题型二次函数压轴题课件

二、解答题重难点突破第二部分题型研究目录题型七二次函数压轴题

类型一线段问题

类型二面积问题

类型三图形判定问题

拓展类型三角形相似问题二、解答题重难点突破第二部分题型研究目题型七1类型一

线段问题类型一线段问题2典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与直线y=x+4相交于A（-4,0），C（1,m）两点，抛物线与x轴的另一个交点为B（点B在点A的右侧），直线y=x+4交y轴于点D，点P是线段AC上方抛物线上一个动点（不与A，C重合），过点P作PG⊥x轴于点G，交直线y=x+4于点F，作PE⊥AC于点E.（1）求抛物线的解析式；典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+8(a3例1题图【思路点拨】将C（1,m）代入y=x+4中，求得m的值即可知C点坐标.二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)含有两个未知数，将点A，C坐标代入得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组可求得a，b的值，即可知抛物线的解析式.例1题图【思路点拨】将C（1,m）代入y=x+4中，求得m的4解：（1）把C（1,m）代入y=x+4得，m=1+4=5，则C（1,5）.把A（-4,0），C（1,5）代入y=ax2+bx+8(a≠0)得16a-4b+8=0 a=-1a+b+8=5 b=-2则抛物线的解析式为y=-x2-2x+8.，，解得例1题图，解：（1）把C（1,m）代入y=x+4得，，，解得5（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；【思路点拨】思路一：将(1)求得的二次函数解析式配方成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标和对称轴；思路二：根据二次函数顶点坐标公式直接写出顶点坐标和对称轴.（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；6（2）解：方法一：抛物线的解析式：y=-x2-2x+8 =-(x+1)2+9，则抛物线的顶点坐标为（-1,9），对称轴为x=-1.方法二：

＝-1，=9，所以对称轴是

x=-1，顶点坐标是（-1,9）.（2）解：方法一：7（3)求出AC的长；【思路点拨】过点C作x轴的垂线可构造出直角三角形，AC是直角三角形的斜边，根据A,C两点坐标分别求出两直角边即可知AC长.

如解图①过点C作CC′⊥x轴于C′，∵A（-4,0），C（1,5），∴AC′=4+1=5，CC′=5,∴AC=

=.例1题解图①解：（3)求出AC的长；如解图①过点C作CC′8（4）若点P的横坐标为x,请求出线段PE的长度关于P点横坐标x的函数解析式； 由AC的解析式可求出点D的坐标，根据OA,OD的长度可知△OAD是等腰直角三角形，根据角度的关系可以判定△PEF也是等腰直角三角形，所以求出PF的长度即可知PE的长度.根据抛物线和直线AC的解析式可分别写出P点和F点的坐标.由此可知PF的长度，题目得解.【思路点拨】（4）若点P的横坐标为x,请求出线段PE的长度关于P点横坐9∴PE=PF；∵点P的横坐标为x，则点P坐标为（x,-x2-2x+8），点F坐标为(x,x+4)，∴PF=-x2-2x+8-(x+4)=-x2-3x+4，即PF=-x2-3x+4（-4<x<1），∴PE=PF=（-4<x<1）.解：（4）直线AC交y轴于点D，则D点坐标为（0,4），∴OA=OD=4.∴∠DAO=45°，由题意得，∠PGA=90°，∴∠PFE=∠AFG=45°，即△PEF为等腰直角三角形，∴PE=PF；解：（4）直线AC交y轴于点D，则10（5）当x为何值时，线段PE有最大值，请求出这个最大值；【思路点拨】思路一：将（4）得到的PE长度的函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质求得最大值即可；思路二：因为△PEF是等腰直角三角形，所以当PF最长时，PE取得最大值.根据(4)中求得的解析式求PF的最大值，可知PE的最大值.注意：因P是线段AC上方抛物线上的点，所以求得最大值后，要检验P是否符合要求.（5）当x为何值时，线段PE有最大值，请求出这个最大值；11∴当

，PF最大

，此时PE最大∴当 时，PE有最大值

；（5）解：方法一：方法二：∵PF=-x2-3x+4∴当，PF最大12(6)当x为何值时，△PEF的周长有最大值，请求出这个最大值；【思路点拨】因为△PEF是等腰直角三角形，所以PE或者PF取得最大值时，三角形的周长最大，根据（5）的计算结果，即可求出最大值.(6)当x为何值时，△PEF的周长有最大值，请求出这个最大值13解：（6）在等腰直角三角形PEF中，PE=EF=PF,∴△PEF的周长=PE+PF+EF=（+1）PF，由（5）知当x=-时，PF取得最大值

，∴当x=-时，△PEF的周长最大为

(+1).解：（6）在等腰直角三角形PEF中，14(7)在（6）的条件下，求出P，F，G，E的坐标；【思路点拨】由x=，可直接写出G点坐标，将x=分别代入直线AC和抛物线的解析式可求出点F，P的纵坐标，则F,P点坐标可求.过点E作EM⊥x轴，过点F作FM⊥y轴，两线交于点M，可得等腰直角三角形EFM，在等腰直角三角形PEF中可求EF长，从而可知FM，EM，再结合点F坐标即可知E点坐标.(7)在（6）的条件下，求出P，F，G，E的坐标；15（7）解：如解图②，当x=时，点G坐标为（

，0）；点F坐标为(,)；点P坐标为(,)；过点E作EM⊥x轴，过点F作FM⊥y轴,两线交于点M，由题意得，△EFM为等腰直角三角形，EF=PE=，则MF=ME=，∴xE= yE=∴点E坐标为(,)；例1题解图②（7）解：如解图②，当x=时，点G坐标为（16（8）若PF=3FG,求x的值；【思路点拨】由P点的横坐标为x，可分别写出点P,F,G点的坐标，从而可用x表示出PF和FG线段长，根据关系式列方程即可求x值.注意检验x值是否符合题意.

点P的横坐标为x，则F（x，x+4），所以FG=x+4，由（4）知PF=-x2-3x+4，∵PF=3FG，∴-x=-3x+4=3（x+4），解得x=-2或-4.当x=-4时，点P与点A重合，不合题意，故x=-2.解：（8）若PF=3FG,求x的值；解：17(9)若点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，请求出x的取值范围；【思路点拨】根据题意，结合图象，判断出分两种情况讨论，点P在x轴上方时，根据点C和点B的坐标即可得解；当点P在x轴下方时，求得y=x+4关于x轴对称的解析式，联立抛物线解析式求出交点坐标即可得解.(9)若点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，请求18解：（9）点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，如解图③，分两种情况：①若点P在x轴上方,则点P在点C下方，B点上方时，∠PAB≤∠DAO,∵点C坐标为（1,5），B点坐标为（2,0），则1≤x≤2；②若点P在x轴下方,当∠PAB=∠DAO时，设AP与抛物线交点N，当点P在点B下方，N点上方时，满足∠PAB≤∠DAO,例1题解图③

解：（9）点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，如19③设直线AN交y轴于点H,∵∠PAB=∠DAO，则点H与点D关于原点对称，可得，点H坐标为（0，-4），则直线AN的解析式为y=-x-4，联立y=-x2-2x+8y=-x-4，得x1=3，x2=-4（与点A重合，舍去）则2≤x≤3；综上所述，点P为抛物线上任意一点，如果∠PAB≤∠DAO，则1≤x≤3；例1题解图③

③设直线AN交y轴于点H,∵∠PAB=∠DAO，则点H与点D20（10）在（9）条件下，当P点的纵坐标为整数值时，点P为“好点”，请求出点P“好点”的个数.【思路点拨】由函数图象可知，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，分别求出y的最大值和最小值，确定在此范围内y的整数值的个数即可.（10）在（9）条件下，当P点的纵坐标为整数值时，点P为“好21解：（10）由二次函数图象可知，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，当x=1时，y=-x2-2x+8=5；当x=3时，y=-x2-2x+8=-7.即-7≤y≤5，共13个整数值，则点P“好点”的个数为13个.解：（10）由二次函数图象可知，当1≤x≤3时，y随x的增大22类型二面积问题类型二面积问题23典例精讲例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0,3）两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.（1）求直线AB的解析式；例2题图典例精讲例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c24解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+d，将A（-3,0），B（0,3）代入得-3k+d=0 d=3∴直线AB的解析式为y=x+3.【思路点拨】利用待定系数法直接计算.设直线AB的解析式为y=kx+d,分别将A,B两点坐标代入，得到关于k，d的二元一次方程组，解方程组求得k，d的值即可知AB的解析式.解得，k=1d=3，解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+d，【思路点拨】利用25（2）求抛物线的解析式；【思路点拨】将点A、B的坐标代入y=-x2+bx+c即可得到b、c的值，从而得到抛物线解析式.

将点A（-3,0），点B（0,3）代入抛物线得：-9-3b+c=0c=3 b=-2c=3∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.解得，，解：（2）求抛物线的解析式；将点A（-3,0），26（3）求△ABC的面积和四边形AOBD的面积；【思路点拨】根据抛物线解析式可求出点C，D坐标.在△ABC中，可根据A,C点坐标求出底边AC长，根据点B的坐标求出高OB的长，即可求面积.对于四边形AOBD，可分割成△AOB和△ABD分别进行计算.Rt△AOB的面积可根据OA,OB长进行计算.在△ABD中，设对称轴与AB的交点为D′，求出DD′的长度即可求出△ABD的面积，从而四边形AOBD的面积可求.（3）求△ABC的面积和四边形AOBD的面积；27解：（3）由y=-x2-2x+3，转化为顶点式得y=-(x+1)2+4，∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点D为（-1,4）；令y=0得-x2-2x+3=0，解得x1=-3,x2=1，∴点C的坐标为（1,0）,∵点A（-3,0），点B（0,3），点C（1,0），∴AO=3，OC=1，OB=3，例

2题解图①解：（3）由y=-x2-2x+3，转化为顶点式得y=-(x28∵BO⊥AC，∴S△ABC=AC×BO=×（3+1）×3＝6；如解图①，设抛物线的对称轴与AB的交点为D′，将x=-1带入y=x+3得y=2，∴D′（-1,2），∴DD′=2，∴S△ABD=×OA×DD′=3，∴S四边形AOBD

=S△ABO+S△ABD

=×3×3+3=例

2题解图①∵BO⊥AC，∴S△ABD=×OA×DD′=329（4）在抛物线上是否存在点G，使得△GAE的面积与△BEC的面积相等，若存在，请写出相应的点G的坐标；若不存在，请说明理由；【思路点拨】在△BEC中，OB是EC边上的高，根据点坐标可求出EC和OB，从而可知△BEC的面积.在△GAE中，A,E点坐标都可求出，当以AE为底时，G点纵坐标的绝对值是△GAE的高，分G在x轴上方和x轴下方分别列方程求解即可.（4）在抛物线上是否存在点G，使得△GAE的面积与△BEC的30例

2题解图

②（4）解：如解图②，当G在x轴上方时，∵点G在抛物线上，设点G的坐标为（g,-g2-2g+3），∵点G在x轴上方，∴-g2-2g+3＞0，过G作GG′⊥x轴于G′，S△AEG=

AE×GG′＝×2×（-g2-2g+3）∵S△BEC

=EC×OB=×2×3=3，∴·2·（-g2-2g+3）=3，解得g1=-2，g2=0,这样的点G有两个，坐标为(-2,3)，(0,3).例2题解图②（4）解：如解图②，当G在x轴上方时，31如解图③，当点G在x轴下方，-g2-2g+3＜0，则GG′=-（-g2-2g+3）=g2+2g-3，S△AEG=AE·GG′＝×2×（g2+2g-3）=3，解得g3=-1+，g4=-1-，∴这样的点G也有两个，坐标分别为(-1+,-3)，(-1-,-3).例

2题解图

③如解图③，当点G在x轴下方，-g2-2g+3＜0，例2题32（5）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM

=S△ABC，若存在，请写出相应的点M的坐标，若不存在，请说明理由；【思路点拨】由(3)已经求得△ABC的面积，本题即转化为在抛物线上求一点M使△ABM的面积为定值，解决方法同（4）.（5）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM=S△ABC33（5）解：(i)如解图④，当M在直线AB上方时，过点M做MM′⊥x轴于点M′，交AB于M″，设M（m,-m2-2m+3）,则M′(m，0),M″(m,m+3),∴MM″=-m2-3m，S△ABM

=×AO×MM″=m2

m,根据题意S△ABM

=S△ABC

=6，则

m2

m=6，即m2+3m+4=0，此时方程无解，则不存在在这样的M；例

2题解图

④（5）解：(i)如解图④，当M在直线AB上方时，过点M做M34解：（ii）当点M在直线AB的下方，如解图⑤，过点C作平行于AB的直线，则这条直线上任意一点与AB构成的三角形面积与△ABC的面积相等，从而点M在这条直线上.例

2题解图

⑤解：（ii）当点M在直线AB的下方，如解图⑤，例2题解图35∵直线AB的解析式为y=x+3,设过点C且与AB平行的直线解析式为y=x+b1,将点C（1,0）代入得b1=-1,所得直线解析式为y=x-1, 此时存在两个点M，其坐标分别为（1,0），（-4，-5）. x1=1y1=0，解得 x2=-4y2=-5， y=-x2-2x+3y=x-1，与抛物线联立得例

2题解图

⑤∵直线AB的解析式为y=x+3,此时存在两个点M，其坐标分别36（6）在抛物线上是否存在一点H，使得S△ABH

=S四边形AOBD，若存在，请写出相应的点H的坐标，若不存在，请说明理由；【思路点拨】设点H（h,-h2-2h+3）,利用（5）的方法，使用h表示出S△ABH，而S四边形AOBD在（3）中已经求得，列出方程求解即可.（6）在抛物线上是否存在一点H，使得S△ABH=S四边形A37解：(6)(i)当H在x轴上方时，过点H做HH′⊥x轴于点H′，交AB于点H″，设H（h,-h2-2h+3）,则H′(h，0),H″(h,h+3),∴HH″=-h2-3h，S△ABH

=×AO×HH″=h2

h.根据题意S△ABH

=S四边形AOBD

=，则

即h2+3h+5=0，此时方程无解，则不存在这样的H；例2

题解图

⑥解：(6)(i)当H在x轴上方时，过点H做HH′⊥38（ii）当H在x轴下方时，如解图⑥，不妨设H在对称轴的右侧，HH′=h2+2h-3，AH′＝h+3,HH″＝（h+3）-(-h2-2h+3)=h2+3h,S△AHH″＝×HH″×AH′＝

（h2+3h）(h+3),S△BHH″＝×OH′×HH″＝

h(h2+3h),∴S△ABH=S△AHH″-S△BHH″

＝

（h2+3h）,当S△ABH

=时，h2+3h-5=0,h=或

（舍去），∴H（ii）当H在x轴下方时，如解图⑥，不妨设H在39过点H作AB的平行线，则其与抛物线的另一个交点也满足要求，设其解析式为y=x+b,将H代入

＝+b,得b=-2,∴y=x-2,∴，y=x-2y=-x2-2x+3∴H点的坐标为（

，

）或（

，

）解得：x1=y1=，x2=y2=，过点H作AB的平行线，则其与抛物线的另一个交点也满∴y=x-40（7）已知点P是第二象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为p，△ABP的面积为S；①求S关于p的函数关系式；②求当p为何值时,S有最大值，最大值是多少；③过P作PQ⊥AB于Q，当PQ平分S△ABP，求点P的坐标；当PQ将△ABP的面积分为1∶2的两部分，求点P的坐标；（7）已知点P是第二象限内抛物线上一动点，设点P的横坐标为p41【思路点拨】①利用（5）的方法写出S关于p的函数关系式即可；②根据二次函数的性质求S的最大值，并求出p的取值；③PQ平分S△ABP，即Q是AB的中点，据此可求PQ的解析式，联立抛物线解析式即可知P点坐标.当PQ将△ABP的面积分为1∶2的两部分时要S△APQ∶S△BPQ

=1∶2和S△APQ∶S△BPQ

=2∶1两种情况讨论求解，要注意验证结果是否合理.【思路点拨】①利用（5）的方法写出S关于p的函数关系式即可；42解：(7)①如解图⑦，∵点P在抛物线上，∴点P的坐标为（p,-p2-2p+3），过P作PP′∥y轴交直线AB于点P′，则P′（p,p+3），则PP′＝（-p2-2p+3）-(p+3)=-p2-3p，∴S△ABP=×3×PP′＝

p2

p.即S=p2

p.例2题解图⑦解：(7)①如解图⑦，∵点P在抛物线上，例2题解图⑦43②将S=p2

p转化为顶点式得S=(p+)2+，∴当p=时S最大，最大值为.例2题解图⑦②将S=p2p转化为顶点式得例244③如解图⑧，连接OQ,∵PQ平分△ABP的面积∴Q是AB中点，∵PQ⊥AB,∴PQ垂直平分AB，∵OA=OB=3，∴QA=QB，由A（-3,0），B（0,3），易得点Q的坐标为（-，-），∴直线OQ的解析式为y=-x.∵OA=OB,∴OQ是线段AB的垂直平分线，例2题解图⑧③如解图⑧，连接OQ,例2题解图⑧45由，y=-x2-2x+3y=-x∴P、Q、O三点共线.解得：x1=y1=，x2=y2=，此时点P的坐标为（

，

）（i）若S△APQ：S△PQB=2∶1，则S△APQ∶S△APB

=2∶3，∴点Q在线段AB的三等分点，且靠近点B，由，y=-x2-2x+3∴P、Q、O三点共线.解得：x1=y46如解图⑨，过Q作AO的垂线，垂足为点Q′，则，易得点Q的坐标为（-1,2），∵PQ⊥AB，∴PQ平行于直线y=-x，例2题解图⑨如解图⑨，过Q作AO的垂线，垂足为点Q′，例2题解图⑨47设直线PQ的解析式为y=-x+q,将点（-1,2）代入得q=1,此时直线PQ的解析式为y=-x+1,与抛物线联立得，y=-x2-2x+3y=-xx1=-2y1

=3，解得x2=1y2

=0舍，例2题解图⑨此时点P的坐标为（-2,3）；设直线PQ的解析式为y=-x+q,与抛物线联立得，y=-x248（ii）当点Q是AB的三等分点，且靠近点A，则易得点Q的坐标为（-2，1），此时直线PQ的解析式为y=-x-1,解得：x1=y1=，x2=y2=舍，与抛物线联立得y=-x2-2x+3y=-x-1，此时点P的坐标为（

，

）.（ii）当点Q是AB的三等分点，且靠近点A，则易得点Q的坐标49(8)若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点R，使S△RBC

=3？若存在，请写出相应的点R的坐标，若不存在，请说明理由； 过R做y轴的平行线交BC的延长线于点F，过点R作RK垂直于BC的延长线于点K，则构造出△RKF∽△BOC，因为S△RBC

=3，即

BC·RK=3，利用三角形相似得到的比例关系和题中的已知线段长即可求出RF长.设R的横坐标为x，则F点的纵坐标可根据BC的解析式求得，R点的纵坐标可根据抛物线的解析式求得，而RF的长等于F点的纵坐标减去R点的纵坐标，由此可列方程求出R点横坐标，即可知R点坐标.注意验证求得的R点是否是在对称轴的左侧.

【思路点拨】(8)若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点50(8)不妨假设存在点R，使S△RBC

=3.过点R作RK⊥BC，交BC的延长线于点K，作RH∥y轴，交BC的延长线于点F，如解图⑩，则∠F=∠BCO，∠RKF=∠BOC=90°，∴△RKF∽△BOC，∴

，∴BC·RK=BO·RF.解：例2题解图⑩(8)不妨假设存在点R，使S△RBC=3.51又S△RBC

=3，BO=1，∴

BC·RK=BO·RF=3，∴RF=6.由B(1，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为:y=-3x+3.设R(x，-x2-2x+3)，则F(x，-3x+3).∴RF=-3x+3-(-x2-2x+3)=x2-x.∴x2-x=6，解得x1=-2，x2=3(舍).∴R(-2，3).∴存在点R，使S△RBC

=3，点R的坐标为(-2，3).例2题解图⑩又S△RBC=3，BO=1，例2题解图⑩52类型三图形判定问题类型三图形判定问题53典例精讲例3如图①，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c与x轴交于点A、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D.(1)求抛物线和直线l的解析式；例2题图①典例精讲例3如图①，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c54【思路点拨】所求抛物线经过B、C两点，将B(3，0)和C(0，3)代入y＝-x2＋bx＋c中得到关于b，c的二元一次方程组，解出b，c的值即可；所求直线l经过B(3，0)，C(0，3)两点，根据待定系数法求出直线l的解析式【思路点拨】所求抛物线经过B、C两点，将B(3，0)和C(055解：(1)将B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c

得：-9+3b+c=0,

解得：

b=2,

c

=3.

c

=3.∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．设直线l的函数关系是y=kx+z，据题意得

3k+z=0,

z=3.解得：

k=-1,

z=3.∴直线l的函数关系是：y

=-x+3.解：(1)将B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝－x2＋56（2）判断△BCD的形状并说明理由.【思路点拨】判断三角形形状可考虑从边和角两个角度入手.本题中可求出B,C,D三点的坐标，因此从边长入手比较方便.分别求出三角形的三边长，如果有两边相等，则三角形是等腰三角形，如果三边相等，则三角形是等边三角形.如果没有相等的边，则考虑使用勾股定理验证三角形是否是直角三角形.（2）判断△BCD的形状并说明理由.57解：(2)△BCD是直角三角形.理由如下：∵由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，可得D（1，4），根据题意可知B(3，0)、C(0，3)，∴BC2=(3-0)2+(0-3)2=18,DC2=(1-0)2+(4-3)2=2,BD2=(3-1)2+(0-4)2=20,∴BC2+DC2=BD2,∴∠DCB=90°，△BCD是直角三角形.例2题图①解：(2)△BCD是直角三角形.理由如下：例2题图①58(3)如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标.例3

题图②(3)如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E59【思路点拨】因EG∥y轴，所以∠EGC不可能等于90°，故本题需要分①∠CEG=90°②∠ECG=90°两种情况进行讨论.情况①中，连接CE，因为∠CEG=90°，所以CE∥x轴，故E的纵坐标与C的纵坐标相同，由此即可求出点E的坐标.情况②中，过点C做BC的垂线，与BC上方的抛物线的交点即是点E的位置.过点E做y轴的垂线可得到等腰直角三角形，利用其性质求得E点坐标.【思路点拨】因EG∥y轴，所以∠EGC不可能等于90°，故本60解：（3）∵△ECG是直角三角形，EF⊥x轴，如解图①有两种情况：①E为直角顶点，∠CEG=90°，则C、E两点纵坐标相等为3，由－x2＋2x＋3=3得E点坐标为(2，3)；例3

题解图

①解：（3）∵△ECG是直角三角形，EF⊥x轴，例3题解图61②C为直角顶点，∠ECG=90°，过E作EQ⊥y轴于点Q,∵设EQ=x，OB=OC=3，∴∠OCB=∠ECQ=45°，∴EQ=QC=x,∴QC+OC=x+3=y=－x2＋2x＋3,解得E点坐标为(1，4).综上可知点E坐标为(2，3)或(1，4).例3

题解图

①②C为直角顶点，∠ECG=90°，过E作EQ⊥y轴于点Q,例62（4）如图③，设DC延长线与x轴交于点N,动点P在抛物线上，当△NPC是以NC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标.例3题图③（4）如图③，设DC延长线与x轴交于点N,动点P在抛物线上，63【思路点拨】由D,C两点的坐标可求得CD的解析式，可求得N的坐标.本题中设定NC是直角边，所以应该分①∠PCN=90°，②∠PNC=90°两种情况讨论.①当∠PCN=90°时，过点C作NC的垂线，与抛物线的交点即是点P，求出垂线的解析式与抛物线解析式联立即可求出P点坐标；②当∠PNC=90°时，过点N作NC的垂线，与抛物线的交点即是点P，求出垂线的解析式与抛物线联立即可求出P点的坐标.注意在求出点P的坐标后要检验结果的合理性.【思路点拨】由D,C两点的坐标可求得CD的解析式，可求得N的64解：（4）∵C(0，3)，D（1，4），可得直线CD的解析式为y=x+3,∴N(-3，0).∵△NPC是以NC为直角边的直角三角形，有两种情况：①当C为直角顶点时，CP1⊥CN,则直线CP1的解析式为y=-x+3，由y=-x+3与y=-x2+2x+3联立解得点P1点的坐标为(0，3)或者（3,0），∵（0,3）与点C重合，不能够成三角形，故不合题意.所以P1坐标为(3，0);解：（4）∵C(0，3)，D（1，4），可得直线CD的解析式65②当N为直角顶点时，NP⊥CN,设直线NP的解析式为y=-x+b，把点N(-3，0)代入得b=-3，由y=-x-3与y=-x2+2x+3联立得x2-3x-6=0，解得:x1=,x2=.∴y1=，y2= .∴点P2坐标为(,），P3坐标为(，

）.例3

题解图

②②当N为直角顶点时，NP⊥CN,设直线NP的解析式为y=-x66综所上述，所求点P的坐标为(3，0)，（,）或（

，

）.

例3

题解图

②综所上述，所求点P的坐标为(3，0)，例3题解图②67（5）如图④，在抛物线的对称轴上求点P，使△PBC为直角三角形.例3

题图④（5）如图④，在抛物线的对称轴上求点P，使△PBC为直角三角68【思路点拨】因为P点在抛物线的对称轴上，因此可以设P（1,t）,使用含有t的代数式分别表示出PC,PB的长，而B,C两点坐标已知，即可求出BC的长度，根据勾股定理分①PC是斜边②PB为斜边③BC为斜边三种情况列方程求t值，即可知P点坐标.【思路点拨】因为P点在抛物线的对称轴上，因此可以设P（1,t69解：（5）据题意设点P坐标为（1，t）,∵B(3，0)、C(0，3),∴BC2=18，PB2=（1-3）2+t2=4+t2，PC2=（1-0）2+（t-3）2=t2-6t+10，①若PC为斜边，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；②若PB为斜边，则BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4;解：（5）据题意设点P坐标为（1，t）,70③若BC为斜边，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18,解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（1，-2）或（1，4）或（1，

）或（1，

）．③若BC为斜边，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-71(6)如图⑤，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P，使△PDC为等腰三角形.若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3题图⑤(6)如图⑤，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P，使△PD72【思路点拨】由C,D两点的坐标可求出CD的长，设P点的横坐标为x，即可使用x表示出PD,PC，因题目中未说明△PDC那个角是顶角，故分（1）当∠D是顶角：根据抛物线的对称性，P的纵坐标应该等于C的纵坐标，即可求出P点的坐标（2）∠DCP是顶角，因为点D在抛物线的对称轴上，所以抛物线上对称轴右侧的点的距离点C的距离一定大于CD，因此这种情况在对称轴的右侧不存在满足条件的P点.（3）∠P是顶角，根据PC=PD列方程求解即可，结果要舍去P在对称轴左侧的情况.【思路点拨】由C,D两点的坐标可求出CD的长，设P点的横坐标73 ①若∠D是等腰三角形的顶角，由C点（0，3）和x=1可得对称点为P1（2，3）满足条件；②若∠DCP是等腰三角形的顶角，∵C（0，3），D（1，4），而点P在抛物线对称轴的右侧，∴CP＞CD，与等腰三角形矛盾，故在抛物线的右侧不存在满足条件的P点.（6）存在． ①若∠D是等腰三角形的顶角，由C点（6）存在74③若∠P是等腰三角形的顶角，设P2（x，y），∵

=（3-y）2+x2，

=（x-1）2+（4-y）2，∴（3-y）2+x2=（x-1）2+（4-y）2，将y=-x2+2x+3代入可得：x＝

或x＝

（舍），∴y＝

，∴P2（

，

），故满足条件的点P的坐标为（2，3）或（

，

）.例3题图⑤③若∠P是等腰三角形的顶角，设P2（x，y），例3题图75（7）如图⑥，若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．例3

题图⑥（7）如图⑥，若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其76【思路点拨】（1）若点Q是直角顶点，因为抛物线和等腰直角三角形都是轴对称图形，所点Q1必为抛物线的对称轴与x轴的交点；（2）若点M或点N为直角顶点时，因为图形的对称性，我们不妨以N点为对象进行探究，此时因为不确定MN在x轴的上方还是下方，所以需要分①MN在x轴上方②MN在x轴下方进行分类讨论.在每种情况下，根据MN=2QQ1,NQ=MN列方程求解Q点的横坐标，注意验证Q点是否在对称轴的左侧，确定Q点在对称轴左侧的情况后其关于x=1的对称点即是Q点在对称轴右侧的情况.【思路点拨】（1）若点Q是直角顶点，因为抛物线和等腰直角三角77解：（7）存在.①若Q是直角顶点，由对称性可直接得Q1（1，0）；②若N是直角顶点，且M、N在x轴上方时，设Q2（x，0）（x＜1），则N（x，-x2+2x+3）∴MN=2Q1Q2=2（1-x），∵△Q2MN为等腰直角三角形，∴NQ2=MN,∴-x2+2x+3=2（1-x）,解得x=或x=，∵x＜1，∴Q2（

，0），由对称性可得Q3（

，0）；例3

题图⑥解：（7）存在.例3题图⑥78③若N是直角顶点，且M、N（x，-x2+2x+3）在x轴下方时：同理设Q4（x，0），（x＜1），∴Q1Q4=1-x，而Q4N=2Q1Q4，∵N在x轴下方，∴-（-x2+2x+3）=2（1-x）解得x=或x=∵x＜1，∴x=，∴Q4（

，0），由对称性可得Q5（+2，0）．综上:Q1（1，0），Q2（2，0），Q3（

，0），Q4（

，0），Q5（+2，0）；③若N是直角顶点，且M、N（x，-x2+2x+3）在x轴下方79（8）如图⑦，一动点P从原点O出发以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，连接CP，过点B作直线CP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，求t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．例

3题图⑦（8）如图⑦，一动点P从原点O出发以1个单位/秒的速度沿x轴80【思路点拨】观察点C、P、O、B、Q的位置，为常见的直角三角形全等模型，故可知OP=OQ，若△MPQ是等边三角形，则M一定在PQ的垂直平分线上.求出PQ的解析式，与抛物线解析式联立即可求出M点所有可能的坐标.针对每个可能的M值，根据等腰直角三角形OPQ和等边三角形MPQ的性质，求出t的值即可.【思路点拨】观察点C、P、O、B、Q的位置，为常见的直角三角81解：（8）当t=时，抛物线上存在点M（

，

），或当t=时，抛物线上存在点M（

，

），使得△MPQ为等边三角形．理由如下：∵BQ⊥CP，∴∠QBO+∠CPO=90°，∵∠QBO+∠BQO=90°，∴∠BQO=∠CPO，例

3题图⑦解：（8）当t=时，抛物线上存在82在△BOQ和△COP中，∠BQO=∠CPO,

∠QOB=∠POC=90°，BO=CO,∴△BOQ≌△COP，∴OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，例

3题图⑦在△BOQ和△COP中，例3题图⑦83∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线y=-x上，设M（x，-x），代入抛物线解析式y=-x2+2x+3得x1=，x2=∴M点可能为（

，

）或（

，

）．例

3题图⑦∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线y=-x上84①如解图③，当M的坐标为（

，

）时，点Q在点C的下方，OM=×,设OM与PQ交于点N，点P运动时间为t秒,△OPQ是等腰直角三角形，△MPQ是等边三角形，∴OP=t,PQ=t,MN=PQ=×t,ON=PQ=t,例

3题解图③①如解图③，当M的坐标为（，85∵OM=ON+MN，∴ ＝

t+∴t=；例

3题解图③∵OM=ON+MN，例3题解图③86②如解图④，当M的坐标为（

，

）时，点Q在点C的上方，OM=×,设直线OM与PQ交于点N，∵点P的运动时间为t秒,△OPQ是等腰直角三角形，△MPQ是等边三角形，∴OP=t,PQ=t,MN=PQ=×t,ON=PQ=t,例

3题解图④②如解图④，当M的坐标为（，87∴t=，综上所述，当t=

时，抛物线上存在点M（

，

），或当t=

时，抛物线上存在点M（

，

），使得△MPQ为等边三角形．∵OM+ON=MN∴∴t=，∵OM+ON=MN88(9)如图⑧，分别过点D,B作x,y轴的平行线，两线交于点M,连接OM,点Q是线段MB上一动点，在线段OM上是否存在这样的点P，使△POQ为等腰三角形且△PMQ为直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．例3题图⑧(9)如图⑧，分别过点D,B作x,y轴的平行线，两线交于点M89【思路点拨】△OPQ中的内角∠OPQ和△MPQ的内角∠MPQ互补，因此从这一点进行突破：①若∠MPQ=90°，则∠OPQ=90°，从而等腰△OPQ中只有OP和PQ才能作为腰，②若∠PQM=90°，则∠MPQ是锐角，故∠OPQ是钝角，所以OP和PQ是等腰三角形的腰.在每种情况下根据三角形相似求得OP的长度即可知P点的坐标.【思路点拨】△OPQ中的内角∠OPQ和△MPQ的内角∠MPQ90解：∵B（3，0）、M（3，4），∴直线OM的解析式为y=43x，①当∠QPM=90°时，如解图⑤，∵∠OPQ=90°，∴只能OP=PQ，设OP=PQ=m，∴MP=5-m，∵∠MPQ=∠OBM=90°，∠PMQ=∠BMO，∴△MPQ∽△MBO，∴,∴，解得

，例3题解图⑤

解：∵B（3，0）、M（3，4），例3题解图⑤91∴

，

，∴PN=

，ON=，∴P（

，

）;作PN∥BM，②当∠MQP=90°时，如图⑥，∵∠OPQ＞90°，∴只能OP=PQ=b，例3题解图⑥

作PN∥BM，②当∠MQP=90°时，如图⑥，例3题解图⑥92∵PQ∥OB，∴△PQM∽△OBM，∴

，即

，解得b=，∴点P的横坐标为3-=，代入y=x得，y=，∴P（

，

）.综上所述，在线段OM上存在这样的点P，使△OQP为等腰三角形且△MQP为直角三角形，点P的坐标为（

，

）或（

，

）．∵PQ∥OB，∴93拓展类型三角形相似问题拓展类型三角形相似问题941.（2015黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.

1.（2015黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xO95第1

题图（1）求b,c的值；（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；（3）是否存在t，使得以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由.第1题图（1）求b,c的值；96解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A(0,4)和C(8，0),可得c=4×64+8b+c=0,解得c=4

b=;第1

题图解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A(097（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=90°-∠APO=∠EPB,∴△AOP∽△PEB，且相似比为=2,∵AO=4,∴PE=2,OE=OP+PE=t+2，又∵DE=OA=4，∴点D的坐标为（t+2,4），∴点D落在抛物线上时，有-(t+2)2+(t+2)+4=4,解得t=3或t=-2.∵t>0，∴t=3,故当t为3时，点D落在抛物线上.（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=90°-∠AP98(3)存在t,能够使得以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似.理由：①当0<t<8时，若△POA∽△ADB,则

，即

,整理，得t2+16=0,∴t无解;若△POA∽△BDA,同理，解得t=-2+2，t=-2-2(负值舍去)；(3)存在t,能够使得以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相99②当t>8时，若△POA∽△ADB,则

，即

解得t=8+4,t=8-4（负值舍去）;

若△POA∽△BDA，同理，解得t无解.综上所述，当t=-2+2或t=8+4

时，以A,B,D为顶点的三角形与△AOP相似.②当t>8时，若△POA∽△ADB,1002.（2015随州12分）如图，已知抛物线y=(x+2)(x-4)与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴，交抛物线于点D，M为抛物线的顶点.（1）求点A、B、C的坐标；（2）设动点N（-2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；第2

题图2.（2015随州12分）如图，已知抛物线y=101（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、102解：（1）令(x+2)(x-4)=0得x1=-2,x2=4,∴点A(-2,0),点B(4,0),将x=0代入y=(x+2)(x-4)得

y=-,∴点C(0,-).第2

题图解：（1）令(x+2)(x-4)=0第2题图103（2）如解图①，过点A(-2，0)作y轴平行线l，则点B关于l的对称点B′（-8,0），M（1，-）,连接B′M与l的交点即为使MN+BN值最小的点N.设直线B′M的解析式为y=kx+b,第2

题解图①则-8k+b=0

k+b=-，解得k=-

b=-2，∴y=-x-2.当x=-2时，n=-.（2）如解图①，过点A(-2，0)作y轴平行线l，第2题104（3）假设存在点P（t,（t+2）(t-4)）,使P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似.下面分三种情况讨论：（Ⅰ）当点P在第一象限时，显然∠PBA为钝角，∠BAD与∠ABD为锐角，如解图②，过D作DE⊥x轴于点E，过P作PF⊥x轴于点F，易得D（2，-），则AE=4,DE=PF=(t+2)(t-4),AF=t+2.第2题解图②（3）假设存在点P（t,（t+2）(t-4)）,使P105①若∠PAF=∠DAE,则△PAF∽△DAE,∴,∴4×(t+2)(t-4)=(t+2),∴t1=-2(舍去)，t2=6,当t=6时，PF=，AF=8，PA=，又∵AD=，∴

,∴

,∴，∴t=6时，△PAB与△BAD相似，且P（6,）.①若∠PAF=∠DAE,则△PAF∽△DAE,106②若∠PAF=∠DBE,则△PAF∽△DBE,∴,∴2×（t+2）(t-4)=(t+2),∴t1=-2(舍去),t2=8,当t=8时，AF=10，PF=,PA=,∵DB=,∴,=6,=5,显然且

∴t=8时，△PAB与△ABD不可能相似.②若∠PAF=∠DBE,则△PAF∽△DBE,107（Ⅱ）点P在第二象限时，根据对称性易知存在点P（-4,），使△PAB∽△BDA,(当然，也可以像F（Ⅰ）中一样计算得出)（Ⅲ）点P在x轴下方时，根据对称性易知存在点P（0,），使△PAB∽△BDA.综上所述，存在点P1（6,）、P2（-4,）、P3（0,-）三点使P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似.（Ⅱ）点P在第二象限时，根据对称性易知存在点1083.（2015盐城改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与抛物线y=ax2交于A、B两点，与y轴交于点P，点P的坐标为（0，2），点A的到y轴的距离为1，点Q是抛物线上的动点.（1）求A点坐标和抛物线的解析式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；第3

题图①

3.（2015盐城改编）如图，在平面直角坐标系xOy中，109（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T(0,t)（t<2）是射线PO上一点，当以P，B，Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.第3

题图②

（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T(0,t)（t<2）第110解：（1）∵直线y=x+b经过点P(0，2)，∴b=2，则y=x+2，∵由题意可得点A的横坐标为-1，∴y=-1+2=1，∴点A的坐标为（-1，1）.∵抛物线交y=ax2经过点A，∴a=1,∴抛物线的解析式为y=x2.第3

题图①

解：（1）∵直线y=x+b经过点P(0，2)，第3题图①111（2）如解图①，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D