析式中可得到系数的值．当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D，点E，点B，可知BD＝，BE＝，则，，即可证明平行；（3）根据题意可分为两种情况（1）点F在点C的下方,（2）点F在点C的上方，分别讨论其两种情况即可．（1）解：（1）∵B，则BC＝2，而BD＝，∴CD＝，故点D，将点D的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝，当x＝2时，y＝，故点E（2，）；（2）由（1）知，D，点E，点B，则BD＝，BE＝，故，∴DE∥AC；（3）①当点F在点C的下方时，当点G在点F的右方时，如下图，过点F作FH⊥y轴于点H，∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝，则tan∠OCA＝，故∠OCA＝30°，则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），当x＝3时，y＝，故点G在反比例函数图象上；②当点F在点C的上方时，同理可得，点G（1，3），同理可得，点G在反比例函数图象上；综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．【点睛】本题考查反比例函数的图象和解析式，菱形的存在性问题，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．8．（2022·四川成都·九年级期末）如图1，在直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数（k＞0）经过点P，反比例函数的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y（k＞0）的表达式；(2)在（1）的条件下，当∠DPG＝30°时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当DM⊥MC时，请写出MG与CD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设GN＝x，则GM＝x，再根据S△PCD＝S△PDG＋S△PCG得出x的值，然后计算G点坐标即可；（3）设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），求出直线OP和直线CD的解析式，根据G点是直线CD和直线OP的交点得出G点坐标，根据G点是CD的中点，即可得出MG＝CD．（1）解：∵点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，四边形OAPB是矩形，∴P（6，3），∵反比例函数y（k＞0）经过点P，∴k＝6×3＝18，∴反比例函数y的解析式为y；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设MG＝x，∵∠DPG＝30°，∴GN＝MP＝＝x，由（1）知P（6，3），又∵反比例函数y＝的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，∴C（6，1），D（2，3），∴PD＝6−2＝4，PC＝3−1＝2，∵S△PCD＝S△PDG＋S△PCG，∴PD•PC＝PD•MG＋PC•GN，即×4×2＝×4x＋×2×x，解得x＝8−4，∴MG＝8−4，GN＝8−12，即G（18−8，4−5）；（3）MG＝CD，理由如下：设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），设直线OP的解析式为y＝rx，代入P点坐标得＝ra，∴r＝，即直线OP的解析式为y＝x，即直线CD的解析式为y＝sx＋t，代入C点和D点的解析式得：，解得：，即直线CD的解析式为y＝x＋，∵点G是直线OP和直线CD的交点，∴x＝x＋，解得x＝，∴G（，），∵D（，），C（a，），∴线段CD的中点坐标为（，），∴点G是线段CD的中点，又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质、一次函数的性质等知识是解题的关键．9．（2022·江西抚州·九年级期末）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上的A点与反比例函数y＝（x＜0）的图象上的B点关于原点O对应（AB经过原点O），且OB＝2OA，我们称反比例函数y＝（x＜0）是反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．(1)反比例函数y＝（x＜0）_____反比例函数y＝（x＞0）的“位似反比例函数”；（填“是”或“不是”）(2)若反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A（1，4）．①则m的值为______；②若A2022在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对应点B2022在“位似反比例函数”y＝（x＜0）的图象上，求证：BB2022＝2AA2022；(3)在（2）的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形，若存在，求出P点的坐标．【答案】(1)是(2)①16；②证明见解析(3)存在，P点的坐标为P（，0）或P（17，0）【分析】（1）根据题目中给出的定义进行判别即可；（2）①根据点A（1，4）的坐标，求出点B的坐标，把点B的坐标代入求出m的值即可；②根据反比例函数(x＜0)是反比例函数(x＞0)的“位似反比例函数”，得出＝＝，再结合∠AOA2022＝∠BOB2022，得出△AOA2022∽△BOB2022，再根据相似三角形的性质即可得出；（3）在x轴的正半轴上存在一点P，使△ABP为直角三角形，设P(x，0)；分类讨论当∠APB＝90°或∠PAB＝90°时，分别求出点P的坐标即可．(1)解：设反比例函数上一点A的坐标为，，AB过O点，∴点B的坐标为：，，点B在上，∴反比例函数（x＜0）是反比例函数（x＞0）的“位似反比例函数”；故答案为：是；(2)①∵点A的坐标为（1，4），OB=2OA，且AB过点O，∴点B的坐标为：（-2，-8），；故答案为：16．②如图1所示：∵反比例函数y＝(x＜0)是反比例函数y＝(x＞0)的“位似反比例函数”，∴＝＝，∵∠AOA2022＝∠BOB2022，∴△AOA2022∽△BOB2022，∴＝＝，∴BB2022＝2AA2022．(3)在x轴的正半轴上存在一点P，使△ABP为直角三角形，设P(x，0)；①方法一：当∠APB＝90°时，如图2所示：由位似性质得：A（1，4），B（-2，-8），AB＝＝，AP＝＝，BP＝＝，∵AB2＝AP2＋BP2，∴153＝x2－2x＋17＋x2＋4x＋68，x2＋x-34＝0，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴P（，0）；方法二：当∠APB＝90°时，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，如图3所示：∵∠BPF+∠FPB＝90°，∠EAP+∠FPB＝90°，∴∠BPF=∠EAP，∵∠AEP=∠BFP＝90°，∴△AEP∽△PFB，∴=，即=，x2＋x－34＝0，解得：（舍去）∴P（，0）；②当∠PAB＝90°时，过A作AD//y轴，过B点作BD//x轴，两线交于点D，如图4所示：∵AD//y轴，BD//x轴，∴，，，，∴△PAC∽△ABD，∴＝，∴＝，解得：x＝17，∴P（17，0）；∴综上所述，P点的坐标为P（，0）或P（17，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，读懂题意，理解题目中给出的定义，作出相应的辅助线是解题的关键．10．（2021·山东济南·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数的图象上，顶点C、D在函数的图象上，其中，对角线轴，且于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当，时，①点B的坐标为________，点D的坐标为________，BD的长为________．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．【答案】（1）①（4，1）；（4，5）；4；