2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：平面解析几何

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）解答题：平面解析几何1.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积.2.如图，已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧.记的面积分别为.(1)求的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点的坐标.3.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.(1)求的方程；(2)设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.4.已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.(1)求双曲线的方程；(2)过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：.5.顺次连接椭圆的四个顶点，恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值.6.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.(1)求与的值；(2)设动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.7.已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为.(1)求抛物线和双曲线的方程；(2)已知直线过点，且与抛物线交于两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，求的最大值.8.已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为.过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点(不同于点)，直线与直线交于点，连接，过点作的垂线，与直线交于点.(1)求椭圆的方程，并求点的坐标；(2)求证：三点共线.

答案以及解析1.答案：(1)因为长轴长是短轴长的倍，所以.因为右焦点的坐标为，所以.结合，得.所以椭圆的标准方程为.(2)设.由得.则.因为线段中点的横坐标为，所以.解得，即，代入一元二次方程得，符合题意，所以直线的方程为.因为.点到直线的距离.所以的面积.2.答案：(1)由题意得，即.所以，抛物线的准线方程为.(2)设，重心.令，则.由于直线过点，故直线的方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心在轴上，故，得.所以，直线的方程为，得.由于在焦点的右侧，故.从而.令，则，.当时，取得最小值，此时.3.答案：(1)由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.又由知，不经过点，所以点在上.因此解得故的方程为.(2)设直线与直线的斜率分别为.如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得的坐标分别为.则，得，不符合题设.从而可设.将代入得，.由题设可知.设，则.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，于是，即，所以过定点.4.答案：(1)根据已知条件，得，所以.因为轴，所以.在中，，得.所以双曲线的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，则，于是，此时.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.联立得消去并整理，得.则且.因为为的中点，所以，即点的坐标为.则..又点到直线的距离，所以，即.所以，，由此得.综上，.5.答案：(1)由题意可得解得，故椭圆的标准方程为.(2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线，联立得得，则，得，所以.由，得直线的方程为，联立得得，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为.6.答案：(1)根据抛物线定义，知，解得，所以抛物线方程为.由点在抛物线上，得，所以.(2)抛物线方程为，当时，直线与抛物线只有一个交点，显然不合题意.当时，假设存在点满足题意，，由，得，即.整理得.联立方程得整理得，所以，得，所以，解得，因此存在点满足题意.7.答案：(1)由双曲线过点，且其离心率为，得，又，得，故双曲线的方程为.由是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，可得，解得.故抛物线的标准方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为.此时，故圆的方程为，可得(或)，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得.联立方程得化简得.设，则，可得.设圆的半径为，则.如图，过点作，垂足为.在中，.故，则.综上可得，的最大值为.8.答案：(1)因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为，所以得则椭圆的方程为，椭圆的右焦点的坐标为.(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为.显然，或.当时，直线的方程为，得点的坐标为，所以.则直线的方程为，得点的坐标为..所以，所以三点共线.同理