高考数学二轮复习真题源讲义保分练(五)

保分练(五)1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin∠ACB.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.(1)证明:由正弦定理知,bsin∠ABC=csin∠ACB=2R,R为△ABC外接圆的半径,所以b=2Rsin∠ABC,c=2Rsin∠ACB,因为ba·2Rsin∠ACB,即bsin∠ABC=asin∠ACB,因为BDsin∠ABC=asin∠ACB,所以BD=b.(2)解:由(1)知BD=b,因为AD=2DC,所以AD=23b,DC=1在△ABD中,由余弦定理知,cos∠BDA=BD2+AD在△CBD中,由余弦定理知,cos∠BDC=BD2+CD因为∠BDA+∠BDC=π,所以cos∠BDA+cos∠BDC=0,即13b10b得11b2=3c2+6a2,因为b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,所以c=3a或c=23在△ABC中,由余弦定理知,cos∠ABC=a2+c当c=3a时,cos∠ABC=76>1(舍去);当c=23a时,cos∠ABC=综上所述,cos∠ABC=7122.在①2Sn+1=3n;②a1a2…an=3n2-n2已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且满足,设数列1an+1(n+1)·lo解:选①2Sn+1=3n.当n≥2时,2Sn-1+1=3n-1,两式相减可得2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,即an=3n-1,又a1=1满足上式,可得an=3n-1,n∈N*.1an+1(n+1)·log3an+1=1Tn=1+13+19+…+13n-1+(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=因为12×13n-1>0,1选②a1a2…an=3n当n≥2时,a1a2…an-1=3(两式相除可得an=3n2-n2-(n-1)1an+1(n+1)·log3an+1=1Tn=1+13+19+…+13n-1+(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=因为12×13n-1>0,1选③2Sn-3an+1=0.当n≥2时,2Sn-1-3an-1+1=0,两式相减可得2Sn-2Sn-1-3an+3an-1=0,化为an=3an-1,又a1=1,所以an≠0,所以anan-1=3,即{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,故an1an+1(n+1)·log3an+1=1Tn=1+13+19+…+13n-1+(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=因为12×13n-1>0,13.(2022·福建福州模拟)在对10个同类工厂研究后,得到工厂获得投入与纯利润的简单随机样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),xi,yi分别表示第i个工厂的投入(单位:万元)和纯利润(单位:万元).第i个工厂12345678910投入xi/万元32313336373839434546纯利润yi/万元25303437394142444850(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的经验回归方程(精确到0.01);(3)现有甲、乙两种大型机器供工厂选择,甲型机器价位是60万元/台,乙型机器价位是50万元/台,下表是甲、乙两种大型机器各30台的使用年限(整年)统计表:1年2年3年4年合计甲型/台3129630乙型/台6129330据以往经验可知,每年使用任一型号都可获利润30万元,若仅考虑购置成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该工厂选择买哪一款型号机器更划算?参考数据:∑i=110xi=380,∑i=110yi=390,∑i=110(xi-x)2∑i=110(xi-x)(yi-y参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(解:(1)依题意知,x=38,y=39,且样本相关系数为r=∑i=110(x因为y与x的样本相关系数接近于1,所以y与x之间具有较强的线性相关关系.(2)依题意知,b＾=∑i=110(xi-x)(yi-y所以y关于x的经验回归方程为y＾(3)以频率估计概率,购买一台甲型号机器的利润X(单位:万元)的概率分布列为X-3003060P1231E(X)=(-30)×110+0×25+30×310+60购买一台乙型号机器的利润Y(单位:万元)的概率分布列为Y-20104070P1231E(Y)=(-20)×15+10×25+40×310+70因为E(X)<E(Y),所以该工厂选择购买乙型号机器更划算.4.(2022·广东广州模拟)如图,四棱锥PABCD的底面为矩形,PD⊥底面ABCD.过AD的平面α分别与线段PB,PC相交于点E,F.(1)证明:AD∥EF;(2)若AD=1,PD=CD=2,试问是否存在平面α,使得直线PB与平面α所成角的正弦值为22(1)证明:因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,因为AD⊂平面α,平面α∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.(2)解:存在,理由如下:分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,2),PB→=(1,2,-2),DA(1,0,0),设PE→=λPB→=λ(1,2,-2),所以E(λ,2λ,2-2λ),2-2λ).设n=(x,y,z)为平面α的法向量