因式分解(高级篇)课件

因式分解因式分解15.4.3*因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法15.4.3*因式分解（高级篇）——因式分解的其他常知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法……知识结构因式分解常用方法提公因式法一、提公因式法

只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导常用公式这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。公式法随堂练习：二、公式法只需发现多项式的特点，再将三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项3=1×3而一次项系数4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解三、十字相乘法①前面出现了一个公式：例1：因式分解x2+4x例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10=(–2)×(–5)而一次项系数–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2例2：因式分解x2–7x+10这个公式简单的说，十字相乘法①三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=173x2+11x+106x2+7x=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2–6xy–8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法②随堂练习：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)还有别的解法吗？四、分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)四、分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分组分解法随堂练习：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：

拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+配方法

配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式配方法配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全二、新课1.我们把叫做x的二次三项式。这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项，共有三项。2.请同学说出x的二次三项式和x的一元二次方程形式上有什么不同？答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。二、新课1.我们把叫做x的二次三项式。这个式子的x的最高次3.用配方法把分解因式。分析：对再添一次项系数的一半的平方（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时减去一次项系数一半的平方）解：这是配方的关键3.用配方法把分解因式。分析：对再添一次项系数的一半的平方4.分解因式分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项除以2，而是各项提取公因数2我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解必定与方程的根有关系，这个关系是什么解：4.分解因式分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各从以上例2的因式分解来研究。与二次三项式对应的一元二次方程是=0这个方程的两根是由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？这个关系是：二次三项式系数乘以x减去一个根的差，再乘以x减去另一个根所得的差。从以上例2的因式分解来研究。与二次三项式对应的一元二次方程是以上的结论怎样证明？证明：设一元二次方程以上的结论怎样证明？证明：设一元二次方程结论：在分解二次三项式例如，已知一元二次方程就可以把二次三项式分解因式，得结论：在分解二次三项式例如，已知一元二次方程就可以把二次三项三、例题讲解例1把分解因式此步的目的是去掉括号内的分母三、例题讲解例1把分解因式此步的目的是去掉括号内的分母例2本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数例2本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式中的因式

千万不能忽略。2.在分解二次三项式的因式时，可先用求根公式求出方程的两个根x1,x2然后,写成a注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式中的因式千万不能2.选择题（1）已知方程（）（2）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（）DD2.选择题（1）已知方程（）（2）下列二次三项式五、本课小结1.对于不易用以前学过的方法：分解二次三项式宜用一元二次方程的求根公式分解因式。2.当当(例如：分解因式在实数范围内不能分解)五、本课小结1.对于不易用以前学过的方法：分解二次三项式宜3.用求根公式分解二次三项式其程序是固定的，即：（1）第一步：令（2）第二步：求出方程①的两个根①；（3）写出公式并把的值代入公式中的处。3.用求根公式分解二次三项式其程序是固定的，即：（1）第一ThankYou!ThankYou!因式分解因式分解15.4.3*因式分解（高级篇）——因式分解的其他常用方法15.4.3*因式分解（高级篇）——因式分解的其他常知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法……知识结构因式分解常用方法提公因式法一、提公因式法

只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导常用公式这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程公式法随堂练习：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。公式法随堂练习：二、公式法只需发现多项式的特点，再将三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项3=1×3而一次项系数4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解三、十字相乘法①前面出现了一个公式：例1：因式分解x2+4x例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10=(–2)×(–5)而一次项系数–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2例2：因式分解x2–7x+10这个公式简单的说，十字相乘法①三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=173x2+11x+106x2+7x=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2–6xy–8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法②随堂练习：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)还有别的解法吗？四、分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置四、分组分解法

要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)四、分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分组分解法随堂练习：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆项添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：

拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+配方法

配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式配方法配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全二、新课1.我们把叫做x的二次三项式。这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项，共有三项。2.请同学说出x的二次三项式和x的一元二次方程形式上有什么不同？答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。二、新课1.我们把叫做x的二次三项式。这个式子的x的最高次3.用配方法把分解因式。分析：对再添一次项系数的一半的平方（注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时