高二第三讲(一)线面角A版

线面角一、定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角.二、取值范围三、求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.②解含的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.线面角定义【例1】下列命题：①一条直线在平面内的射影是一条直线；②在平面内射影是直线的图形一定是直线；③在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．【答案】：0【解析】：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.【变式】已知直线、与平面所成的角相等，则、的位置关系是（）． A．平行 B．相交 C．异面 D．上述答案都可能 【答案】D【例2】如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．B．平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同.【变式】两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点．上述四个结论中，可能成立的个数是（）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C定义法求线面角PADPADBCG如图，在四棱锥中，平面ABCD,为线段上的点。(1)证明：平面APC;(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值。解：（1）证明：设点Ｏ为AC，BD的交点，由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的是垂线，所以Ｏ为AC的中点，，又因为平面平面，所以，因此BD平面APC．（2）解：连接OG，由（1）可知ＯD平面APC，则在平面内的射影为OG，所以是DG与平面APC所成的角。由题意得在中，，所以，在直角中，，在直角中，，所以DG与平面APC所成角的正切值为。【变式】已知正三棱柱中，,为的中点，则直线与平面所成角的正弦值是。【例4】【2014高考福建理第17题】在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.求证：；若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.(2)过点在平面内作,如图.由(1)知平面平面平面所以.以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方【变式】【2014高考上海卷文第7题】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小的余弦值为等体积法求线面角【例5】【2014高考北京理第17题】如图，正方体的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.【变式】（如图2）长方体，求与面所成的角。解：设点B到AB1C1D的距离为∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=设AB与面AB1C1D所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2三余弦定理的应用【例6】在中,,是面的斜线,．(1)求PA与面ABC所成的角的大小；(2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上？图（1）图（2）图（3）解：(1)依题意，斜线PA在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上，设垂足为O，连结AO,并延长AO∩BC=D,设,则即为斜线PA与面ABC所成的角,因此,∴,即斜线PA与面ABC所成的角为；∵直角三角形ABC的直角平分线长AD=，∴当延长AP到时，AD成为斜线的射影，垂足D恰好落在边BC上，∴，即当PA的长度等于的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上．【变式】（如图4）已知直线两两所成的角为60°,，求直线与面所成的角的余弦值。解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC∴cos60°=cos∠AOD·cos30°∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。图4线面角综合【例7】．如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.【例8】在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点．若，则当的面积为最小值时，直线与平面所成的角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：如图：当时，此行是异面直线与的共垂线段，共垂线段是异面直线两点间距离的最小值，所以此时的面积为最小值，，所以平面，平面，所以又因为此时，，所以平面，为在平面内的射影，所以直线与平面所成的角为，是等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形，所以考点：1．线与面垂直；2．线与面所成角．【变式】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、BC、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设正方形ABCD的对角线的交点为O,则,是直线BD与平面ABC所成的角，,因为都是定值，所以当时，三棱锥体积取得最大值，因为，所以。已知线面角求其他【例9】．等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、(如图2).（1）求证:平面；（2）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为等边△的边长为3,且,所以,．在△中,,由余弦定理得．BCEDBCEDHP所以．折叠后有因为二面角是直二面角,所以平面平面又平面平面,平面,,所以平面（2）由(1)的证明,可知,平面．以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图,设,则,,所以,,所以,因为平面,所以平面的一个法向量为因为直线与平面所成的角为,所以,解得,即,满足,符合题意.所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.考点：1.线面垂直.2.图形的翻折问题.3.线面角.4.空间想象力.【例10】（15年天津理科）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.(I)求证：；(II)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析；(II)；(=3\*ROMANIII).【解析】试题分析：以为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线的方向向量与平面的法向量，两个向量的乘积等于即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(=3\*ROMANIII)设，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出的长.试题解析：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面(II