平面及其方程

关于平面及其方程第一页，共三十页，2022年，8月28日一、平面方程特征：①②如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．第二页，共三十页，2022年，8月28日1.点法式平面方程有三种表达形式：第三页，共三十页，2022年，8月28日——

平面的点法式方程注②平面上的一定点反之，不垂直，，即点M的坐标一定不满足(3.1).所以(3.1)式是平面的方程.确定平面方程的二要素：①(可不唯一)第四页，共三十页，2022年，8月28日解取例1

所求平面方程为化简得(方法1)第五页，共三十页，2022年，8月28日则共面，故所求平面方程为亦即(方法2)第六页，共三十页，2022年，8月28日2.一般式三元一次方程平面方程证()()代入(3.2),便可化为(3.1).——

平面的一般式方程法向量:第七页，共三十页，2022年，8月28日例2一些特殊平面方程(1)平面

通过坐标原点；(2)平面平行于坐标轴；(缺少x项)第八页，共三十页，2022年，8月28日平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面：类似地，可讨论平面平行于y轴、z轴的情形.(3)平面平行于坐标面；类似地，可讨论平面平行于其它坐标面的情形.第九页，共三十页，2022年，8月28日设平面为由平面过原点知所求平面方程为解例3

(方法1)第十页，共三十页，2022年，8月28日O

•

P(6,-3,2)点P(6,-3,2)，O(0,0,0)法向量：所求平面方程：(方法2)第十一页，共三十页，2022年，8月28日故可取法向量：解化简得所求平面方程为：例4第十二页，共三十页，2022年，8月28日设平面为将三点坐标代入得解3.截距式

例5

第十三页，共三十页，2022年，8月28日代入所设方程得——平面的截距式方程第十四页，共三十页，2022年，8月28日

求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解例6第十五页，共三十页，2022年，8月28日化简得令代入体积式所求平面方程为第十六页，共三十页，2022年，8月28日定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.二、两平面的夹角第十七页，共三十页，2022年，8月28日按照两向量夹角余弦公式有——两平面夹角余弦公式第十八页，共三十页，2022年，8月28日两平面位置特征：事实上，第十九页，共三十页，2022年，8月28日

研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角例7第二十页，共三十页，2022年，8月28日两平面平行但不重合．两平面重合第二十一页，共三十页，2022年，8月28日例8解所求平面的法向量为：第二十二页，共三十页，2022年，8月28日第二十三页，共三十页，2022年，8月28日解三、点到平面的距离

例9第二十四页，共三十页，2022年，8月28日第二十五页，共三十页，2022年，8月28日——点到平面距离公式第二十六页，共三十页，2022年，8月28日例10解第二十七页，共三十页，2022年，8月28日平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般式方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）内容小结第二十八页，共三十页，2022年，8月28日备用题

例3-1解(方法1)因为所求平面过x

轴