代数基本规律

代数基本规律数实数、有理数、无理数基本概念\o"编辑本段"实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。实数的分类数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。实数可以分为有理数和无理数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母R或R^n表示。而R^n表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|=①a为正数时，|a|=a②a为0时，|a|=0③a为负数时，|a|=-a③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a（a≠0）分类按性质分类是：正数、负数、0；按定义分类是：有理数、无理数。注意\o"编辑本段"（一）任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数（二）对无理数的判断注意以下三点：1、无理数是无限不循环小数，所以只能以四种形式出现①开方开不尽的数②化简后含圆周率π的数。“π”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数③特定结构的数，如0.1001000100001……等④有些三角函数值2、判断无理数要先化简，不能只看表面形式3、一些除不尽的分数，如22/7，1/13,1/7等，会误认为是无理数，但事实上分数都是有理数相关规律分析1、实数比较大小方法：一、比较被开方数法一般地，当a>0，b>0时，如果a>b，那么。也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。反之也成立。例1、比较大小：（1）；（2）。解析：若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。（1）因为，且，所以，因此，。（2）因为，且，所以，所以。因此，。二、添加根号法若a>0，则。在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。例2、比较的大小。解析：因为，又因为，于是，即。三、乘方法（平方法或立方法）如果a>0，b>0，若，那么a>b；若，那么a>b。例3、比较大小：（1）；（2）。解析：（1）因为，而12<18，所以。（2）因为，而，所以。四、取近似值法（估算法）在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值。不过取近似值时，要使它们的精确度相同。再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。如果没有计算器，则可用估算法。先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4、比较大小：（1）；（2）。解析：（1）因为所以。又因为，所以。（2）因为，所以，所以。五、作差法作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。当时，得到a>b；当时，得到a<b；当时，得到a=b。例5、比较的大小。解析：因为，所以。六、作商法作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商。当时，a<b；当时，a>b；当时，a=b。例6、比较的大小。解析：因为，所以。七、放缩法（中间值法）如果a<c，c<b，那么a<b。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。例7、比较的大小。解析：因为，所以。所以，即。八、不等式性质法例8、比较大小：。解析：因为，所以，因此。九、特殊值法在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。例9、已知x<y<0，设，则M、N、P、Q的大小关系是（）。A、M<Q<P<NB、M<P<Q<NC、Q<N<P<MD、N<Q<P<M解析：根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。不难得到：N<Q<P<M。因此，应选D。十、数轴比较法数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。例10、已知a、b是实数，且。试比较a，b，－a，－b的大小关系。解析：因为，故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。又因为a与与互为相反数，根据相反数的几何意义，a与,在数轴上可表示为图2。所以的大小关系是。十一、法则比较法正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。例11、已知a、b是实数，且a<0<b，c≠0，试比较的大小。解析：因为a<0,b>0，则ab<0。又c≠0，则，所以，为负数。而b>0，，所以，为正数。所以。十二、根式定义法该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。例12、比较的大小。解析：根据平方根的定义可知。所以，故。而。十三、倒数法倒数法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数、，再根据当时，a<b，来比较a与b的大小。例13、设，则a、b、c的大小关系是（）。A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。首先，，，。因为，所以，则b>c。又因为，所以，则a>b。由此可得：a>b>c。故选A。十四、分子有理化法例14、比较的大小。解析：，。因为，故，所以。总之，具体使用什么方法来进行比较，应当根据题目所给的实数的类型或形式灵活选用。一-2整式、多项式等相关（一）、因式分解定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。例如：m²-n²=（m+n）（m-n)意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法为相反变形。同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。2、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。（这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。）3、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。4、因式分解是很困难的，但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，真正的因式分解需要研究生的水准，抽象代数在因式分解上有重要的应用。因式分解\o"编辑本段"方法十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则：1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)归纳方法：1．提公因式法。2．运用公式法。3．拼凑法。提取公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把变成不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：反过来为完全平方公式：反过来为反过来为注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。两根式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)21．分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。2．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同解方程法通过解方程来进行因式分解，如：X2+2X+1=0,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）3竞赛方法\o"编辑本段"编辑分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2．x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况。①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=1b=7c=2d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。例3：6X2+7X+2第1项二次项（6X2）拆分为：2×3第3项常数项（2）拆分为：1×22（X）3（X）12对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）纵向相乘，横向相加。与之对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。拆添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)．因式定理对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．综合除法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。主元法例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)\o"查看图片"相关公式=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．也可以参看右图。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x2y2x3y6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。④纵向相乘，横向相加。二次多项式（根与系数关系二次多项式因式分解）例：对于二次多项式aX2+bX+c(a≠0).当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)=a(X-X1)(X-X2).分解步骤\o"编辑本段"编辑①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”例题\o"编辑本段"编辑1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．∵a、b、c是△ABC的三条边，∴a+2b+c>0．∴a－c=0，即a=c，△ABC为等腰三角形。4．把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．四个注意因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。例1把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。考试时应注意：在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。应用1．应用于多项式除法。：a(b−1)(ab+2b+a)

说明：(ab+b)2−(a+b)2=(ab+b+a+b)(ab+b−a−b)=(ab+2b+a)(ab−a)=a(b−1)(ab+2b+a)．2．应用于高次方程的求根。3．应用于分式的通分与约分顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）例如：23|(211-1);；11=4×2+347|(223-1);；23=4×5+3167|(283-1);,,,.83=4×20+32,p=2n×32+1,，则（6p+1）|(2P-1)，例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+13463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+13，p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）例如；233|(229-1)；29=2×3×5-11433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-11913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1分解公式平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)证明如下：a3-b3=a3-3a2b+3ab2-b3所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab二、方程（一）一元一次方程基本信息：只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程（英文名：linearequationwithoneunknown）。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。求根公式：x=-b/a。标准形式：一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。方程特点（1）该方程为整式方程。（2）该方程有且只含有一个未知数。（3）该方程中未知数的最高次数是1。满足以上三点的方程，就是一元一次方程。判断方法要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。变形公式ax=-b（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）求根公式：通常解法去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。两种类型（1）总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=6。（2）等式两边都含未知数。如：300x+400=400x，40x+20=60x[1]。方程举例2a=4a-63b=-1x=1都是一元一次方程。方程起源“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。主要用途一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、球赛积分表问题、电话（水表、电表）计费问题、数字问题等。补充说明\o"编辑本段"编辑合并同类项（1）依据：乘法分配律（2）把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项；常数计算后合并成一项（3）合并时次数不变，只是系数相加减。移项（1）依据：等式的性质1（2）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把常数项移到右边。（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号（如：移项时将+改为-，×改为÷）。等式性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质。解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解法步骤一、去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；依据：等式的性质2二、去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）依据：乘法分配律三、移项把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）依据：等式的性质1四、合并同类项把方程化成ax=b（a≠0）的形式；依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）五、系数化为1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。依据：等式的性质2.解方程口诀去分母，去括号，移项时，要变号，同类项，合并好，再把系数来除掉。同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。同解原理（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。求根公式由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0(a≠0)。可得出求根公式函数解法由于一元一次函数都可以转化为ax+b=0（a，b为常量，a≠0）的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个函数值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这就相当于求直线y=kx+b（k，b为常量，k≠0）与x轴交点的横坐标的值。解法举例例（1）题目：已知ax=b是关于x的方程（a、b为常数），求x的值。分析：要牢牢抓住一元一次方程的定义，进行分类讨论。解：当a≠0时，。当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）当a=0，b≠0时，方程无解（注意：此种情况也不属于一元一次方程）例（2）题目：解方程分析：按照一元一次方程的解法顺序一步步进行，计算要细心。解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得检验：把代入原方程左边=右边=左边=右边∴是原方程的解等式性质若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c（等式的性质1）。若a=b，则ac=bc，a÷c=b÷c(c≠0)（等式的性质2）解应用题做一元一次方程应用题的重要方法：（1）认真审题（审题）（2）分析已知和未知量（3）找一个合适的等量关系（4）设一个恰当的未知数（5）列出合理的方程（列式）（6）解出方程（解题）（7）检验（8）写出答案（作答）注意事项（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；（4）移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，，找到最佳解法。（7）分、小数运算时不能嫌麻烦。（8）不要跳步，一步步仔细算。（二）一元二次方程定义一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。[2]一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。方程形式一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，此方程也就不是一元二次方程了。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。变形式（a、b是实数，a≠0）（a、c是实数，a≠0）（a是实数，a≠0）配方式两根式解（根）的意义（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。（2）一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。根的个数和判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。一元二次方程的根与判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。上述结论反过来也成立。根与系数的关系一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：（也称韦达定理）。由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：a[x2-(p+q)x+pq]=0（其中）。求根方法直接开平方法形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成的形式，那么可得。如果方程能化成(p≥0)的形式，那么，进而的出方程的根。

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。配方法将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。例一：用配方法解方程3x2－4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方：直接开平方得：∴,.∴原方程的解为,求根公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法[1]。用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出的值，判断根的情况（若，则方程有2个不相等的复数根；若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等实数根）；③在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法。因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学化归思想）。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．计算机法在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)[2]（三）二元一次方程组相关定义把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程定义：一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：含有两个相同未知数的两个二元一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。【课标要求】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用二元一次方程组了解二元一次方程（组）及解的定义∨熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用∨∨∨能正确列出二元一次方程组解应用题∨∨【知识梳理】1．二元一次方程（组）及解的应用：注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。2．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。解法消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b或x=ay+b的形式；2.将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；3.解这个一元一次方程，求出x或y值；4.将已求出的x或y值代入方程组中的任意一个方程（y=ax+b或x=ay+b），求出另一个未知数；5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。[1]例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89得y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7得x=-24/7∴x=-24/7y=59/7为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（eliminationbysubstitution)，简称代入法。2）加减消元法用加减法消元的一般步骤为：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。例：解方程组：x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2为方程组的解利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（eliminationbyaddition-subtraction），简称加减法。3）加减-代入混合使用的方法例113x+14y=41⑴14x+13y=40⑵解：⑵-⑴得x-y=-1x=y-1⑶把⑶代入⑴得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入⑶得x=1所以：x=1,y=2特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元.换元法例2，（x+5)+(y-4)=8（x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。设参数法例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4图像法二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。三种解一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：唯一解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7为方程组的解有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e时，该方程组有一组解。当a/d=b/e=c/f时，该方程组有无数组解。当a/d=b/e≠c/f时，该方程组无解。其它注意二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。重点：一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc(c>0)列方程（组）解应用题一概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。⑶用含未知数的代数式表示相关的量。⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。⑸解方程及检验。⑹答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。二常用的相等关系1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=;⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂3．增长率问题4．工程问题基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。5．几何问题常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。三注意语言与解析式的互化如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。四注意从语言叙述中写出相等关系如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。区别一元二次方程1．定义及一般形式：2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3．根的判别式：4．根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。5．常用等式：⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法知识梳理1．二元一次方程（组）及解的应用：注意：方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。2．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。（四）分式方程概念分