隐零点问题（解析版）

第12讲隐零点问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•赣州期末）命题：关于的不等式为自然对数的底数）的一切恒成立；命题，；那么命题是命题的A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于的不等式为自然对数的底数）的一切恒成立，即为，可令，则，由在递增，且，，则存在，，满足，且在递减，，递增，，记，则，即有，，，则命题是命题的必要不充分条件，故选：．二．解答题（共22小题）2．已知函数，求证：．【解答】证明：，．则函数在上单调递增，由，，存在唯一零点，满足，．，，，．．．3．（2021•鼓楼区校级月考）设函数，．（1）若（e）；①求实数的值；②若，证明为的极值点．（2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立．（注为自然对数的底数）【解答】解：（1）①求导得，是的极值点，，解得或；②证明：因为，所以，所以，令，则，故在上单调递增，而（1），（e），故存在唯一，使得，时，，，即时，，单调递增，时，，，此时，单调递减，为函数的极小值点；（2）当，对于任意的实数，恒有成立；时，由题意，首先有，解得，由（1）知，，令，则（1），（a），且，又在内单调递增，所以函数在上有唯一零点，记此零点为，则，，从而，当时，，当，时，，当时，，即函数在单调递增，在，单调递减，在单调递增，所以要使对任意，恒成立，只需，由知③，将③代入①得，，又，注意到函数在，上单调递增，故，由②解得，，综上，实数的取值范围为．4．（2021•全国四模）已知函数，，．（1）求证：，；（2）记，若有两个零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：令，．当时，，在递减；当时，，在递增，，．即．令，，当时，，在递增；当时，，在递减，（1），．即（2），．①当时，，则在上单调递增，至多一个零点舍去；②当时，，即．设，，在上单调递增，又，（a），所以在存在唯一的零点，记为，，即．当，，即，在上单调递减；当，，，即，在，上单调递增，，又，，若有两个零点，则，即，，又，，又在上单调递减，所以在存在唯一的零点；由及（1）可知，，又在，上单调递减，所以在，存在唯一的零点，故有两个零点．综上，取值范围是．5．设为实数，已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设为实数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个相异的零点，求的取值范围．【解答】解：（1）当时，因为，当时，，当时，，所以函数单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由，得：，由于，所以对任意的及任意的恒成立，由于，所以，所以对任意的恒成立．设，，则，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以．所以．（3）由，得，其中，若时，则，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意．若时，令，得，由第（2）小题知，当时，，所以，所以，所以当时，函数的值域为，所以存在，使得，即，①当时，，所以函数在单调递增，在，单调递减．因为函数有两个零点，，所以，②设，，则，所以在上单调递增，由于（1），所以当时，，所以②式中的，由①式得，由第（1）小题可知，当时，函数在上单调递减，所以，即，，当，时，（1）由于，所以，因为，且函数在上单调递减，函数在上图象不间断，所以函数，上恰有一个零点．（2）由于，令，设，由于时，，，所以设，即，由①式得当时，，且，同理可得函数在，上恰有一个零点，综上，，．6．（2021•眉山模拟）已知函数．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【解答】解：（1）当时，，则；令得，或；100增9减增当时，的极大值为9，当时，的极小值为．（2）；①当时，，是上的增函数，②当时，有两个根，，；当，时，；故的单调增区间为，，；当时，；故的单调减区间为，；（3）由题设知，，是的两个根，，且，；，同理，，则直线的解析式为；设直线与轴的交点为，，则，解得，；代入得，；，在轴上，，解得，或或．7．（2021•重庆模拟）已知函数．（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）设切点的横坐标为，，则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为（1），所以；（2）令，则原命题等价于恒成立，又，设，则在上单减，在，上单增，故只需，令，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，即．8．（2021•广州二模）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：当时，．参考数据：，．【解答】解：（1）解法，函数在递增，，得，设，则，令，解得：，当时，，当时，，故函数在递减，在递增，故时，取得最小值，故，故的范围是；解法2：由，设，则，令，解得：，当时，，当时，，故函数在递减，在递增，故时，取得最小值，函数在递增，故，由于，则，解得：，故的范围是；（2）证明：若，则，得，由（1）知函数在递减，在递增，又，（1），，则存在，使得，即，当时，，当，时，，则函数在递减，在，递增，则当时，函数取最小值，故当时，，由，得，则，由于，则，故时，．9．（2021•石家庄一模）已知函数，其中，．（1）当时，若直线是曲线的切线，求的最大值；（2）设，函数，有两个不同的零点，求的最大整数值．（参考数据【解答】解：（1）设直线与相切于点，，，，，又点在切线上，，，，因此，设（a），，（a），令（a）得，；令（a）得，，（a）在上单调递增，在，上单调递减，（a）的最大值为，的最大值为；（2）函数，有两个不同的零点，等价于方程有两个不相等的实根，设，则等价于方程有两个不同的解，即关于的方程有两个不同的解，设，则，设，由可知，在上单调递减，又（1），，存在使得，即，，当时，，，函数单调递增；当，时，，，函数单调递减，函数的极大值为，要使得关于的方程有两个不同的解，则，当时，设，则，可知在上单调递增，在，上单调递减，又（1），，（e），有两个不同的零点，符合题意，的最大整数值为．10．（2021•汇川区校级月考）已知函数为常数，是自然对数的底数），（1）曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求的值及函数的单调区间；（2）证明：当时，对，都有成立．【解答】解：（1），，即在上是单调递减，又（1），所以函数在上单增，上单减．（2）证明：，，即在上是单调递减，所以（1），当时，恒成立，即在上单调递减，则（1），当时，必然存在一个，使得，则，，单调递增，时，单调递减．则．法二：即，，令，则，显然是增函数，故（1），所以是增函数，（1），故，所以当时，对，都有成立．11．（2021•龙凤区校级二模）已知函数，．（1）当，时，求在点，（1）处的切线方程；（2）若恒成立，求的最小值【解答】解：（1）的导数为，可得切线的斜率为9，切点为，则切线方程为，即；（2），令，则在上单调递增，又时，，当时，，存在唯一一个，使得，即．当时，，当时，，在上单调递减，在，上单调递增．．恒成立，，即．，设，，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，（1）．当时，即，时，取得最小值．12．已知函数，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且．【解答】解：．，化为：．，令．．．时，，函数在上单调递减，而（1），时，，不满足题意，舍去．时，，可得时，函数取得极小值，，令（a），．（a），可得时，（a）取得极大值即最大值，，因此只有时满足题意．故．证明：由可得：，．．．可得时，取得极小值，．时，；时，（1），时，．函数存在唯一的极大值点，且．满足，可得．令，．，．．，．令，．，可得时，函数取得极大值，且．．存在唯一的极大值点，且．13．（2021•广州模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求，的值；（2）证明函数存在唯一的极大值点，且．【解答】解：（1）函数的定义域为，，则（1），（1），故曲线在点，（1）处的切线方程为，又曲线在点，（1）处的切线方程为，，；（2）证明：由（1）知，，则，令，则，易知在单调递减，又，（1），故存在，使得，且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，由于，（1），（2），故存在，使得，且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，则，令，则，故在上单调递增，由于，故（2），即，．14．（2021春•济宁期末）已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若，求的最小值；（2）若，证明：．【解答】解：（1）若时，，．，设，则，函数在上为增函数，又，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增．的最小值为．（2）证明：由题意知，．，当时，，显然成立．当时，由（1）知：，在上为增函数，，（1），存在唯一的使得，即，当时，，，单调递减；，时，，，单调递增．的最小值为．当且仅当，即，时取等号．把代入，得，矛盾，等号不能成立．，因此．15．（2021春•日照期中）设函数．（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，．【解答】解：（1）函数的定义域，，当，恒成立，没有零点，当时，在上单调递增，又因为时，，时，，故只有1个零点；（2）令，则，，由（1）知，当时，只有1个零点，设为，则，，，故，当，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，函数取得最小值，．16．（2021•九江校级月考）已知函数．（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明．【解答】解：（1），，是的极值点，，得；当在时，，递减，当在时，，递增；（2）当时，，，，故在上有唯一实数根，且．当时，，当，时，，从而当时，取得最小值，，．另解：当时，，令，，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故，取等条件不一致，故，即．17．（2021春•福建期末）已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）证明：．【解答】解：，由题意可得，，解可得，，令，则，故在上单调递增且，当时，即，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，（Ⅱ）证明：（2）令，则在上单调递增，因为，，所以在存在唯一实数根，且，当时，，，时，，当时，函数取得最小值，因为，即，故，所以．18．（2021•道里区校级二模）已知函数．（1）设是的极值点，求函数在，上的最值；（2）若对任意，，且，都有，求的取值范围．（3）当时，证明．【解答】解：（1），是的极值点，，解得：，，定义域是，，设，则，在递增，又，时，，即，时，，即，在递减，在递增，在，递增，的最小值是（1），的最大值是（2）；（2）因为对任意，，且，都有，即都有，故函数在，上单调递增；在，上恒成立，又因为在，上单调递增，所以只要即；（3）证明：当，时，，故只需证明当时，当时，函数在上为增函数，且，，故在上有唯一实数根，且，当时，，当，时，，从而当时，取得最小值．由，得，，故，综上，当时，．法二：．，，，故，令，易证时“”成立），故时“”成立），故，““不同时成立），故，成立．19．（2021•东湖区校级期末）设函数．（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，证明：在上恒成立．【解答】解：（1）由题意得，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；所以是的极大值点，无极小值点（2）证明：令，则，令，则因为，所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），且当时，；当时，，即当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），由（c）得即，两边取对数得：，所以（c），（c），从而证得．20．（2021•锡山区校级三模）已知函数，．（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）设，若，求的取值范围．【解答】解：（1）时，，则，，又，故切点为，故曲线在点，处的切线方程为：；（2），定义域是，令（a），求导（a），故（a）在上单调递增，且（1），故，则当时，恒成立，即（a）（1），故，，时，令，则，故在上单调递增，且，，故存在，，使得，即，，当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增，故，综上，所求的取值范围是，．21．（2021•玉溪月考）已知函数．（1）若，求函数的最小值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当，，，，令得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以（1）．（2）解：因为，即，问题转化为恒成立，因为，设，因为△，，故存在，有，且在时，在，时，则在上单调递减，在，上单调递增故要满足题意，有，由可得代入上式，，即，由，所以函数在上单调递减，而（1），①当，时，函数（1）符合要求又所以，，即，，②当时，函数（1）不符合要求综上：，．22．（2021•龙岩月考）已知函数且为常数）．（Ⅰ）讨论函数的极值点个数；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：的定义域为，，令，在上恒成立，函数在上单调递增，且值域为，①当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点；②当时，方程有唯一解为，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，是函数的极小值点，没有极大值点．综上，当时，无极值点，当时，函数只有1个极值点；（Ⅱ）不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，对任意的恒成立记，则，记，则，易知在上恒成立，在上单调递增，且，（1），存在，使得，且当时，即，函数在上单调递减；当，时，即，故在，上单调递增，，即，又，故，即，即，由（Ⅰ）知