点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为LA·αALA·αB∈L=>Lα，A∈α，B∈αC·C·B·A·α（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。推论：=1\*GB3①一条直线和其外一点可确定一个平面=2\*GB3②两条相交直线可确定一个平面=3\*GB3③两条平行直线可确定一个平面P·αLP·αLβ符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是00<θ≤9002.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥ca=>a∥cc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α针对性练习：1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）A.内所有的直线都与a异面；B.内不存在与a平行的直线；C.内所有的直线都与a相交；D.直线a与平面有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）A.3B.2C.1D.03.空间四边形ABCD中，若，则与所成角为A、B、C、D、4.给出下列命题：（1）直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）35．正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）条A3B4C6.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心ABCDA1B1ABCDA1B1C1D1C1—BD—C的大小为（）（A）300（B）450（C）600（D）9008.直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）A、若aα，bα,c⊥a,c⊥b则c⊥αB、若bα,a//b则a//αC、若a//α,α∩β=b则a//bD、若a⊥α,b⊥α则a//b9.平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行；B.直线a//,a//C.直线a,直线b,且a//,b//D.内的任何直线都与平行10、a,b是异面直线，下面四个命题：=1\*GB3①过a至少有一个平面平行于b；=2\*GB3②过a至少有一个平面垂直于b；=3\*GB3③至多有一条直线与a，b都垂直；=4\*GB3④至少有一个平面与a，b都平行。其中正确命题的个数是（）Ａ０Ｂ１Ｃ２Ｄ３二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知直线a//平面，平面//平面，则a与的位置关系为.12．已知直线a⊥直线b,a//平面,则b与的位置关系为.13如图，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有个直角三角形ABCP14.α、β是两个不同的平面，m、n是平面αABCP给出四个论断：①m^n②α^β③m^β④n^α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________________________.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：AB⊥BCPPABC16．在三棱锥S-ABC中，已知AB=AC，O是BC的中点，平面SAO⊥平面ABCABOCS求证：ABOCS 17．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求二面角P—BC—A的大小；（3）求三棱锥P—AEF的体积.AABCPEF参考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面内；12.平行或在平面内；13.4；14.若②③④则①17.（2）45°2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβa∩b=Pβ∥αbβa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行练习巩固：1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(

d)A.平行

B.异面

C.相交

D.平行或异面2、下列结论中，正确的有(

a

)①若aα,则a∥α ②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b ④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aαA.1个 B.2个

C.3个

D.4个3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是(

)A.平行

B.相交

C.在内

D.不能确定4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是(

d)A.过A有且只有一个平面平行于a,b B.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,b D.过A且平行a,b的平面可能不存在5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是(

)A.b∥α

B.bαC.b与α相交

D.以上都有可能6、下列命题中正确的命题的个数为(

a

)①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.A.1

B.2

C.3

D.47、下列命题正确的个数是(

a)(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥αA.0个 B.1个

C.2个

D.3个8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d①若m⊥α,m⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β; ④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.A.①和②

B.①和③

C.③和④

D.①和④9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有(cA.1个

B.2个

C.3个

D.4个10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（b）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题【共4道小题】1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD1，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行三、解答题【共3道小题】1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE.同理不总有BE∥CF.②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.AGED为平行四边形.∴AG=DE.同理GH=EF.又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形求证：MN∥平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.4、如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，， 平行且等于，平行且等于， 平行且等于，则为平行四边形，．平面，平面，平面．5、如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。一选择题1.已知直线，和平面，有以下四个命题：若，，则；若，，则与异面；若，，则；若，，则．其中真命题的个数是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.已知直线，有以下几个判断：若，则；若，则；若，则；若，则．上述判断中正确的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０4.在正方形中，，分别是及的中点，是的中点，沿，及把，，折起使，，三点重合，重合后的点记作，那么在四面体中必有（）Ａ．面 Ｂ．面Ｃ．面 Ｄ．面5.直线不垂直于平面，则内与垂直的直线有（）Ａ．条 Ｂ．条 Ｃ．无数条 Ｄ．内所有直线6.已知三条直线，，，三个平面，，．下面四个命题中，正确的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．7.在空间四边形中，若，，为对角线的中点，下列判断正确的是（）Ａ．平面平面 Ｂ．平面平面Ｃ．平面平面 Ｄ．平面平面8.，，，是四个不同平面，若，，，，则（）Ａ．且Ｂ．或Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行9.设，是异面直线，下列命题正确的是（）Ａ．过不在，上的一点一定可以作一条直线和，都相交Ｂ．过不在，上的一点一定可以作一个平面和，垂直Ｃ．过一定可以作一个平面与垂直Ｄ．过一定可以作一个平面与平行10.设平面平面，且，直线，直线，且不与垂直，不与垂直，那么与（）Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｂ．可能平行，不可能垂直Ｃ．可能垂直，也可能平行 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直二填空题11已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是___________．12.是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：；；；．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____