正余弦定理知识点梳理学案-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正余弦定理知识点梳理与练习知识点梳理1.正弦定理知识填空（在三角形ABC中）（设三角形ABC的外接圆半径为R）（1）正弦定理：(2)（3）,,；,==S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq\f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．2.余弦定理知识填空（在三角形ABC中）（1）余弦定理，=（2）A为锐角A为直角A为钝角3.三角形的重要性质（1）内角和等于即：所以：（2）大边对即：三角形最多只有一个或。余弦定理、正弦定理应用1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)典型例题1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，则c等于()A.eq\r(39)B．8eq\r(3)C．10eq\r(2)D．7eq\r(3)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120° D．30°3.在△ABC中，下列式子与eq\f(sinA,a)的值相等的是()A.eq\f(b,c)B.eq\f(sinB,sinA)C.eq\f(sinC,c)D.eq\f(c,sinC)4．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于()A．5eq\r(2)B．10eq\r(3)C.eq\f(10\r(3),3) D．5eq\r(6)5．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形6．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有()A．一解 B．两解C．无解 D．无法确定7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．3eq\r(3)C．6D．6eq\r(3)8．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形9．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有()A．一解 B．两解C．无解 D．无法确定10．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．3eq\r(3)C．6D．6eq\r(3)11．在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，则B＝________.12．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cosC＝________.13.(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，则BC＝________.14．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________．15．在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，则C＝________.16．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是．17.在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.18．(1)在△ABC中，若a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于．19.在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C.在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.21.已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.22．已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，求A，C，a.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.25.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C.(1)求C的大小；(2)若c＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面积.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)同步训练例题1：判定三角形的形状。1.在△ABC中，若有，判定该三角形的形状2．在△ABC中，若有，判定该三角形的形状例题2：正余弦定理简单的应用1.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，求边BC的长2．若△ABC的周长等于20，面积是10eq\r(3)，A＝60°，求边长a例题3：正余弦定理的综合应用1.设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．2.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A＝eq\f(π,3)，sinB＝eq\f(\r(3),3).(1)求cosB的值；