高二 数学 选修2-2 合情推理

教学重点：能利用归纳和类比等进行简单的猜想和推理教学难点：用归纳和类比进行作出猜想.知识点一、归纳推理归纳推理的概念1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=161+3+5+7+9=25。。。。。。。由此猜想：1+3+5+7+。。。。。。（2n-1）=n2归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。观察等式：，能得出怎样的结论？思考：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？(ii)归纳推理有何作用？(iii)归纳推理的结果是否正确？归纳推理的应用题型一、数列的归纳例题：1已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.A变式1猜想数列的通项公式是.A变式2.已知m＞0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，可推广为x＋eq\f(m,xn)≥n＋1，则m的值为________．解析x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x＋eq\f(m,xn)＝eq\f(x,n)＋eq\f(x,n)＋…＋eq\f(x,n)＋eq\f(m,xn)，也满足各项乘积为定值1，于是m＝nn.A变式3eq\f(2,1)＋2＝4；eq\f(2,1)×2＝4；eq\f(3,2)＋3＝eq\f(9,2)；eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)；eq\f(4,3)＋4＝eq\f(16,3)；eq\f(4,3)×4＝eq\f(16,3)；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为______________________．A变式4在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an))).(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式；B变式1已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2007＝________．B．变式2如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________．eq\x(\a\al(1234567…,35791113…,812162024…,………))解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216.B变式3已知函数f（x）满足：f（1）=3，f（2）=6，f（3）=10，f（4）=15，…，则f（12）的值为（）二．类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理.题型二、从平面到空间的类比例题1(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两线相等；与圆心距离不等的两弦不等距圆心较近的弦较长以点（a,b）为圆心，r为半径的圆的方程为小结：平面→空间，圆→球，线→面，周长→面积，面积→体积，2维→3维内切圆内切球平方一般不变当不确定时可以计算出来检验一下A变式1在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（）A．1：4B．1：6C．1：8D．1：9分析：由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为1：8故选C．点评：本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．A变式2对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于各面正三角形的什么位置（）A．各正三角形的中心B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形内一点D．各正三角形外的某点考点：类比推理．专题：计算题．分析：立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，因此可得结论解答：解：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选A．点评：本题主要考查类比思想的运用，有平面到空间，应注意相类比的元素，属于基础题．A变式3在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外切圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．考点：类比推理．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．解答：解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，OE=r，则∴R=，r=∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C点评：本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．B.变式1.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A．∀=（s1+s2+s3+s4）RB．∀=（s1+s2+s3+s4）RC．∀=（s1+s2+s3+s4）RD．∀=（s1+s2+s3+s4）R分析：根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想．解答：解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比：∴△ABC的面积为s=（a+b+c）r，对应于四面体的体积为V=（s1+s2+s3+s4）R．故选B．点评：本题考查了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面和体积进行类比，从而得到结论．B变式2平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．考点：类比推理．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．B变式3在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）A．|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2B．S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB=S2△BCDC．S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2D．|AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|2分析：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2．故选C．点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．小结：归纳推理和类比推理统称为合情推理.∴n＝－400.数列型的用求数列的通项公式题型三、等差数列与等比数列的类比例题3设等差数列{}的前n项和为则成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}的前n项积为则,成等比数列.解析由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性:设等比数列{}的公比为q,首项为则∴即故成等比数列.答案小结：等差类比等比加乘减除算术平均数几何平均数A变式1．若数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为（）A．B．C．D．分析：利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．解答：解：∵数列{an}是等差数列，∴数列=也为等差数列∵正项数列{cn}是等比数列，设首项为c1，公比为q∴==∴是等比数列故选D．点评：本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．A变式2在公差为d的等差数列{an}中，我们可以得到an=am+（n﹣m）d（m，n∈N+）．通过类比推理，在公比为q的等比数列{bn}中，我们可得（）A．bn=bm+qn﹣mB．bn=bm+qm﹣nC．bn=bm×qm﹣nD．bn=bm×qn﹣m考点：类比推理．专题：探究型．分析：因为等差数列{an}中，an=am+（n﹣m）d（m，n∈N+），即等差数列中任意给出第m项am，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第m项bm和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．解答：解：在公比为q的等比数列{bn}中，设其首项为b1，则，所以．则．故选D．点评：本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．A变式3在等差数列{an}中，也成等差数列，那么在等比数列{bn}中，下列推断正确的是（）A．数列成等差数列B．数列成等比数列C．数列成等比数列D．数列成等比数列分析：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当时，数列{cn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{bn}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{dn}也是等比数列．解答：解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当时，数列{cn}也是等差数列．类比推断：若数列{bn}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{dn}也是等比数列．故选D．点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．B变式1在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8分析：类比等差数列{an}与等比数列{bn}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．解答：解：在等差数列{an}中，an＞0，公差为d＞0，所以{an}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，bn＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．点评：本题考查类比推理，考查学生的观察、分析、类比能力，考查推理论证能力，属中档题．B.变式2若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，有正确的结论：（m﹣n）ap+（n﹣p）am+（p﹣m）an=0，类比上述性质，相应地，若等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有bpm﹣n×bmn﹣p×bnp﹣m=1．考点：类比推理；等比数列的性质．专题：压轴题；探究型．分析：仔细分析题干中给出的不等式的结论：（m﹣n）ap+（n﹣p）am+（p﹣m）an=0的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：bpm﹣n﹣bmn﹣p﹣bnp﹣m=1成立．解答：解：等差数列中的（m﹣n）ap可以类比等比数列中的bpm﹣n等差数列中的（n﹣p）am可以类比等比数列中的bmn﹣p等差数列中的（p﹣m）an可以类比等比数列中的bnp﹣m等差数列中的“加”可以类比等比数列中的“乘”．故bpm﹣n×bmn﹣p×bnp﹣m=1故答案为bpm﹣n×bmn﹣p×bnp﹣m=1．点评：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜