高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-

第1讲等差数列与等比数列第1讲等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(

) A.－24 B.－3 C.3 D.8答案A真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-答案

D答案D3.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

解析因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，答案－633.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若4.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.

解(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.4.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a51.等差数列考点整合1.等差数列考点整合2.等比数列2.等比数列热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2018·潍坊三模)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(

)热点一等差、等比数列的基本运算解析由b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1.从而bn＋1－bn＝3，则数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列.答案

C解析由b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋(2)(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{an}的通项公式；②求Sn，并求Sn的最小值.解①设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.②由①得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.(2)(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项探究提高

1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.探究提高1.等差(比)数列基本运算的解题途径：【训练1】(1)(2018·郑州调研)已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(

) A.n(n－2) B.n(n－1) C.n(n＋1) D.n(n＋2)答案A【训练1】(1)(2018·郑州调研)已知等差数列{an}(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.①若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；②若T3＝21，求S3.解①设{an}公差为d，{bn}公比为q，故{bn}的通项公式为bn＝2n－1.∴当d＝－1时，S3＝－6；当d＝8时，S3＝21.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，∴an＝2an－1.∴数列{an}是公比与首项都为2的等比数列，∴an＝2n.∴bn＝10－log2an＝10－n.由bn＝10－n≥0，解得n≤10.∴{bn}前9项为正，第10项为0，以后各项为负，∴使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为9或10.答案

(1)D

(2)9或10(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得探究提高

1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.探究提高1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-(2)设等比数列{an}的公比为q，答案

(1)D

(2)B(2)设等比数列{an}的公比为q，答案(1)D(2)B则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.∵an>0，知Sn＋1>0，∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，故Sn＋1＝2Sn＋λ.则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.(2)解由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ，两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，∴a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列.(2)解由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，若数列{an}是【迁移探究】

若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”其它条件不变，试求解第(2)问.解由本例(2)，得an＋1＝2an(n≥2，n∈N*).又S2＝2S1＋λ，∴a2＝a1＋λ＝2＋λ>0.∴an＝(2＋λ)·2n－2(n≥2).又a1＝2，若{an}是等比数列，∴a2＝(2＋λ)·20＝2a1＝4，∴λ＝2.故存在λ＝2，此时an＝2n，数列{an}是等比数列.【迁移探究】若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”其它条高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-【训练3】

(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.解(1)设{an}的公比为q，由题设可得故{an}的通项公式为an＝(－2)n.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.热点四等差数列与等比数列的综合问题【例4】

(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.解(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0).由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.热点四等差数列与等比数列的综合问题解(1)设等比数列{b设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以，n的值为4.设等差数列{an}的公差为d.整理得n2－3n－4＝0，解得探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”【训练4】

(2018·武汉质检)在公比为q的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若q<1，求满足a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n>10的最小正整数n的值.解(1)依题意，2(a2＋2)＝a1＋a3，且a1＝16.∴2(16q＋2)＝16＋16q2，即4q2－8q＋3＝0.【训练4】(2018·武汉质检)在公比为q的等比数列{an(2)由(1)知，当q<1时，an＝25－n.∴n>2，正整数n的最小值为3.(2)由(1)知，当q<1时，an＝25－n.∴n>2，正整1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-编后语听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：一、听要点。一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。二、听思路。思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。三、听问题。对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。四、听方法。在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。2022/12/29最新中小学教学课件34编后语听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直2022/12/29最新中小学教学课件35谢谢欣赏！2022/12/29最新中小学教学课件35谢谢欣赏！第1讲等差数列与等比数列第1讲等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(

) A.－24 B.－3 C.3 D.8答案A真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1，公差不高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-答案

D答案D3.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

解析因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，答案－633.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若4.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.

解(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.4.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a51.等差数列考点整合1.等差数列考点整合2.等比数列2.等比数列热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2018·潍坊三模)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(

)热点一等差、等比数列的基本运算解析由b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1.从而bn＋1－bn＝3，则数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列.答案

C解析由b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋(2)(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.①求{an}的通项公式；②求Sn，并求Sn的最小值.解①设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.②由①得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.(2)(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项探究提高

1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.探究提高1.等差(比)数列基本运算的解题途径：【训练1】(1)(2018·郑州调研)已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(

) A.n(n－2) B.n(n－1) C.n(n＋1) D.n(n＋2)答案A【训练1】(1)(2018·郑州调研)已知等差数列{an}(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.①若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；②若T3＝21，求S3.解①设{an}公差为d，{bn}公比为q，故{bn}的通项公式为bn＝2n－1.∴当d＝－1时，S3＝－6；当d＝8时，S3＝21.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，∴an＝2an－1.∴数列{an}是公比与首项都为2的等比数列，∴an＝2n.∴bn＝10－log2an＝10－n.由bn＝10－n≥0，解得n≤10.∴{bn}前9项为正，第10项为0，以后各项为负，∴使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为9或10.答案

(1)D

(2)9或10(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得探究提高

1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.探究提高1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-(2)设等比数列{an}的公比为q，答案

(1)D

(2)B(2)设等比数列{an}的公比为q，答案(1)D(2)B则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.∵an>0，知Sn＋1>0，∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，故Sn＋1＝2Sn＋λ.则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0.(2)解由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ，两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，∴a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列.(2)解由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，若数列{an}是【迁移探究】

若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”其它条件不变，试求解第(2)问.解由本例(2)，得an＋1＝2an(n≥2，n∈N*).又S2＝2S1＋λ，∴a2＝a1＋λ＝2＋λ>0.∴an＝(2＋λ)·2n－2(n≥2).又a1＝2，若{an}是等比数列，∴a2＝(2＋λ)·20＝2a1＝4，∴λ＝2.故存在λ＝2，此时an＝2n，数列{an}是等比数列.【迁移探究】若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”其它条高三数学二轮专题复习课件：专题二-数列-第1讲-等差数列与等比数列-【训练3】

(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.解(1)设{an}的公比为q，由题设可得故{an}的通项公式为an＝(－2)n.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.∴Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.热点四等差数列与等比数列的综合问题【例4】

(2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.解(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0).由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.热点四等差数列与等比数列的综合问题解(1)设等比数列{b设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n.整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以，n的值为4.设等差数列{an}的公差为d.整理得n2－3n－4＝0，解得探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.探究提高1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”【训练4】

(2018·武汉质检)在公比为q的等比数列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若q<1，求满足a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n>10的最小正整数n的值.解(1)依题意，2(a2＋