高等数学一课程考试大纲

高等数学一课程考试大纲课程名称：高等数学Ⅰ((一)/(二))（AdvancedMathematics）课程编码：F0001/F0002课程类型：学科(专业)基础课程总学时：176学时学分数：11学分适用专业：工学类各专业一、考试目的：《高等数学Ⅰ》课程是高等学校工学类各专业学生必修的一门重要的基础理论课，在理工科学生的人才培养过程中起着重要作用，对学生进行课程考核是非常必要的。通过本课程的考试，可了解学生是否掌握向量代数与空间解析几何、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程、无穷级数等方面的基本概念、基本理论与基本方法；检验学生在数学运算能力、抽象思维与逻辑推理能力、运用数学思想和方法分析和解决实际问题的能力等方面的提升情况。考试以闭卷、笔试的方式进行。试题覆盖面广，类型多变，难度适中，可选用教材中例题、习题或由教材原题稍加改编而成。二、考试内容和基本要求：第一章函数与极限考核内容：函数的概念及其表示，分段函数，函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性，反函数与复合函数，基本初等函数及其图形，初等函数，简单应用问题，函数关系的建立；数列极限与函数极限定义及其性质，函数的左、右极限；极限运算法则；极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则，两个重要极限；无穷大量和无穷小量，无穷小量阶的比较；函数连续性的概念，函数的间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。考核要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示法。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念。4.掌握基本初等函数及其图形，理解初等函数的概念。5.了解恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量、无穷小量与函数极限的定义。6.理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系，掌握极限的性质。7.掌握极限的运算法则。8.了解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。9.掌握无穷小量的比较方法以及用等价无穷小求极限的方法。10.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，掌握判别函数间断点类型的方法。11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。第二章导数与微分考核内容：导数与微分的概念，导数的几何意义与物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线方程；基本初等函数的导数，导数与微分的四则运算，反函数与复合函数的求导法则；隐函数及参数方程所确定的函数的微分法；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数公式；一阶微分形式不变性，微分在近似计算中的应用。考核要求：1.理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义，掌握求平面曲线的切线方程和法线方程的方法，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握微分的四则运算法则，理解一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。3.了解高阶导数的概念，掌握求某些简单函数的n阶导数的方法。4.掌握分段函数的求导方法，了解反函数的导数，掌握抽象函数的求导方法。5.掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。第三章微分中值定理与导数的应用考核内容：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理；洛必达法则；函数的单调性的判定，函数的极值及其求法，函数的最大值、最小值的求法及其简单应用；函数图形凹凸性的判别，函数图形的拐点及其求法，水平与铅直渐近线，函数图形的描绘；弧微分的概念与计算，曲率的概念及其计算，曲率半径。考核要求：1.理解并掌握用罗尔定理、拉格朗日中值定理证明的方法，了解柯西中值定理及泰勒中值定理。2.掌握用洛必达法则求未定式的值的方法。3.理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。4.掌握用二阶导数判断函数图形的凹凸性以及求拐点的方法，了解函数图形的水平、铅直渐近线，了解函数图形的描绘。5.掌握弧微分的概念，了解曲率和曲率半径。第四章不定积分考核内容：原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；不定积分的换元法和分部积分法；有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。考核要求：1.理解原函数、不定积分的概念。2.掌握不定积分的性质，掌握基本积分公式。3.掌握不定积分的换元积分法，掌握不定积分的分部积分法。4.掌握有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。第五章定积分及其应用考核内容：定积分的概念和性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿－莱布尼兹公式；定积分的换元法和分部积分法；反常积分的概念及计算；定积分近似计算；定积分的元素法，定积分在几何上的应用(平面图形的面积、旋转体体积及侧面积、平面曲线的弧长)，定积分在物理上的应用(质量、变力做功、液体侧压力、转动惯量、引力)。考核要求：1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质，掌握定积分中值定理。2.理解积分上限的函数，掌握其求导方法，掌握牛顿－莱布尼兹公式。3.掌握定积分的换元法，掌握定积分的分部积分法。4.了解反常积分的概念，了解反常积分的计算方法。5.了解定积分的近似计算。6.掌握定积分的元素法，掌握用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长的方法。7.了解用定积分计算一些物理量：质量、变力做功、液体侧压力、转动惯量、引力等的方法。

第六章常微分方程考核内容：常微分方程的概念，微分方程的解，通解，初始条件和特解；可分离变量的微分方程；一阶线性微分方程；齐次方程，伯努利方程，利用变量代换解一阶微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构；常系数齐次线性微分方程；二阶常系数非齐次线性微分方程。考核要求：1.了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。2.掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法，了解齐次方程、伯努利方程，了解用简单的变量代换解一阶微分方程的方法。3.掌握用降阶法解几种特殊的高阶微分方程：、和。4.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。6.掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。7.了解用微分方程解一些简单的几何和物理问题。第七章向量代数与空间解析几何考核内容：向量的概念、向量的线性运算、向量的坐标表示，向量的模，方向角与方向余弦；数量积与向量积的概念及计算，两向量垂直和平行的充分必要条件，两向量的夹角；空间平面方程及其求法，平面与平面的位置关系，点到平面的距离；空间直线方程及其求法，直线与直线、平面与直线的位置关系，点到直线的距离；空间曲面及其方程，球面方程、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程、母线平行于坐标轴的柱面方程，常见的二次曲面方程及其图形；空间曲线及其方程(一般方程和参数方程)，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。考核要求：1.掌握空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积)，掌握两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。3.掌握单位向量、向量的坐标表达式、向量的模及方向余弦，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4.掌握平面方程和直线方程及其求法，掌握用点、直线、平面的相互关系解决相关问题的方法。5.理解曲面的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程的求法。6.了解空间曲线的参数方程及一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影，并会求其方程。第八章多元函数微分学及其应用考核内容多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质；偏导数、全微分的概念，高阶偏导数；全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用；多元复合函数的微分法；隐函数的微分法；空间曲线的切线和法平面，空间曲面的切平面和法线；方向导数和梯度的概念、计算及相互关系；二元函数取得极值的必要条件和充分条件，求函数的条件极值的拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。考核要求：1.理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。2.理解多元函数的偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件以及全微分在近似计算中的应用。3.掌握求多元函数的偏导数及全微分的方法，掌握求高阶偏导数的方法。4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，掌握多元复合函数全微分的求法，掌握全微分形式不变性。5.会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数和二阶偏导数。6.理解曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念，掌握它们的方程的求法。7.理解方向导数和梯度的概念及相互关系，掌握其计算方法。8.理解多元函数极值和条件极值的概念，理解多元函数极值存在的必要条件和充分条件，掌握求二元函数的极值的方法，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值，了解求简单函数的最大值和最小值的方法，了解在简单的实际问题中求最值的方法。第九章重积分考核内容：二重积分、三重积分的概念和性质，重积分的中值定理；在直角坐标系或极坐标系中二重积分的计算；在直角坐标系、柱面坐标系或球面坐标系中三重积分的计算；重积分的元素法，重积分在几何和物理上的简单应用。考核要求：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分中值定理。2.掌握二重积分在直角坐标系、极坐标系中的计算方法。3.掌握三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系中的计算方法。4.掌握重积分的元素法，掌握用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、空间立体的体积、曲面面积等）的方法，了解用重积分来表达一些物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）的方法。第十章曲线积分与曲面积分考核内容：两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的联系；格林公式及其应用，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数；两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的联系；高斯公式、斯托克斯公式；曲线积分与曲面积分的应用；场论初步(包括散度、旋度、通量、环流量)。考核要求：1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的联系。2.掌握两类曲线积分的计算方法。3.掌握格林公式，掌握利用平面曲线积分与路径无关的条件求曲线积分的方法，掌握求全微分的原函数的方法。4.理解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的联系。5.掌握两类曲面积分的计算方法，理解高斯公式，了解斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法。6.了解用曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量的方法，如弧长，曲面面积、功、流量、质量、质心、转动惯量和引力等。7.了解散度、旋度、通量及环流量的概念和计算。第十一章无穷级数考核内容：常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数收敛的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p-级数；正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法；函数可开展为泰勒级数的充分必要条件，几个常见函数如、、、、的麦克劳林级数展开式，利用间接法将一些简单函数展开为幂级数，幂级数在近似计算中的应用；函数的傅里叶系数与傅里叶级数，狄利克雷定理，周期为的周期函数的傅里叶级数展开式，函数在上的傅里叶级数、函数在上的正弦级数和余弦级数。考核要求：1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，理解无穷级数的基本性质及级数收敛的必要条件。2.掌握几何级数与p-级数的敛散性的条件。3.掌握正项级数的比较判别法、比值判别法，了解根值判别法。4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5.理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。6.了解函数项级数收敛域及和函数的概念。7.掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，理解幂级数在收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)，理解幂级数的和函数的求法。8.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。9.掌握、、、、的麦克劳林级数展开式，掌握用它们将一些简单函数间接展开为幂级数的方法。10.了解幂级数在近似计算上的简单应用。11.理解傅里叶级数的概念及函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，掌握将周期为的周期函数展开为傅里叶级数的方法，掌握将定义在上的函数展开为傅里叶级数的方法，掌握将定义在上的函数展开为正弦级数或余弦级数的方法，并写出傅里叶级数的和函数的表达式，了解周期为2l的函数的傅里叶级数。三、考试方式：笔试，闭卷。四、考试时间：120分钟。五、试卷结构（一）试卷总分数：100分（二）试卷题数：1.大题题数：7～9题2.小题总题数：20～25题（三）试卷难易比例：1.容易题：25%2.较容易题：45%3.较难题：20%4.难题：10%（四）试卷内容层次比例：1.识记：25%2.领会：50%3.应用：25%（五）考试题型比例1.选择题：20%2.填空题20%3.判断题8%4.计算题44%5.证明题8%六、课程综合成绩记分办法：课程考试成绩占70%；平时成绩占30%（含上课出勤）。七、教