结构可靠度计算课件

2012结构可靠度计算1第3章结构可靠度计算杨春侠长沙理工大学土木工程学院2012结构可靠度计算1第3章结构可靠度计算杨春侠2012结构可靠度计算2设结构功能函数为：3.1中心点法一、计算公式是表示影响结构可靠度因素的随机变量，简称基本变量。是基本变量的统计参数。称为中心点。2012结构可靠度计算2设结构功能函数为：3.1中2012结构可靠度计算3在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取线性项：则功能函数Z的平均值和标准差为2012结构可靠度计算3在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数2012结构可靠度计算4则按下式近似确定可靠指标因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。2012结构可靠度计算4则按下式近似确定可靠指标因为功能函数2012结构可靠度计算5二、公式的应用例题3-1一圆截面直杆，承受拉力P=100kN，基本变量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。材料强度设计值fy杆的直径d功能函数为2012结构可靠度计算5二、公式的应用例题3-1一圆截面直2012结构可靠度计算6解：2012结构可靠度计算6解：2012结构可靠度计算7说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式。2012结构可靠度计算7说明中心点法计算结果依赖于功能函数的2012结构可靠度计算8三、中心点法的评价1、中心点法的优点直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即可计算可靠指标值；若值β较小，即Ｐf值较大时，Ｐf值对基本变量联合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf

值大致在同一个数量级内；对正常使用极限状态尤为适用(

＝1～2)。2012结构可靠度计算8三、中心点法的评价1、中心点法的优点2012结构可靠度计算92、中心点法的缺点：算得的与结构功能函数的形式有关；没有考虑基本变量的实际分布；对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值处按泰勒级数展开不尽合理；当失效概率pf<

10-3时(相应的>3.09)，Z的分布类型不同将会导致pf值在几个数量级的范围内波动，中心点法失效。2012结构可靠度计算92、中心点法的缺点：算得的与结构功2012结构可靠度计算103.2验算点法一、验算点法的两点改进

R.Rackwitz和B.Fiessler

等人提出验算点法。（１）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过Z＝0上的某一点P*(x1*,x2*,·····,xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法中的误差。（２）当基本变量xi

具有分布类型的信息时，将Xi

的分布在验算点P*处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态分布，从而在β中合理地反映了分布类型的影响。2012结构可靠度计算103.2验算点法一、验算点法的两点2012结构可靠度计算11二、计算公式1、设极限状态方程为：基本变量服从正态分布，统计参数已知。2、空间变换：X空间（正态空间）U空间（标准正态空间）2012结构可靠度计算11二、计算公式1、设极限状态方程为：2012结构可靠度计算12验算点转换为X空间的功能函数转换为U空间功能函数2012结构可靠度计算12验算点2012结构可靠度计算13极限状态超曲面过验算点的超切平面方程为3、U空间的可靠指标因为为极限状态超曲面上的点，则

超切平面方程化简为2012结构可靠度计算13极限状态超曲面2012结构可靠度计算14验算点切线极限状态曲线可靠指标的几何意义U空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P*(u1*,u2*,····,un*)即为验算点。2012结构可靠度计算14验算点切线极限状态曲线可靠指标的几2012结构可靠度计算15令是的方向余弦X空间的方向余弦式3-12012结构可靠度计算15令是的方向余弦X2012结构可靠度计算16因为4、X空间的验算点所以运用迭代法按式3-1、3-2和3-3求解可靠指标。式3-2式3-32012结构可靠度计算16因为4、X空间的验算点所以运用迭2012结构可靠度计算17三、当量正态化非正态分布概率密度函数当量正态分布概率密度函数2012结构可靠度计算17三、当量正态化非正态分布概率密度函2012结构可靠度计算181、当量正态化条件……………(3-4)……………(3-5)2012结构可靠度计算181、当量正态化条件…………2012结构可靠度计算19……………(3-6)……………(3-7)2、对数正态分布当量正态化2012结构可靠度计算19……………(3-6)…2012结构可靠度计算201、均匀分布常见概率分布类型2012结构可靠度计算201、均匀分布常见概率分布类型2012结构可靠度计算212、正态分布2012结构可靠度计算212、正态分布2012结构可靠度计算223、标准正态分布2012结构可靠度计算223、标准正态分布2012结构可靠度计算234、对数正态分布2012结构可靠度计算234、对数正态分布2012结构可靠度计算242012结构可靠度计算242012结构可靠度计算25for5、伽马分布2012结构可靠度计算25for5、伽马分布2012结构可靠度计算266、极值Ⅰ型分布2012结构可靠度计算266、极值Ⅰ型分布2012结构可靠度计算27forfor7、极值Ⅱ型分布2012结构可靠度计算27forfor7、极值Ⅱ型分2012结构可靠度计算28for8、极值Ⅲ型分布2012结构可靠度计算28for8、极值Ⅲ型分布2012结构可靠度计算29for9、极值Ⅲ型分布（威布尔分布）2012结构可靠度计算29for9、极值Ⅲ型分布（威布尔2012结构可靠度计算30对于非正态随机变量，以公式(3-4)和(3-5)或(3-6)和(3-7)求得的Xi′和Xi′分别代替Xi和Xi后，所有的随机变量现在都变成了正态分布随机变量，所以前述正态分布基本变量情况下求和设计验算点P*的公式和方法也就均可应用了。2012结构可靠度计算30对于非正态随机变量，以公式(3-42012结构可靠度计算31四、验算点法计算步骤对于结构极限状态函数中包含多个正态或非正态基本变量，只要知道其概率分布类型及统计参数，就可采用迭代法计算和验算点P*的坐标值。2012结构可靠度计算31四、验算点法计算步骤对于结构极限状2012结构可靠度计算32已知:Xi(i=1,…，n)的分布类型及统计参数Xi,σXi，极限状态方程g(X1,…,Xn)=0假定验算点P*的坐标值初值对于非正态变量Xi，根据公式(4),(5)或(6),(7)进行当量正态化，计算以代替2012结构可靠度计算32已知:Xi(i=1,…，n)的分布2012结构可靠度计算33将设计验算点P*的坐标Xi*代入极限状态方程以求出计算Xi*并取代上一次验算点坐标，返回进行下一轮迭代本次求得的和Xi*即为所求的可靠指标和设计验算点P*的坐标值是否|上次求出的－上次求出的|≤允许误差2012结构可靠度计算33将设计验算点P*的坐标Xi*代入极2012结构可靠度计算34习题3-2承受恒载和楼面活荷载的钢筋混凝土轴心受压短柱，已知恒载产生的轴向力NG为正态分布，活载产生的轴向力NL为极值Ⅰ型分布，截面承载能力（抗力）R为对数正态分布，统计参数分别为NG＝1159.1kN，NG＝81.1kN，NL＝765.5kN，NL＝222kN，R＝4560kN，R＝729.6kN，极限状态方程为Z＝R－NG－NL＝0，求可靠指标和设计验算点。2012结构可靠度计算34习题3-2承受恒载和楼面活荷载的2012结构可靠度计算35＝3.96R*=3009.8NG*=1194.1NL*=1815.6g(·)=R*-NG*-NL*=0.01≈02012结构可靠度计算35＝3.962012结构可靠度计算363.3蒙特卡洛方法蒙特卡洛法又称为随机抽样法，是一种基于“随机数”的计算方法。源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城MonteCarlo来命名。2012结构可靠度计算363.3蒙特卡洛方法蒙特卡洛法又称2012结构可靠度计算37一、蒙特卡洛法的基本思路针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计。对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精度(方差)的估计。2012结构可靠度计算37一、蒙特卡洛法的基本思路针对实际问2012结构可靠度计算38二、随机数的生成蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。在计算机实现中,是通过确定性的算法生成随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机的,只是很好的模仿了随机数的性质。我们通常称之为伪随机数。在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。可靠度计算中采用一般抽样法和重要抽样法。2012结构可靠度计算38二、随机数的生成蒙特卡罗模拟的关键2012结构可靠度计算39三、蒙特卡洛方法计算可靠度的步骤1、列出功能函数及基本变量的概率分布函数2、估算抽样的次数3、产生的随机数4、计算基本变量5、计算功能函数值，记录功能函数小于0的次数；6、计算失效概率估计值2012结构可靠度计算39三、蒙特卡洛方法计算可靠度的步骤12012结构可靠度计算40第3章结构可靠度计算杨春侠长沙理工大学土木工程学院2012结构可靠度计算1第3章结构可靠度计算杨春侠2012结构可靠度计算41设结构功能函数为：3.1中心点法一、计算公式是表示影响结构可靠度因素的随机变量，简称基本变量。是基本变量的统计参数。称为中心点。2012结构可靠度计算2设结构功能函数为：3.1中2012结构可靠度计算42在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数，并取线性项：则功能函数Z的平均值和标准差为2012结构可靠度计算3在中心点M处将功能函数展开为泰勒级数2012结构可靠度计算43则按下式近似确定可靠指标因为功能函数采用在中心点处泰勒级数展开式线性项作为线性近似函数，因此称此法为中心点法。2012结构可靠度计算4则按下式近似确定可靠指标因为功能函数2012结构可靠度计算44二、公式的应用例题3-1一圆截面直杆，承受拉力P=100kN，基本变量及其统计参数如下，求此杆的可靠指标。材料强度设计值fy杆的直径d功能函数为2012结构可靠度计算5二、公式的应用例题3-1一圆截面直2012结构可靠度计算45解：2012结构可靠度计算6解：2012结构可靠度计算46说明中心点法计算结果依赖于功能函数的形式。2012结构可靠度计算7说明中心点法计算结果依赖于功能函数的2012结构可靠度计算47三、中心点法的评价1、中心点法的优点直接给出与随机变量统计参数之间的关系，不必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道基本变量的统计参数即可计算可靠指标值；若值β较小，即Ｐf值较大时，Ｐf值对基本变量联合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐf

值大致在同一个数量级内；对正常使用极限状态尤为适用(

＝1～2)。2012结构可靠度计算8三、中心点法的评价1、中心点法的优点2012结构可靠度计算482、中心点法的缺点：算得的与结构功能函数的形式有关；没有考虑基本变量的实际分布；对于非线性功能函数，近似在基本变量的平均值处按泰勒级数展开不尽合理；当失效概率pf<

10-3时(相应的>3.09)，Z的分布类型不同将会导致pf值在几个数量级的范围内波动，中心点法失效。2012结构可靠度计算92、中心点法的缺点：算得的与结构功2012结构可靠度计算493.2验算点法一、验算点法的两点改进

R.Rackwitz和B.Fiessler

等人提出验算点法。（１）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过Z＝0上的某一点P*(x1*,x2*,·····,xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法中的误差。（２）当基本变量xi

具有分布类型的信息时，将Xi

的分布在验算点P*处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态分布，从而在β中合理地反映了分布类型的影响。2012结构可靠度计算103.2验算点法一、验算点法的两点2012结构可靠度计算50二、计算公式1、设极限状态方程为：基本变量服从正态分布，统计参数已知。2、空间变换：X空间（正态空间）U空间（标准正态空间）2012结构可靠度计算11二、计算公式1、设极限状态方程为：2012结构可靠度计算51验算点转换为X空间的功能函数转换为U空间功能函数2012结构可靠度计算12验算点2012结构可靠度计算52极限状态超曲面过验算点的超切平面方程为3、U空间的可靠指标因为为极限状态超曲面上的点，则

超切平面方程化简为2012结构可靠度计算13极限状态超曲面2012结构可靠度计算53验算点切线极限状态曲线可靠指标的几何意义U空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P*(u1*,u2*,····,un*)即为验算点。2012结构可靠度计算14验算点切线极限状态曲线可靠指标的几2012结构可靠度计算54令是的方向余弦X空间的方向余弦式3-12012结构可靠度计算15令是的方向余弦X2012结构可靠度计算55因为4、X空间的验算点所以运用迭代法按式3-1、3-2和3-3求解可靠指标。式3-2式3-32012结构可靠度计算16因为4、X空间的验算点所以运用迭2012结构可靠度计算56三、当量正态化非正态分布概率密度函数当量正态分布概率密度函数2012结构可靠度计算17三、当量正态化非正态分布概率密度函2012结构可靠度计算571、当量正态化条件……………(3-4)……………(3-5)2012结构可靠度计算181、当量正态化条件…………2012结构可靠度计算58……………(3-6)……………(3-7)2、对数正态分布当量正态化2012结构可靠度计算19……………(3-6)…2012结构可靠度计算591、均匀分布常见概率分布类型2012结构可靠度计算201、均匀分布常见概率分布类型2012结构可靠度计算602、正态分布2012结构可靠度计算212、正态分布2012结构可靠度计算613、标准正态分布2012结构可靠度计算223、标准正态分布2012结构可靠度计算624、对数正态分布2012结构可靠度计算234、对数正态分布2012结构可靠度计算632012结构可靠度计算242012结构可靠度计算64for5、伽马分布2012结构可靠度计算25for5、伽马分布2012结构可靠度计算656、极值Ⅰ型分布2012结构可靠度计算266、极值Ⅰ型分布2012结构可靠度计算66forfor7、极值Ⅱ型分布2012结构可靠度计算27forfor7、极值Ⅱ型分2012结构可靠度计算67for8、极值Ⅲ型分布2012结构可靠度计算28for8、极值Ⅲ型分布2012结构可靠度计算68for9、极值Ⅲ型分布（威布尔分布）2012结构可靠度计算29for9、极值Ⅲ型分布（威布尔2012结构可靠度计算69对于非正态随机变量，以公式(3-4)和(3-5)或(3-6)和(3-7)求得的Xi′和Xi′分别代替Xi和Xi后，所有的随机变量现在都变成了正态分布随机变量，所以前述正态分布基本变量情况下求和设计验算点P*的公式和方法也就均可应用了。2012结构可靠度计算30对于非正态随机变量，以公式(3-42012结构可靠度计算70四、验算点法计算步骤对于结构极限状态函数中包含多个正态或非正态基本变量，只要知道其概率分布类型及统计参数，就可采用迭代法计算和验算点P*的坐标值。2012结构可靠度计算31四、验算点法计算步骤对于结构极限状2012结构可靠度计算71已知:Xi(i=1,…，n)的分布类型及统计参数Xi,σXi，极限状态方程g(X1,…,Xn)=0假定验算点P*的坐标值初值对于非正态变量Xi，根据公式(4),(5)或(6),(7)进行当量正态化，计算以代替2012结构可靠度计算32已知:Xi(i=1,…，n)的分布2012结构可靠度计算72将设计验算点P*的坐标Xi*代入极限状态方程以求出计算Xi*并取代上一次验算点坐标，返回进行下一轮迭代本次求得的和Xi*即为所求的可靠指标和设计验算点P*的坐标值是否|上次求出的－上次求出的|≤允许误差2012结构可靠度计算33将设计验算点P*的坐标Xi*代入极2012结构可靠度计算73习题3-2承受恒载和楼面活荷载的钢筋混凝土轴心受压短柱，已知恒载产生的轴向力NG为正态分布，活载产生的轴向力NL为极值Ⅰ型分布，截面承载能力（抗力）R为对数正态分布，统计参数分别为NG＝1159.1kN，NG＝81.1kN，NL＝765.5kN，NL＝222kN，R＝456