中考数学题（三）

2022年湖南初中学业水平考试数学模拟卷(三)(考试时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．(2022·绥化)化简|eq\r(2)－3|的结果正确的是(D)A．eq\r(2)－3B．－eq\r(2)－3C．eq\r(2)＋3D．3－eq\r(2)2．(2022·长沙)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(B)3．(2022·娄底)2022年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%.其中1695.9亿元用科学记数法表示为(D)A．16.959×1010B．1695.9×108C．1.6959×1010D．1.6959×10114．(2022·牡丹江)下列运算正确的是(D)A．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝a2－eq\f(1,4)C．－2(3a－1)＝－6a＋1D．(a＋3)(a－3)＝a2－95．(2022·南充)八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为(单位：环)：4，5，6，6，6，7，8.则下列说法错误的是(D)A．该组成绩的众数是6环B．该组成绩的中位数是6环C．该组成绩的平均数是6环D．该组成绩数据的方差是106．平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A．5B．6C．7D．87．(2022·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(B)A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形8．如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径(直径)为10cm，内径为4cm，在比例尺为1∶4的三视图中，其主视图的面积是(D)A.eq\f(21π,4)cm2B．eq\f(21π,16)cm2C．30cm2D．7.5cm29．(2022·巴中)如图，▱ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使DE∶AD＝1∶3，连接EF交DC于点G，则S△DEG∶S△CFG＝(D)A．2∶3B．3∶2C．9∶4D．4∶9第9题图第10题图10．(2022·河池)如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于点E，则DE的最小值是(B)A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)11．下列因式分解：①a2－3a＋5＝a(a－3)＋5；②x3－4x＝x(x2－4)；③x2－2x＋4＝(x－2)2；④x2＋x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2).正确的有__④__．(填序号)12．分式方程eq\f(4,x2－4x)－eq\f(1,x－4)＝1的解为__x＝－1__．13．若y＝eq\r(x－\f(1,2))＋eq\r(\f(1,2)－x)－6，则xy＝__－3__．14．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则实数m的取值范围是__m≤1__．15．(2022·上海)为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为__3_150__名．16．(2022·泰安)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是__eq\f(64,3)π－8eq\r(3)__．第16题图第17题图17．(2022·眉山)如图，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB，BC于点D，E.若四边形ODBE的面积为12，则k的值为__4__．18．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行，第4列的数是12，则位于第45行，第6列的数是__2_020__．三、解答题(本大题共8小题，共78分)19．(8分)解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（x＋1）≤2，,\f(x＋2,2)≥\f(x＋3,3)，))并求出不等式组的整数解之和．解：解不等式eq\f(1,2)(x＋1)≤2，得x≤3，解不等式eq\f(x＋2,2)≥eq\f(x＋3,3)，得x≥0，则不等式组的解集为0≤x≤3，∴不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6.20．(8分)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)－\f(x2－2x,x2－4x＋4)))÷eq\f(x－4,x－2)，其中x＝4tan45°＋2cos30°.解：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)－\f(x（x－2）,（x－2）2)))÷eq\f(x－4,x－2)＝eq\f(2,x－2)·eq\f(x－2,x－4)＝eq\f(2,x－4).当x＝4tan45°＋2cos30°＝4×1＋2×eq\f(\r(3),2)＝4＋eq\r(3)时，原式＝eq\f(2,4＋\r(3)－4)＝eq\f(2\r(3),3).21．(8分)(2022·绥化)如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)解：由已知，得∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100.在Rt△PAC中，∵sinA＝eq\f(PC,PA)，∴PC＝PA·sin50°≈77(km).在Rt△PBC中，∵sinB＝eq\f(PC,PB)，∴PB＝eq\f(PC,sin37°)≈128(km).答：这时，B处距离观测塔约128km.22．(10分)大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．(1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；(2)若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？解：(1)设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－6b＝36，,a－10b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝1.5.))答：初期购得的原材料为45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨．(2)设再生产x天后必须补充原材料，依题意得45－16×1.5－1.5(1＋20%)x≥3，解得x≤10.答：最多再生产10天后必须补充原材料．23．(10分)(2022·鄂尔多斯)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC.过eq\x\to(BD)上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG.(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝2eq\r(2)，求OM的长．(1)证明：连接OE，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，而∠GFE＝∠AFH，∴∠GEF＝∠AFH，∵AB⊥CD，∴∠OAF＋∠AFH＝90°，∴∠GEA＋∠OAF＝90°，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAF，∴∠GEA＋∠OEA＝90°，即∠GEO＝90°，∴OE⊥GE，∴EG是⊙O的切线．(2)解：连接OC，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OH＝r－2，在Rt△OCH中，(r－2)2＋(2eq\r(2))2＝r2，解得r＝3，在Rt△ACH中，AC＝eq\r(（2\r(2)）2＋22)＝2eq\r(3)，∵AC∥GE，∴∠M＝∠CAH，∴Rt△OEM∽Rt△CHA，∴eq\f(OM,AC)＝eq\f(OE,CH)，即eq\f(OM,2\r(3))＝eq\f(3,2\r(2))，∴OM＝eq\f(3\r(6),2).24．(10分)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸．在一天的抽检结束后，检测员将测得的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号①②③④⑤⑥⑦尺寸/cm8.728.888.928.938.948.968.97⑧⑨⑩EQ\o\ac(○,11)⑪EQ\o\ac(○,12)⑫EQ\o\ac(○,13)⑬EQ\o\ac(○,14)⑭EQ\o\ac(○,15)⑮8.98a9.039.049.069.079.08b按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸/cm产品等次8.97≤x≤9.03特等品8.95≤x≤9.05优等品8.90≤x≤9.10合格品x<8.90或x>9.10非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内．(1)已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm.①求a的值；②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽取到的2件产品都是特等品的概率．解：(1)∵抽检的合格率为80%，∴合格品有15×80%＝12(个)，∴非合格品有3个．而从编号①至编号⑭对应的产品中，只有编号①与编号②对应的产品为非合格品，∴编号为⑮的产品不是合格品．(2)①从编号⑥到编号⑪对应的6个产品为优等品，中间两个产品的尺寸数据分别为8.98和a，eq\f(8.98＋a,2)＝9，∴a＝9.02.②在优等品当中，编号⑥，⑦，⑧对应的产品尺寸不大于9cm，分别记为A1，A2，A3；编号⑨，⑩，⑪对应的产品尺寸大于9cm，分别记为B1，B2，B3，其中的特等品为A2，A3，B1，B2.根据题意列表如下：B1B2B3A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B3))A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B3))A3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B3))∵由上表可知共有9种等可能的结果，其中2件产品都是特等品的结果有4种，∴抽取到的2件产品都是特等品的概率为eq\f(4,9).25．(12分)(2022·滨州)如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．(1)解：设抛物线的函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，由题意，抛物线的顶点为A(2，－1)，∴y＝a(x－2)2－1.又∵抛物线与y轴交于点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，∴－eq\f(1,2)＝a(0－2)2－1，∴a＝eq\f(1,8)，∴抛物线的函数解析式为y＝eq\f(1,8)(x－2)2－1.(2)证明：过点P作PM垂直于对称轴x＝2于点M，连接PF.在Rt△PFM中，PM＝|m－2|，FM＝|n－1|，由勾股定理可得PF＝eq\r(（m－2）2＋（n－1）2).∵点P(m，n)在抛物线y＝eq\f(1,8)(x－2)2－1上，∴n＝eq\f(1,8)(m－2)2－1，∴8n＝(m－2)2－8，8n＋8＝(m－2)2.∴PF＝eq\r(8n＋8＋（n－1）2)＝eq\r(8n＋8＋n2－2n＋1)＝eq\r(n2＋6n＋9)＝eq\r(（n＋3）2).∵n≥－1，∴n＋3≥2>0，∴PF＝n＋3.又∵d＝n－(－3)＝n＋3.∴PF＝d.(3)解：作DG⊥l于点G，交抛物线于点Q，则由(2)可知点Q即为所求，此时△DFQ的周长最小．由(2)可知，QF＝QG，∴DQ＋QF＝DQ＋QG＝DG.又∵连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短，∴△DFQ周长的最小值为DF＋DQ＋FQ＝DF＋DG.又∵DF＝eq\r(（4－2）2＋（3－1）2)＝2eq\r(2)，DG＝3－(－3)＝6，∴△DFQ周长的最小值为2eq\r(2)＋6，此时点Q的横坐标为4，纵坐标为y＝eq\f(1,8)×(4－2)2－1＝－eq\f(1,2)，即点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(1,2))).26．(12分)已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2eq\r(5)cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿A→B→C匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，△APM的面积为Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cm2))，S关于t的函数图象如图②所示．(假设当点M与点A重合时，S＝0)(1)动点M的运动速度为________cm/s，BC的长度为________cm；(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和路线匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿D→C→B匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M，N经过时间x(s)后在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cm2))，S2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cm2)).①求动点N的运动速度v的取值范围；②试探究S1·S2是否存在最大值．若存在，求出S1·S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．eq\o(\s\up7(),\s\do5(①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(③))解：(1)2；10.(2)①∵动点M，N相遇后停止运动，∴动点M和动点N运动的距离之和为AB＋BC＋DC＝20(cm).又∵动点M，N的运动速度分别是2cm/s，v