2023学年人教A版高中数学选修同步常用逻辑用语 省一等奖

常用逻辑用语第一章1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业课前教材预案要点一充分条件与必要条件⇒

充分

必要

充分

必要

思考：如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？提示

不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称____________.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的____________，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．要点二充要条件的概念充要条件

充要条件

思考：若p是q的充要条件，q是s的充要条件，则p是s的充要条件吗？提示

是．∵p是q的充要条件，∴p⇔q，又q是s的充要条件，∴q⇔s，故p⇔s，∴p是s的充要条件．证明充要条件应从两个方面证明，一是____________，二是____________.要点三充要条件的证明充分性

必要性

判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件下结论．课堂深度拓展考点一充分、必要条件的判断(2)等价法在不易判断p是q的充分条件(p⇒q)时，可以判断¬q⇒¬p；在不易判断p是q的必要条件(q⇒p)时，可以判断¬p⇒¬q.此种方法称之为等价法．(3)利用传递性若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出推式图，从图中寻求推式的传递性，再作判断．【例题1】指出下列各题中p是q的什么条件．(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.思维导引：解答本题主要是根据p与q之间的逻辑关系，从充分条件、必要条件和充要条件的定义进行判断，也可以利用等价法或集合法．【变式1】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是(

)①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．A．①④

B．①②③

C．①②③④

D．①②④D解析

①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．充要条件的证明的注意点充要条件的证明需分别证明(或探求)充分性和必要性两个方面，在解题时要避免把充分性当作必要性来证明(或求解)的错误，这就需要分清条件与结论．若从条件推出结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性．证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明命题“q⇒p”为真．前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．考点二充要条件的证明【例题2】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.思维导引：在本题中，条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”．证充分性是“条件⇒结论”，证必要性是“结论⇒条件”．证明

必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.综上知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【变式2】已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.探求命题成立的充要条件的方法(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后证明其充分性．(2)将一个命题等价转换为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件，即等价法．考点三充要条件的探求【例题3】求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．思维导引：由于二次项系数是字母a，因此首先要对方程ax2＋2x＋1＝0的二次项系数a分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．【变式3】已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋l.(1)证明：l＝－1是{an}是等差数列的必要条件；(2)试问：l＝－1是否为{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．解析

(1)证明：∵a1＝S1＝4＋l，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.∵{an}是等差数列，∴2a2＝a1＋a3，即2×5＝(4＋l)＋7，解得l＝－1，故l＝－1是{an}为等差数列的必要条件．(2)当l＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，又a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)．∵an＋1－an＝2，∴{an}是公差为2，首项为3的等差数列，∴l＝－1是{an}为等差数列的充分条件．又由(1)，知l＝－1是{an}是等差数列的必要条件，∴l＝－1是{an}为等差数列的充要条件．考点四充分条件、必要条件、充要条件的综合应用【例题4】已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．【变式4】在下图所示的各电路图中，“闭合开关A”分别是“灯泡B亮”的什么条件？解析

如题图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．如题图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要使灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．