福建省2016届高三4月质量检查 数学文

·PAGE16·准考证号：姓名：（在此试卷上答题无效）保密★启用前2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；3.请将全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效；4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。第Ⅰ卷（选择题）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则A.1B.2C.D.集合，则A.B.C.D.3.已知，则的值等于A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入n的值为4，则输出的S的值为A.15B.6C.-10D.-21某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表：广告费用x(万元)2356销售利润y(万元)57911由表中数据，得线性回归方程，则下列结论错误的是A.B.C.直线过点(4,8)D.直线过点(2,5)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7.在ABC中，为AB中点，BCD的面积为，则AC等于A.B.C.D.函数，则是A.奇函数，且在上单调递减B.奇函数，且在上单调递增C.偶函数，且在上单调递减D.偶函数，且在上单调递增在空间直角坐标系O-xyz中，A(0,0,2)，B(0,2,0)，C(2,2,2)，则三棱锥O-ABC外接球的表面积为A.B.C.D.10.若x,y满足约束条件则的最小值为A.B.C.5D.911.已知过双曲线的焦点的直线与C交于A,B两点，且使，的直线恰好有3条，则C的渐近线方程为A.B.C.D.已知函数，若与的图像上分别存在点M，N，使得M,N关于直线对称，则实数k的取值范围是A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数，则.14.已知向量的夹角为，则.15.椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点满足，则的离心率为.16.已知是函数的图像上的一个最高点，B，C是图像上相邻的两个对称中心，且的面积为，若存在常数M(M>0)，使得，则该函数的解析式是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等比数列的前n项为和，且(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n项和.（本小题满分12分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.(Ⅰ)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(Ⅱ)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：(ⅰ)能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？(ⅱ)如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，多面体中，四边形ABCD为菱形，且.(Ⅰ)求证：(Ⅱ)若求三棱锥的体积.20.（本小题满分12分）已知点，直线与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设C与x轴交于E，F两点，P是直线上一点，且点P不在C上，直线PE,PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线.22.（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线平行于x轴.(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)证明：时，.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，的两条中线AD和BE相交于点G，且D,C,E,G四点共圆.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若GC=1，求AB.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求C的普通方程和直线的倾斜角；(Ⅱ)设点P(0，2)，和C交于A,B两点，求.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)求使不等式的解集M；(Ⅱ)设，证明：.2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）C（2）D（3）A（4）C（5）D（6）A（7）B（8）D（9）C（10）B（11）A（12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）（14）（15）（16）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）设的公比为，依题意，得 3分解得 5分所以． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，① 7分所以，② 8分①－②得， 10分． 11分所以． 12分18．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55（分钟）． 2分使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：（分钟）． 6分（Ⅱ）（ⅰ）使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. 8分故可认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%. 9分（ⅱ）使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：，所以选B款订餐软件． 12分注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分。如以下回答也符合要求。根据样本估计总体的思想可知，使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”在30分钟内的概率为0.4，使用B款订餐软件的商家的“平均送达时间”在30分钟内的概率为0.24，所以可选A款订餐软件．19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）如图，取中点，连结．∵，∴．……1分∵四边形为菱形，∴，又，∴△为等边三角形，∴，∴． 3分∵，，，∴， 5分∵，∴． 6分（Ⅱ）在中，，，∴，∵为等边三角形，∴,∴． 7分又，∴，∴， 8分∵，,,∴平面． 9分又， 10分∴．又∵∥，∴ 11分． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． 6分（Ⅱ）在△中，，，∴，∵为等边三角形，∴，∴． 7分又，∴，∴， 8分所以． 9分又，∥，,∴ 10分． 12分20.本小题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．解法一：（Ⅰ）设点，依题意，， 3分化简得，即曲线的方程为. 5分O（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的方程为，O令得，不妨设．设，则直线的方程为，由得， 6分所以，即，． 8分直线的方程为，由得， 9分O所以，即，． 11分O所以，，所以，所以三点共线． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的方程为，令得，不妨设．设，则直线的方程为，由消去得， 6分所以，． 8分直线的方程为，由得， 9分所以，． 11分以下同解法一．解法三：（Ⅰ）同解法一．O（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线的方程为，O令得，不妨设．设，当时，，此时三点共线．当时，则直线的方程为，由消去得， 6分所以． 7分直线的方程为，由消去得， 8分所以． 9分， 11分因为，，所以．所以，所以三点共线． 12分21．本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为，， 2分依题意得，即，解得． 3分所以，显然在单调递增且，故当时，；当时，．所以的递减区间为，递增区间为． 5分（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知，当时，取得最小值．又的最大值为，故． 7分②当时，设，所以， 8分令，，则，当时，,，所以，…………….9分当时，，，所以，……….……………….10分所以当时，，故在上单调递增，又，所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以，即． 11分综上，当时，． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．(Ⅱ)设．当时，， 6分①当时，，所以， 7分所以在上单调递减，所以，即． 8分②当时，令则，所以在上单调递增， 9分即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即．故当时，恒成立． 10分当时，因为，所以， 11分由（1）知，，所以．综合（1）（2），当时，． 12分解法三：（Ⅰ）同解法一． 5分(Ⅱ)设，则，令,得， 6分当时，，当时，；所以在上单调递减，在上单调递增， 8分所以， 9分所以，所以，即． 10分因为，，所以． 12分 请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结，因为四点共圆，则． 2分又因为为△的两条中线，所以分别是的中点，故∥． 3分所以， 4分从而． 5分（Ⅱ）因为为与的交点，故为△的重心，延长交于，则为的中点，且． 6分在△与△中，因为，，所以△∽△， 7分所以，即． 9分因为，，，所以，即，又，所以． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一． 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，因为四点共圆，所以， 6分所以∽，所以， 7分由割线定理，， 9分又因为是的中线，所以是的重心，所以,又，所以，所以，所以，因为，所以． 10分（23）选修；坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，即的普通方程为． 2分由，得，（＊） 3分将代入（＊），化简得， 4分所以直线的倾斜角为． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数）， 7分代入并化简，得． 8分．设两点对应的参数分别为，则，所以 9分所以． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一. 5分（Ⅱ）直线的普通方程为.由消去得， 7分于是.设，则，所以. 8分故. 10分（24）选修：不等式选讲本小题考查