MXT-高中数学-平面向量基本定理及坐标表示

平面向量基本定理及坐标表示◆高考导航·顺风出发◆最新考纲常有题型1.认识平面向量基本定理及其意义．高考常考内容，多以选择题、2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．填空题形式出现，难度较小，3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．属简单题，占5分左右.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.[知识梳理]1．平面向量基本定理若是e12不共线向量，那么关于这一平面内的任意向量a，，e是同一平面内的两个有且只有一对实数λa＝λ1e1＋λ2e2.1，λ，使2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝22.11(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．→(x2－x1，y2－y1)→x2－x12＋y2－y12.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝，|AB|＝3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0.[知识感悟]1．向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．2．向量的坐标与点的坐标的关系向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量一一对应向量(x，y)→一一对应OA点A(x，y)．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标能够不相同，也不能够认为向量的坐标是终点的坐标，→如A(1,2)，B(3,4)，则AB(2,2)．[知识自测]1．设

e1，e2是平面内一组基底，那么

(

)A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间内任向来量a能够表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不用然在该平面内D．对平面内任向来量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对[答案]A2．(2016·国Ⅱ卷全)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m等于()A．－8C．6[剖析]a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b

B．－6D．8得(a＋b)·b＝(4，m－2)·，(3－2)＝12－2m＋40，m＝8.应选D.[答案]D→→→3．在?ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为______．[剖析]→→→→→→→→→→→∵AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．[答案](－3，－5)题型一平面向量基本定理的应用(基础保分题、自主练透)如图，在平行四边形ABCD中，M，→→→→N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.[解]→→法一：设AB＝a，AD＝b，→→＝d＋－1→→1a.则a＝AN＋NBb，b＝AM＋MD＝c＋－2211422将②代入①，得a＝d＋－2c＋－2a，∴a＝3d－3c＝3(2d－c)，③将③代入②，得b＝c＋－1×2(2d－c)＝2(2c－d)．233→2→2(2c－d)．∴AB＝3(2d－c)，AD＝3→→法二：设AB＝a，AD＝b.→1因M，N分别为CD，BC的中点，所以BN＝2b，12→1c＝b＋2a，a＝32d－c，DM＝2a，所以1?2d＝a＋2bb＝32c－d，→2→2(2c－d)．即AB＝3(2d－c)，AD＝3方法感悟平面向量基本定理解题思路1．先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再经过向量的运算来解决．2．在基底未给出的情况下，合理地采用基底会给解题带来方便．别的，要熟练运用平面几何的一些性质定理．【针对补偿】1．若是e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不能够作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e与e＋eB．e－2e与e＋2e1121212C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1[剖析]λ＝1，选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；1＝0，选项B中，设e1λ＝1，无解；212－2e＝λ(e＋2e)，则－2＝2λ，λ＝1，选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；1＝－λ，选项D中，e1＋3e2＝1(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．2[答案]D2．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线→→→)与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于(1111A.4a＋2bB.2a＋4b2112C.3a＋3bD.3a＋3b→→→→→＝1→＋1→＝11[剖析]∵AC＝a，BD＝b，∴AD＝AO＋OD2AC2BD2a＋2b.∵E是

OD

的中点，∴

DE11EB＝3，∴DF＝3AB.1→1→→DF＝3AB＝3(OB－OA)＝1×－1→1→－－AC32BD21→1→116AC－6BD＝6a－6b，→→→1111∴AF＝AD＋DF＝2a＋2b＋6a－6b21＝a＋b，应选C.33[答案]C题型二平面向量的坐标表示(重点保分题，共同研究)(1)(2018·广东六校联考)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)[剖析]由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以23＋x＝0，解得12＋y＝0，x＝－23，y＝－12，所以c＝(－23，－12)．[答案]A(2)(2018北·京东城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的地址以下列图，若c＝λa＋μb(λ，λμ∈R)，则＝______.μ[剖析]以向量a和b的交点为原点建立以下列图的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，→→→∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，－λ＋6μ＝－1，解得λ＝－2，μ＝－1，∴λ即2＝4.λ＋2μ＝－3，μ[答案]4方法感悟平面向量坐标运算的技巧向量的坐标运算主若是利用向量加、减、数乘运算的法规来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，经过列方程

(组)来进行求解．【针对补偿】3．设向量

a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量

4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量

d＝(

)A．(2,6)

B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)[剖析]设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．[答案]D4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()1313A．－2a＋2bB.2a－2b3131C.2a－2bD．－2a＋2b[剖析]设c＝λa＋λb，则(－1,2)＝λ(1,1)＋λ(1，－1)＝(λ＋λ，λ－λ)，∴λ＋λ＝1212121212－1，λ1211，λ23，所以c＝13－λ＝2，解得λ＝2＝－22a－2b.[答案]B题型三平面向量共线的坐标表示(高频考点题，多角打破)考向一利用向量共线求点的坐标1．(2018·淀模拟海)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点．若→AB∥a，则点B的坐标为______．[剖析]→＝(x－3,2x)．设B(x,2x)，AB→∵AB∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6).[答案](－3，－6)．2．已知平行四边形的三个极点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个极点D的坐标是______．[剖析]设极点D(x，y)．若平行四边形为→ABCD，则由AB＝(1,5)，→－3－x,4－y)，得－3－x＝1，x＝－4DC＝(4－y＝5，所以y＝－1；若平行四边形为→ACBD，则由AC＝(－7,2)，→5－x＝－7DB＝(5－x,7－y)，得所以{x＝12，y＝5；7－y＝2，→若平行四边形为ABDC，则由AB＝(1,5)，→x＋3＝1，x＝－2，CD＝(x＋3，y－4)，得所以y＝9.y－4＝5，综上所述，第四个极点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．[答案](－4，－1)或(12,5)或(－2,9)考向二利用向量共线求参数13．(2018郑·州月考)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝2，1＋sinθ，若a∥b，则锐角θ＝______.1[剖析]由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝2，所以cos2θ＝1，∴cosθ＝2或cosθ＝－2，222又θ为锐角，∴θ＝45°.[答案]45°4．(2018

·郸一模邯

)已知向量

ma＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则n等于(

)A．2

B．－21

1C．－2

D.2[剖析]

由题意得

ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，由于(ma＋nb)∥(a－2b)，1所以－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，所以n＝－2.[答案]C考向三利用向量共线解决三点共线问题→→→，b>0，O为坐标原点，若A，B，C5．设OA＝(－2,4)，OB＝(－a,2)，OC＝(b,0)，a>011三点共线，则a＋b的最小值为______．[剖析]→→由已知得AB＝(－a＋2，－2)，AC＝(b＋2，－4)，→→又AB∥AC，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，－a＋2＝λb＋2，2a＋b＝2，即整理得－2＝－4λ，11111＝13＋2a＋b≥13＋22ab＝3＋22(当且仅当b＝2a所以＋＝(2a＋b)＋·2ab2ab2ba2ba时，等号建立)．[答案]3＋222→→→→→6．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，若是3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，可否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明原由．→→[解]由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数→→k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.由于a，b不共线，所以有t－3＋3k＝0，t－2k＝0，解之得t＝6.5故存在实数t＝6使C，D，E三点在一条直线上．5方法感悟(1)利用两向量共线求参数．若是已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，是a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，尔后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可获取所求的向量．【针对补偿】22m，m＋sinα，5．(2018江·西省鹰潭一中期中)设两个向量α)和b＝a＝(λ＋2，λ2λ其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则m的取值范围是()A．[－1,6]B．[－6,1]C.－∞，20D．[4,8]9[剖析]∵a＝2b，∴λ＋2＝2m，①2－cos2λα＝m＋2sinα.②∴λ＝2m－2代入②得，4m2－9m＋4＝cos2α＋2sinα1－sin2α＋2sinα＝2－(sinα－1)2∵－1≤sinα≤1，∴0≤(sinα－1)2≤4，－4≤－(sinα－1)2≤0，∴－2≤2－(sinα－1)2≤2∴－2≤4m2－9m＋4≤2.分别解4m2－9m＋4≥－2，与4m2－9m＋4≤2得，14≤m≤2.11λ2m－22∴2≤m≤4，∴m＝m＝2－m，2∴－6≤2－m≤1，λ∴m的取值范围是[－6,1][答案]B6．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为______．[剖析]方法一：由O，P，B三点共线，→→→可设OP＝λOB＝λOB＝(4λ，4λ)，→→→则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．→→→又AC＝OC－OA＝(－2,6)，→→由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，3→3→，解得λ＝，所以OP＝OB＝(3,3)44所以点P的坐标为(3,3)．→方法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，→→→由于OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以x＝y，即x＝y.44→→－2,6)→→又AP＝(x－4，y)，AC＝(，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．[答案](3,3)◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二十四)[A基础牢固练]→→→1．如图，在平行四边形＝a，AD＝b，则BE等于()ABCD中，E为DC边的中点，且AB11A．b－2aB．b＋2a11C．a＋2bD．a－2b→→→→11[剖析]BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋2a＝b－2a.[答案]A→2．(2018昆·明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)[剖析]→MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，→设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，x－5＝－3，x＝2，所以即选A.y＋6＝6，y＝0，[答案]A→→，点Q是AC的中点，若→→3．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PCPA＝(4,3)，PQ＝→)(1,5)，则BC等于(A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)[剖析]→→→→→→＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA[答案]B4．(2018广·东六校联考)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点→C在∠AOB内，|OC|＝2π→→→2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为()41A．1B.31D.2C.23[剖析]过C作CE⊥x轴于点E.π由∠AOC＝4，知|OE|＝|CE|＝2，→→→→→所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，→→＝λ(－3,0)，故λ＝2.即OE＝λOA，所以(－2,0)3[答案]D15．(2018江·苏五市联考)已知向量a＝8，2x，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为()A．4B．8C．0D．2[剖析]1x－2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显a－2b＝8－2x，2然2a＋b≠0，故有8－2x，1x－2＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，28－2x＝λ16＋x，∴1?x＝4(x>0)．2x－2＝λx＋1[答案]A6．(2018抚·顺二模)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，5，则c可用向量a，b表示2为()11A.2a＋bB．－2a－b3131C.2a＋2bD.2a－2b[剖析]设c＝xa＋yb，则0，5＝(2x－y，x＋2y)，22x－y＝0x＝1所以5，解得2，，则c＝1a＋b.x＋2y＝2y＝12[答案]A7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边→→→CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝______.→→→→→→1→→→[剖析]选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝2AB＋AD，AF＝1→1→→→→1→1→2λ＋μ＝1，AB＋2AD，又AC＝λAE＋μAF＝2λ＋μAB＋λ＋2μAD，于是得1即λ＋2μ＝1，2λ＝3，故λ＋μ＝4.23μ＝3，[答案]438．已知向量→→→，若A，B，C三点能构OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)成三角形，则实数k应满足的条件是______．[剖析]若点A，B，C能构成三角形，则向量→→AB，AC不共线．→→→∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，→→→AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.[答案]k≠19．以下列图，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O→→→外的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是______．→→→|OC|[剖析]由题意得，OC＝kOD(k＜0)，又|k|＝→＜1，∴－1＜k＜0.|OD|→→→又∵B，A，D三点共线，∴OD＝λOA＋(1－λ)OB，→→→→∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．[答案](－1,0)[B能力提升练]→→→→→→→1．非零不共线向量OA、OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λABQ(x，y)(λ∈R)，则点的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0[剖析]→→→→→→→→→→→PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB，又2OP＝xOA＋→yOB，x＝2＋2λ，∴消去λ得x＋y＝2，应选A.y＝－2λ，[答案]A2．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足→1→AD＝(AB＋4→→→1→)AC)，AP＝AD＋BC，则△APD的面积为(83B.3A.42C.3D．23[剖析]→1→取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE＝2(AB→→1→→→1→＋AC)，又AD＝4(AB＋AC)，所以点D是AE的中点，AD＝3.取AF＝8BC，以AD，AF为→→1→→→1邻边作平行四边形，可知AP＝AD＋8BC＝AD＋AF.而△APD是直角三角形，AF＝2，所以△APD的面积为113＝32×2×4.[答案]A3.给定两个长度为→→2π1的平面向量OA和OB，它们的夹角为3.以下列图，点C在以O为圆心的圆弧→→→AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为______．[剖析]→x轴建立平面直角坐标系，以下列图，以O为坐标原点，OA所在的直线为则A(1,0)，B－12，23，设∠AOC＝αα∈0，2π，3则C(cosα，sinα)，1→→→cosα＝x－2y，由OC＝xOA＋yOB，得3sinα＝2y，所以x＝cosα＋3233sinα，y＝3sinα，π所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋6，2π又α∈0，3，π所以当α＝3时，x＋y获取最大值2.[答案]24．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，→→→→11且P，G，Q三点共线．设OP＝xOA，OQ＝yOB，则x＋y＝______.→→[剖析]∵点P，G，Q在一条直线上，∴PG＝λPQ.→→→→→→→→∴OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝