《误差理论与测量平差基础》第三章课件

第三章协方差传播律及权

概述§3.1协方差传播律§3.2协方差传播律的应用§3.3权与定权的常用方法§3.4协因数阵与权阵§3.5协因数传播律§3.6由真误差计算中误差及其实际应用§3.7系统误差的传播结束第三章协方差传播律及权概述结束概述一、为什么要学习协方差传播律以及什么是协方差传播律二、学习协方差传播律需要的基础知识返回概述一、为什么要学习协方差传播律返回一、为什么要学习协方差传播律

以及什么是协方差传播律在右图中，A、B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长S和角度β。则P点坐标为：式中：1.问题的提出：在已知观测边长S和角度β的方差和协方差的前提下，如何计算P点坐标的方差和协方差？

2.协方差传播律：是研究函数与自变量之间协方差的运算规律。或者说：

是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。返回一、为什么要学习协方差传播律

以及什么是协方差传播律二、学习协方差传播律需要的基础知识①方差：1、方差与协方差设有随机变量X和Y，则定义：②协方差：③相关与不相关、独立与不独立因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分布的随机变量，“不相关”与“独立”等价，故称不相关观测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。

二、学习协方差传播律需要的基础知识①方差：1、方差与协方差4二、学习协方差传播律需要的基础知识就是观测值向量的方差-协方差阵简称为协方差阵。

2、方差—协方差阵与互协方差阵假定有个不同精度的相关观测值，数学期望和方差分别为和，它们两两之间的协方差为

,用矩阵表示为:①方差—协方差阵二、学习协方差传播律需要的基础知识就是观测值向量学习协方差传播率需要的基础知识设有观测值向量和，它们的数学期望分别为和。令：，则的协方差阵为：式中：是X关于Y的互协方差阵。

②互协方差阵返回学习协方差传播率需要的基础知识设有观测值向量和§3.1协方差传播律

一、观测值线性函数的方差设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即

又设有的线性函数为：如何求Z的方差呢？§3.1协方差传播律一、观测值线性函数的方差设有观测值向§3.1协方差传播律Z的方差为：

令：则：对两边取数学期望，得：即：§3.1协方差传播律Z的方差为：令：则：对8§3.1协方差传播律的纯量形式为：当向量中的各分量两两独立时：（中误差传播律）线性函数的协方差传播律概括如下：设有线性函数：则有：§3.1协方差传播律的纯量形式为：当向量中的各分量两两独立§3.1协方差传播律例3-1在1：500的地图上，量得某两点间的距离=23.4mm的量测中误差=±0.2mm，求该两点实地距离及中误差。解：最后写成:§3.1协方差传播律例3-1在1：500的地图上，量得某§3.1协方差传播律

二、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即：§3.1协方差传播律二、多个观测值线性函数的协方差阵设有§3.1协方差传播律设有t个的线性函数：设有t个的线性函数：令：

则：

如何求Z的协方差阵呢？§3.1协方差传播律设有t个的线性函数：设有§3.1协方差传播律证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。§3.1协方差传播律证明：方法同一个线性函数，均根据方差定§3.1协方差传播律设另有r个的线性函数：设有t个的线性函数：令：

则：

则Y的协方差阵为：§3.1协方差传播律设另有r个的线性函数：设§3.1协方差传播律下面导出互协方差阵的公式：若：则：即：§3.1协方差传播律下面导出互协方差阵的公式：若：则：即：§3.1协方差传播律例3-4在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例3-5设有函数：已知:求:§3.1协方差传播律例3-4在一个三角形中，同精度独立观§3.1协方差传播律上节课小结：一个线性函数：中误差传播律：多个线性函数：若：互协方差阵：无协方差！§3.1协方差传播律上节课小结：一个线性函数：中误差传播律17§3.1协方差传播律

三、非线性函数的情况1.一个非线性函数

设有观测值

的非线性函数：

已知协方差阵

，求方差。若有：取台劳级数至一次项：§3.1协方差传播律三、非线性函数的情况1.一个18§3.1协方差传播律若令：则：同样可得：为什么？§3.1协方差传播律若令：则：同样可得：为什么？§3.1协方差传播律2．多个非线性函数设有观测值的多个非线性函数将函数求全微分得

两组非线性函数时怎样做？§3.1协方差传播律2．多个非线性函数20§3.1协方差传播律应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如：或：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：

3.写成矩阵形式：4.应用协方差传播律求方差或协方差阵：

返回§3.1协方差传播律应用协方差传播律的具体步骤为：返回§3.2协方差传播律的应用

一、水准测量的精度经个N测站测定两水准点A、B间的高差，站的观测高差为，其中第i(i=1,2…N)则A、B两水准点间的高差为：（3-2-1）设各测站观测高差是等精度的独立观测值，其中误差均为则由中误差传播律可得：（3-2-2）若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：（3-2-5）§3.2协方差传播律的应用一、水准测量的精度经个N测站测22

设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值，它们的中误差均等于。则N个观测值的算术平均值为：

由中误差传播律得：

即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以。

§3.2协方差传播律的应用二、同精度独立观测值的算术平均值的精度

设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值，它们的中误差均等于。则N个观测值的算术平均值为：

由中误差传播律得：

即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以。

设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值§3.2协方差传播律的应用三、若干独立误差的联合影响一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（1-5-12）并顾及得出它们之间的方差关系式

即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。五、GIS线元要素的方差四、交会定点的精度返回§3.2协方差传播律的应用三、若干独立误差的联合影响§3.3权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。权是表征精度的相对的数字指标。§3.3权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。（3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，同一平差问题只能选选定一个0。（4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。§3.3权与定权的常用方法关于权的几点重要解释：（3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，同二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权§3.3权与定权的常用方法二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权§3.33、观测量中既有边又有角时的定权§3.3权与定权的常用方法返回2、同精度观测值的算术平均值的权3、观测量中既有边又有角时的定权§3.3权与定权的常用方法§3.4协因数阵与权阵一、协因数与协因数阵注意：协因数与权互为倒数关系！§3.4协因数阵与权阵一、协因数与协因数阵注意：协因数与权不难得出：—为协因数阵§3.4协因数阵与权阵不难得出：—为协因数阵§3.4协因数阵与权阵特点：①对称，对角元素为权倒数；

②正定；

③各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，则为单位阵。§3.4协因数阵与权阵特点：①对称，对角元素为权倒数；§3.4协因数阵与权阵二、权阵返回§3.4协因数阵与权阵注意：当P为非对角阵时，Pii不是观测量Li的权，因为：例3-10二、权阵返回§3.4协因数阵与权阵注意：当P为非对角阵例3§3.5协因数传播律设有观测值X的线性函数：由协方差传播律得：根据协因数阵的定义得：代入上式得：这就是协因数传播律！一、观测值线性函数的情况§3.5协因数传播律设有观测值X的线性函数：由协方差传播§3.5协因数传播律设有观测值X的非线性函数：将其线性化后，得：二、观测值非线性函数的情况§3.5协因数传播律设有观测值X的非线性函数：将其线性化§3.5协因数传播律三、权倒数传播律对于非线性函数：先将其线性化：同样由协因数传播律可得：这就是权倒数传播律！返回§3.5协因数传播律三、权倒数传播律对于非线性函数：先将35第三章协方差传播律及权

概述§3.1协方差传播律§3.2协方差传播律的应用§3.3权与定权的常用方法§3.4协因数阵与权阵§3.5协因数传播律§3.6由真误差计算中误差及其实际应用§3.7系统误差的传播结束第三章协方差传播律及权概述结束概述一、为什么要学习协方差传播律以及什么是协方差传播律二、学习协方差传播律需要的基础知识返回概述一、为什么要学习协方差传播律返回一、为什么要学习协方差传播律

以及什么是协方差传播律在右图中，A、B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长S和角度β。则P点坐标为：式中：1.问题的提出：在已知观测边长S和角度β的方差和协方差的前提下，如何计算P点坐标的方差和协方差？

2.协方差传播律：是研究函数与自变量之间协方差的运算规律。或者说：

是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。返回一、为什么要学习协方差传播律

以及什么是协方差传播律二、学习协方差传播律需要的基础知识①方差：1、方差与协方差设有随机变量X和Y，则定义：②协方差：③相关与不相关、独立与不独立因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分布的随机变量，“不相关”与“独立”等价，故称不相关观测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。

二、学习协方差传播律需要的基础知识①方差：1、方差与协方差39二、学习协方差传播律需要的基础知识就是观测值向量的方差-协方差阵简称为协方差阵。

2、方差—协方差阵与互协方差阵假定有个不同精度的相关观测值，数学期望和方差分别为和，它们两两之间的协方差为

,用矩阵表示为:①方差—协方差阵二、学习协方差传播律需要的基础知识就是观测值向量学习协方差传播率需要的基础知识设有观测值向量和，它们的数学期望分别为和。令：，则的协方差阵为：式中：是X关于Y的互协方差阵。

②互协方差阵返回学习协方差传播率需要的基础知识设有观测值向量和§3.1协方差传播律

一、观测值线性函数的方差设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即

又设有的线性函数为：如何求Z的方差呢？§3.1协方差传播律一、观测值线性函数的方差设有观测值向§3.1协方差传播律Z的方差为：

令：则：对两边取数学期望，得：即：§3.1协方差传播律Z的方差为：令：则：对43§3.1协方差传播律的纯量形式为：当向量中的各分量两两独立时：（中误差传播律）线性函数的协方差传播律概括如下：设有线性函数：则有：§3.1协方差传播律的纯量形式为：当向量中的各分量两两独立§3.1协方差传播律例3-1在1：500的地图上，量得某两点间的距离=23.4mm的量测中误差=±0.2mm，求该两点实地距离及中误差。解：最后写成:§3.1协方差传播律例3-1在1：500的地图上，量得某§3.1协方差传播律

二、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即：§3.1协方差传播律二、多个观测值线性函数的协方差阵设有§3.1协方差传播律设有t个的线性函数：设有t个的线性函数：令：

则：

如何求Z的协方差阵呢？§3.1协方差传播律设有t个的线性函数：设有§3.1协方差传播律证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。§3.1协方差传播律证明：方法同一个线性函数，均根据方差定§3.1协方差传播律设另有r个的线性函数：设有t个的线性函数：令：

则：

则Y的协方差阵为：§3.1协方差传播律设另有r个的线性函数：设§3.1协方差传播律下面导出互协方差阵的公式：若：则：即：§3.1协方差传播律下面导出互协方差阵的公式：若：则：即：§3.1协方差传播律例3-4在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例3-5设有函数：已知:求:§3.1协方差传播律例3-4在一个三角形中，同精度独立观§3.1协方差传播律上节课小结：一个线性函数：中误差传播律：多个线性函数：若：互协方差阵：无协方差！§3.1协方差传播律上节课小结：一个线性函数：中误差传播律52§3.1协方差传播律

三、非线性函数的情况1.一个非线性函数

设有观测值

的非线性函数：

已知协方差阵

，求方差。若有：取台劳级数至一次项：§3.1协方差传播律三、非线性函数的情况1.一个53§3.1协方差传播律若令：则：同样可得：为什么？§3.1协方差传播律若令：则：同样可得：为什么？§3.1协方差传播律2．多个非线性函数设有观测值的多个非线性函数将函数求全微分得

两组非线性函数时怎样做？§3.1协方差传播律2．多个非线性函数55§3.1协方差传播律应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如：或：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：

3.写成矩阵形式：4.应用协方差传播律求方差或协方差阵：

返回§3.1协方差传播律应用协方差传播律的具体步骤为：返回§3.2协方差传播律的应用

一、水准测量的精度经个N测站测定两水准点A、B间的高差，站的观测高差为，其中第i(i=1,2…N)则A、B两水准点间的高差为：（3-2-1）设各测站观测高差是等精度的独立观测值，其中误差均为则由中误差传播律可得：（3-2-2）若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：（3-2-5）§3.2协方差传播律的应用一、水准测量的精度经个N测站测57

设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值，它们的中误差均等于。则N个观测值的算术平均值为：

由中误差传播律得：

即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以。

§3.2协方差传播律的应用二、同精度独立观测值的算术平均值的精度

设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值，它们的中误差均等于。则N个观测值的算术平均值为：

由中误差传播律得：

即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以。

设对某量以等精度独立观测了N次，得观测值§3.2协方差传播律的应用三、若干独立误差的联合影响一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（1-5-12）并顾及得出它们之间的方差关系式

即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。五、GIS线元要素的方差四、交会定点的精度返回§3.2协方差传播律的应用三、若干独立误差的联合影响§3.3权与定权的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。权是表征精度的相对的数字指标。§3.3权与定权的常用方法一、权的定