离散数学-第八章函数讲义课件

8.1函数的定义与性质定义8.1

设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的

y∈ranF使xFy成立，则称F为函数。函数也可以称作映射。函数是一种特殊的二元关系对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，

并称y为F在x的值。单值性8.1函数的定义与性质定义8.1设F为二元关系，若x例8.1

设F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}

F2={<x1,y1>,<x1,y2>}

判断它们是否为函数。解：F1是函数，F2不是函数。因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2，

与函数定义矛盾。F是函数（映射）对于x1，x2∈A，如果x1=x2，一定有f(x1)＝f(x2)。即，如果对于x1，x2∈A有f(x1)≠f(x2)，则一定有x1≠x2例8.1设F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等

定义8.2

设F，G为函数，则由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：1．domF=domG2．x∈domF=domG都有F(x)=G(x)F=GFG∧GF

函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等定义8.2设F例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的，因为domF={x|x∈R∧x≠-1}而domG=R。domF≠domG。

定义8.3

设A，B为集合，

如果f为函数，且domf=A，ranfB，

则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。例如f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数，

g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数。

例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-定义8.4

所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上

A”。符号化表示为BA={f|f：A→B}

例8.2

设A={1,2,3}，B={a,b}，求BA。解：BA={f0,f1,…,f7}，其中

f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}

f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}

f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}

f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}

f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上例由排列组合的知识不难证明：若|A|=m，|B|=n，且m,n>0,则|BA|=nm。当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：|A|=3，|B|=2，而|BA|=23=81.A=

且B=

，则BA=={}。3.A≠且B=

，则BA=

A=

。2.A=

且B≠

，则BA=B

={}。由排列组合的知识不难证明：当A或B中至少有一个集合是空集时，定义8.5

设函数f：A→B，A1

A，B1

B。

(1)令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。

(2)令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f

下的完全原像。注意区别:函数的值和像两个不同的概念。

函数值f(x)∈B，而像f(A1)

BA1

与

f-1(f(A1))的关系？f(A1)

B

一般说来f-1(f(A1))≠A1，但是A1

f-1(f(A1))

f-1(B1)A

定义8.5设函数f：A→B，A1A，B1

B。

(令A={0,1}，B={2}，求f(A)和f-1(B)f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}

f-1(B)=f-1({2})={1,4}例如函数f：{1,2,3}→{0,1}，满足f(1)=f(2)=0,f(3)=1

令A1={1}，那么有f-1(f(A1))=f-1(f({1}))=f-1({0})={1,2}

这时A1

f-1(f(A1))。

例8.3

设f：N→N,且若x为偶数若x为奇数令A={0,1}，B={2}，求f(A)和f-1(B)f函数的性质

定义8.6

设f：A→B，

(1)若ranf=B，则称f：A→B是满射的。

(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y，则称f：A→B是单射的。

(3)若f：A→B既是满射又是单射的，则称f：A→B是双射的(或一一映像)。f：A→B是满射的：对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。f：A→B是单射的：对于x1，x2∈A，x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。即，如果对于x1，x2∈A有f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2函数的性质定义8.6设f：A→B，

(1)若ranf=例8.4

判断下面函数是否为单射，满射，双射的，

为什么?(1)f：R→R，f(x)=-x2+2x-1

(2)f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集

(3)f：R→Z，f(x)=x

是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。f：Z+→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…}

R。是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，

(4)f：R→R，f(x)=2x+1满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R(5)f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。

当x→0时，f(x)→+∞；而当x→+∞时，f(x)→+∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射的也不是满射的。

(4)f：R→R，f(x)=2x+1满射，单射，双射的，因例8.5

对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：A→B。如果是，说明f：A→B是否为单射，满射，双射的，并根据要求进行计算。A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是满射的。不能构成函数f：A→B,因为<1,7>∈f且<1,9>∈f，与函数定义矛盾。(2)A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}例8.5对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：(3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}不能构成函数f：A→B，因为domf={1,2,3,4}≠A。(4)A=B=R,f(x)=x3(x∈R)能构成函数f：A→B，且是双射的。能构成函数f：A→B，但不是单射的，也不是满射的，因为该函数在x=1处取得极大值f(1)=0.5。函数不是单调的，且ranf≠R+.(3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,(6)A=B=R×R,f(<x,y>)=<x+y,x-y>

L={y|y∈R∧y=x+1},计算f(L).能构成函数f：A→B，且f：A→B是双射的.f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=R×{-1}(7)A=N×N,B=N,f(<x,y>)=|x2-y2|

计算f(N×{0}),f-1({0}).能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是满射的。因为f(<1,1>)=f(<2,2>)=0,且2ranf.

f(N×

{0})={n2|n∈N},f-1({0})={<n,n>|n∈N}.(6)A=B=R×R,f(<x,y>)=<x+y

设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双射函数f：A→B的条件。单射：m≤n满射：m≥n双射：m＝n设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双例8.6

对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B。

(1)A=P({1,2,3})，B={0,1}{1,2,3}解(1)A={

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。

B={f0,f1,…,f7}，其中

f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}，f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},

f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}，f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},

f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}，f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},

f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}，f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}。令f：A→B，使得f()=f0，f({1})=f1，f({2})=f2，f({3})=f3，f({1,2})=f4，f({1,3})=f5，f({2,3})=f6，f({1,2,3})=f7例8.6对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B。

(2)A=[0,1]，B=[1/4,1/2]

令f：[0,1]→[1/4,1/2]，f(x)=(x+1)/4.(3)A=Z，B=N将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：

Z：0-11-22-33…

↓↓↓↓↓↓↓

N：0123456…

则这种对应所表示的函数是：

f：Z→N(2)A=[0,1]，B=[1/4,1/2]

令f：[0,(4)A=[π/2,3π/2]，B=[-1,1]f(x)=sinx(4)A=[π/2,3π/2]，B=[-1,1]f(x)=8.2函数的复合与反函数一．函数的复合

函数是一种特殊的二元关系，函数的复合就是关系的右复合。一切和关系右复合有关的定理都是用于函数的复合。

下面着重考虑函数在复合中特有的性质。定理8.1

设F，G是函数，则F

G也是函数，且满足

（1）dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}

（2）

x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))

8.2函数的复合与反函数一．函数的复合函数是一种证:

因为F，G是关系，所以FG也是关系。若对某个x∈dom(FG)，有xF

Gy1和xF

Gy2，则<x，y1>∈F

G∧<x，y2>∈F

G

t1(<x,t1>∈F∧<t1,y1>∈G)∧

t2(<x,t2>∈F∧<t2,y2>∈G)

t1

t2(t1=t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G

(F为函数)y1=y2（G为函数）所以F

G为函数。证:因为F，G是关系，所以FG也是关系。若对某个x∈d任取x，x∈dom(F

G)ty(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)t(x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG)x∈{x|x∈domF∧F(x)∈domG}任取x，x∈domF∧F(x)∈domG<x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G<x,G(F(x))>∈F

G

x∈dom(FG)∧FG(x)＝G(F(x))所以（1）和（2）得证。任取x，x∈dom(F

G)ty(<x,t>∈F推论1

设F，G，H为函数，则（F

G）H和F(GH)都是函数，且(F

G)H=F(GH)推论2

设f：A→B，g：B→C，则f

g：A→C，且

x∈A都有f

g(x)=g(f(x))。证:

由定理8.1可知fg是函数，且dom(fg)={x|x∈domf∧f(x)∈domg}={x|x∈A∧f(x)∈B}=Aran(fg)

rang

C因此由f

g：A→C，且x∈A有fg(x)=g(f(x))。推论1设F，G，H为函数，则（F

G）H和(F

定理8.2

设f：A→B，g：B→C.

（1）如果设f：A→B，g：B→C都是满射的，则

f

g：A→C也是满射的。

（2）如果设f：A→B，g：B→C都是单射的，则

fg：A→C也是单射的。

（3）如果设f：A→B，g：B→C都是双射的，则

fg：A→C也是双射的。

定理8.2设f：A→B，g：B→C.

（1）如果设f：A证

:

（1）任取c∈C，因为g：B→C都是满射的,$b∈B

使得g(b)=c.对于这个b,由于f：A→B也是满射的，所以$a∈A使得f(a)=b.由定理8.1有

fg(a)=g(f(a))=g(b)=c

从而证明了f

g：A→C是满射的。证:

（1）任取c∈C，因为g：B→C都是满射的,$b(2)假设存在x1,x2∈A使得fg(x1)=fg(x2)

由定理8.1有

g(f(x1))=g(f(x2))

因为g：B→C是单射的，故

f(x1)=f(x2)

又由于f：A→B是单射的，所以

x1=x2

从而证明了f

g：A→C是单射的。（3）由（1）和（2）得证。(2)假设存在x1,x2∈A使得fg(x1)=f说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、双射的性质。该定理的逆命题成立吗？单射考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4},C={c1,c2,c3},令

f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>}

g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c3>,<b4,c3>}

不是单射f

g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c3>}

单射说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、该定理的逆命题成不是满射考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3},C={c1,c2},令f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>}

g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>}

满射f

g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}满射不是满射考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,定理8.3

设f：A→B,则有f=fIB=IA

f证：由定理8.1的推论2可知f

IB：A→B和

IAf：A→B任取<x,y>,

<x,y>∈fÞ<x,y>∈f∧y∈BÞ<x,y>∈f∧<y,y>∈IBÞ<x,y>∈fIB

<x,y>∈fIBÞ$t(<x,t>∈f∧<t,y>∈IB)Þ<x,t>∈f∧t=yÞ<x,y>∈f所以有f=fIB，同理可证IAf=f定理8.3设f：A→B,则有f=fIB=IA

f二．反函数任给函数F，它的逆F-1不一定是函数，只是一个二元关系。例如F={<x1,y1>,<x2,y1>}则有F-1={<y1,x1>,<y1,x2>}显然，F-1不是函数。因为对于y1∈domF-1有x1和x2两个值与之对应，破坏了函数的单值性。

任给单射函数f：A→B，则f-1是函数，且是从ranf到A的双射函数，但不一定是从B到A的双射函数。因为对于某些y∈B－ranf，f没有值与之对应。考虑函数的逆运算。domf-1=ranfB二．反函数任给函数F，它的逆F-1不一定是函数，只是一个

对于什么样的函数f：A→B，它的逆f-1是从B到A的函数f-1：B→A呢？定理8.4

设f：A→B是双射的，则f-1：B→A也是双射的。证:

先证明f-1是从B到A的函数f-1：B→A.因为f是函数，所以f-1是关系，且由定理7.1得domf-1=ranf=B

ranf-1=domf=A对于任意的x∈B=domf-1，假设有y1，y2∈A使得<x,y1>∈f-1∧<x,y2>∈f-1成立，则有逆的定义有

<y1,x>∈f∧<y2,x>∈f根据f的单射性可得y1=y2，从而证明了f-1是函数的。综上所述，f-1：B→A是满射的函数。对于什么样的函数f：A→B，它的逆f-1是从B到A的函数再证明f-1：B→A的单射性。若存在x1，x2∈B使得f-1(x1)=f-1(x2)=y，从而有对于双射函数f：A→B，称f-1：B→A是它的反函数。<x1,y>∈f-1∧<x2,y>∈f-1<y,x1>∈f∧<y,x2>∈f

x1=x2

（因为f是函数）再证明f-1：B→A的单射性。若存在x1，x2∈B使得f-1定理8.5

设f：A→B是双射的，则f-1

f=IB,ff-1=IA证:

由定理8.4可知f-1:B→A也是双射的，再由定理8.1的推论2可知f-1

f：B→B,f

f-1:A→A任取<x,y>,

<x,y>∈f-1

f$t(<x,t>∈f-1∧<t,y>∈f)x=y∧x,y∈B$t(<t,x>∈f∧<t,y>∈f)f是函数<x,y>∈IBf-1

f

IB定理8.5设f：A→B是双射的，则f-1

f=IB任取<x,y>,

<x,y>∈IB

x=y∧x,y∈B

$t(<t,x>∈f∧<t,y>∈f)x=y∈ranf

$t(<x,t>∈f-1∧<t,y>∈f)<x,y>∈f-1

f∴

IB

f-1f任取<x,y>,

<x,y>∈IBx=y∧x,y∈

例8.7

设f:R→R

g:R→R求f

g,g

f,如果f和g存在反函数，求出他们的反函数。解：

fg：R→R

例8.7设f:R→R

g:R→Rg

f：R→R

因为f:R→R不是双射的，不存在反函数。而g:R→R是双射的，他的反函数是

g-1:R→R,g-1(x)=x-2

g

f：R→R

因为f:R→R不人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，离散数学-第八章函数讲义课件8.1函数的定义与性质定义8.1

设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的

y∈ranF使xFy成立，则称F为函数。函数也可以称作映射。函数是一种特殊的二元关系对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，

并称y为F在x的值。单值性8.1函数的定义与性质定义8.1设F为二元关系，若x例8.1

设F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}

F2={<x1,y1>,<x1,y2>}

判断它们是否为函数。解：F1是函数，F2不是函数。因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2，

与函数定义矛盾。F是函数（映射）对于x1，x2∈A，如果x1=x2，一定有f(x1)＝f(x2)。即，如果对于x1，x2∈A有f(x1)≠f(x2)，则一定有x1≠x2例8.1设F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等

定义8.2

设F，G为函数，则由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：1．domF=domG2．x∈domF=domG都有F(x)=G(x)F=GFG∧GF

函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等定义8.2设F例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的，因为domF={x|x∈R∧x≠-1}而domG=R。domF≠domG。

定义8.3

设A，B为集合，

如果f为函数，且domf=A，ranfB，

则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。例如f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数，

g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数。

例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-定义8.4

所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上

A”。符号化表示为BA={f|f：A→B}

例8.2

设A={1,2,3}，B={a,b}，求BA。解：BA={f0,f1,…,f7}，其中

f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}

f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}

f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}

f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}

f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}

f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}

f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}定义8.4所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上例由排列组合的知识不难证明：若|A|=m，|B|=n，且m,n>0,则|BA|=nm。当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：|A|=3，|B|=2，而|BA|=23=81.A=

且B=

，则BA=={}。3.A≠且B=

，则BA=

A=

。2.A=

且B≠

，则BA=B

={}。由排列组合的知识不难证明：当A或B中至少有一个集合是空集时，定义8.5

设函数f：A→B，A1

A，B1

B。

(1)令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。

(2)令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f

下的完全原像。注意区别:函数的值和像两个不同的概念。

函数值f(x)∈B，而像f(A1)

BA1

与

f-1(f(A1))的关系？f(A1)

B

一般说来f-1(f(A1))≠A1，但是A1

f-1(f(A1))

f-1(B1)A

定义8.5设函数f：A→B，A1A，B1

B。

(令A={0,1}，B={2}，求f(A)和f-1(B)f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}

f-1(B)=f-1({2})={1,4}例如函数f：{1,2,3}→{0,1}，满足f(1)=f(2)=0,f(3)=1

令A1={1}，那么有f-1(f(A1))=f-1(f({1}))=f-1({0})={1,2}

这时A1

f-1(f(A1))。

例8.3

设f：N→N,且若x为偶数若x为奇数令A={0,1}，B={2}，求f(A)和f-1(B)f函数的性质

定义8.6

设f：A→B，

(1)若ranf=B，则称f：A→B是满射的。

(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y，则称f：A→B是单射的。

(3)若f：A→B既是满射又是单射的，则称f：A→B是双射的(或一一映像)。f：A→B是满射的：对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。f：A→B是单射的：对于x1，x2∈A，x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。即，如果对于x1，x2∈A有f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2函数的性质定义8.6设f：A→B，

(1)若ranf=例8.4

判断下面函数是否为单射，满射，双射的，

为什么?(1)f：R→R，f(x)=-x2+2x-1

(2)f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集

(3)f：R→Z，f(x)=x

是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。f：Z+→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…}

R。是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1例8.4判断下面函数是否为单射，满射，双射的，

(4)f：R→R，f(x)=2x+1满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R(5)f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。

当x→0时，f(x)→+∞；而当x→+∞时，f(x)→+∞。在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。所以该函数既不是单射的也不是满射的。

(4)f：R→R，f(x)=2x+1满射，单射，双射的，因例8.5

对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：A→B。如果是，说明f：A→B是否为单射，满射，双射的，并根据要求进行计算。A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是满射的。不能构成函数f：A→B,因为<1,7>∈f且<1,9>∈f，与函数定义矛盾。(2)A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}例8.5对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：(3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}不能构成函数f：A→B，因为domf={1,2,3,4}≠A。(4)A=B=R,f(x)=x3(x∈R)能构成函数f：A→B，且是双射的。能构成函数f：A→B，但不是单射的，也不是满射的，因为该函数在x=1处取得极大值f(1)=0.5。函数不是单调的，且ranf≠R+.(3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,(6)A=B=R×R,f(<x,y>)=<x+y,x-y>

L={y|y∈R∧y=x+1},计算f(L).能构成函数f：A→B，且f：A→B是双射的.f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=R×{-1}(7)A=N×N,B=N,f(<x,y>)=|x2-y2|

计算f(N×{0}),f-1({0}).能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是满射的。因为f(<1,1>)=f(<2,2>)=0,且2ranf.

f(N×

{0})={n2|n∈N},f-1({0})={<n,n>|n∈N}.(6)A=B=R×R,f(<x,y>)=<x+y

设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双射函数f：A→B的条件。单射：m≤n满射：m≥n双射：m＝n设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双例8.6

对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B。

(1)A=P({1,2,3})，B={0,1}{1,2,3}解(1)A={

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。

B={f0,f1,…,f7}，其中

f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}，f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},

f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}，f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},

f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}，f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},

f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}，f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}。令f：A→B，使得f()=f0，f({1})=f1，f({2})=f2，f({3})=f3，f({1,2})=f4，f({1,3})=f5，f({2,3})=f6，f({1,2,3})=f7例8.6对于给定的集合A和B构造双射函数f：A→B。

(2)A=[0,1]，B=[1/4,1/2]

令f：[0,1]→[1/4,1/2]，f(x)=(x+1)/4.(3)A=Z，B=N将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：

Z：0-11-22-33…

↓↓↓↓↓↓↓

N：0123456…

则这种对应所表示的函数是：

f：Z→N(2)A=[0,1]，B=[1/4,1/2]

令f：[0,(4)A=[π/2,3π/2]，B=[-1,1]f(x)=sinx(4)A=[π/2,3π/2]，B=[-1,1]f(x)=8.2函数的复合与反函数一．函数的复合

函数是一种特殊的二元关系，函数的复合就是关系的右复合。一切和关系右复合有关的定理都是用于函数的复合。

下面着重考虑函数在复合中特有的性质。定理8.1

设F，G是函数，则F

G也是函数，且满足

（1）dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}

（2）

x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))

8.2函数的复合与反函数一．函数的复合函数是一种证:

因为F，G是关系，所以FG也是关系。若对某个x∈dom(FG)，有xF

Gy1和xF

Gy2，则<x，y1>∈F

G∧<x，y2>∈F

G

t1(<x,t1>∈F∧<t1,y1>∈G)∧

t2(<x,t2>∈F∧<t2,y2>∈G)

t1

t2(t1=t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G

(F为函数)y1=y2（G为函数）所以F

G为函数。证:因为F，G是关系，所以FG也是关系。若对某个x∈d任取x，x∈dom(F

G)ty(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)t(x∈domF∧t=F(x)∧t∈domG)x∈{x|x∈domF∧F(x)∈domG}任取x，x∈domF∧F(x)∈domG<x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈G<x,G(F(x))>∈F

G

x∈dom(FG)∧FG(x)＝G(F(x))所以（1）和（2）得证。任取x，x∈dom(F

G)ty(<x,t>∈F推论1

设F，G，H为函数，则（F

G）H和F(GH)都是函数，且(F

G)H=F(GH)推论2

设f：A→B，g：B→C，则f

g：A→C，且

x∈A都有f

g(x)=g(f(x))。证:

由定理8.1可知fg是函数，且dom(fg)={x|x∈domf∧f(x)∈domg}={x|x∈A∧f(x)∈B}=Aran(fg)

rang

C因此由f

g：A→C，且x∈A有fg(x)=g(f(x))。推论1设F，G，H为函数，则（F

G）H和(F

定理8.2

设f：A→B，g：B→C.

（1）如果设f：A→B，g：B→C都是满射的，则

f

g：A→C也是满射的。

（2）如果设f：A→B，g：B→C都是单射的，则

fg：A→C也是单射的。

（3）如果设f：A→B，g：B→C都是双射的，则

fg：A→C也是双射的。

定理8.2设f：A→B，g：B→C.

（1）如果设f：A证

:

（1）任取c∈C，因为g：B→C都是满射的,$b∈B

使得g(b)=c.对于这个b,由于f：A→B也是满射的，所以$a∈A使得f(a)=b.由定理8.1有

fg(a)=g(f(a))=g(b)=c

从而证明了f

g：A→C是满射的。证:

（1）任取c∈C，因为g：B→C都是满射的,$b(2)假设存在x1,x2∈A使得fg(x1)=fg(x2)

由定理8.1有

g(f(x1))=g(f(x2))

因为g：B→C是单射的，故

f(x1)=f(x2)

又由于f：A→B是单射的，所以

x1=x2

从而证明了f

g：A→C是单射的。（3）由（1）和（2）得证。(2)假设存在x1,x2∈A使得fg(x1)=f说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、双射的性质。该定理的逆命题成立吗？单射考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4},C={c1,c2,c3},令

f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>}

g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c3>,<b4,c3>}

不是单射f

g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c3>}

单射说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、该定理的逆命题成不是满射考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3},C={c1,c2},令f={<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>}

g={<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>}

满射f

g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}满射不是满射考虑集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2,定理8.3

设f：A→B,则有f=fIB=IA

f证：由定理8.1的推论2可知f

IB：A→B和

IAf：A→B任取<x,y>,

<x,y>∈fÞ<x,y>∈f∧y∈BÞ<x,y>∈f∧<y,y>∈IBÞ<x,y>∈fIB

<x,y>∈fIBÞ$t(<x,t>∈f∧<t,y>∈IB)Þ<x,t>∈f∧t=yÞ<x,y>∈f所以