第2章离散时间系统变换域分析

北京航空航天大学204教研室孙国梁12.3

Z、L、F变换之间的关系已经讨论的Z、L、F定义如下：北京航空航天大学204教研室孙国梁2实际上，上面的四种变换可以分为两大类：

1)连续域变换（傅立叶变换、拉普拉斯变换）

2)离散域变换（Z变换、序列傅立叶变换）。有了上面的定义和条件不难看出：（1）单位圆上的Z变换就是DTFT；（2）虚轴上的拉氏变换就是傅立叶变换；（3）连续域和离散域变换之间？北京航空航天大学204教研室孙国梁3连续时间信号的傅立叶变换连续时间信号的拉普拉斯变换离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的Z变换北京航空航天大学204教研室孙国梁4连续信号为，理想采样信号为，采样后的信号为，其对应的离散序列为，则：着重研究第三类关系北京航空航天大学204教研室孙国梁5北京航空航天大学204教研室孙国梁6对比序列的Z变换：容易看出，当：采样序列的Z变换就等于其理想采样信号的拉氏变换，其间的关系就是从复S平面到复Z平面的映射（多值映射）。北京航空航天大学204教研室孙国梁7下面，我们来讨论这一映射。令：

将其代入映射关系式中可得：复变量Z的模值只与S的实部相对应,其角频率W只与S的虚部相对应，由模拟频率以采样频率为标准归一化得到北京航空航天大学204教研室孙国梁8

1）(S平面虚轴)，对应于（Z平面单位圆上）；

2）(S左半平面)，对应于（Z平面单位圆内）；

3）(S右半平面)，对应于（Z平面单位圆外）。1、与的关系，北京航空航天大学204教研室孙国梁91）(S平面实轴)，对应于（Z平面正实轴）；2）(S平面平行于实轴的直线)，对应于Z平面由原点出发辐角为的射线）；3）由增长到，对应由增长到，即S平面水平带相当于整个Z平面，该映射为多值映射。

2、与的关系，北京航空航天大学204教研室孙国梁10DTFT和CTFT之间的关系？北京航空航天大学204教研室孙国梁11由于：所以有：同样道理，可以得到：北京航空航天大学204教研室孙国梁12一、系统函数及频率响应定义线性时（移）不变系统在时域中可以由其单位冲激响应来完整表示，即：H(z)描述了系统输入输出之间的关系，称之为传递函数或系统函数。1、传递函数存在，频率响应未必存在；2、频率响应表明线性时不变系统不会有新的频率分量产生2.4 离散时间系统函数及频率响应北京航空航天大学204教研室孙国梁13单位圆上的系统函数表征了系统在不同频率下的幅、频特性，称之为系统的频率响应。由系统的频率响应可以看出：任意信号通过线性时不变系统只可能丢失频率分量，而不会产生新的频率分量。北京航空航天大学204教研室孙国梁14设输入的复指数序列为：LTI对输入信号频谱的作用北京航空航天大学204教研室孙国梁15结论

1、当系统为单频输入信号（复信号）时，线性时不变系统的输出为同频信号；

2、其中输出信号的幅度受频率响应的幅值加权，输出信号的相位为输入信号的“相位”与频率响应的相位之和。3、输出等于输入序列乘以该频点处的频率响应，称复指数信号为特征函数北京航空航天大学204教研室孙国梁16信号频率划分1、输入信号可以看作在频域上分段划分的许多个复指数分量信号，2、系统的最终响应是系统对输入信号的每一个复指数分量响应之和。北京航空航天大学204教研室孙国梁17输入为正、余弦信号设由复信号的情况，则得系统的输出为：北京航空航天大学204教研室孙国梁18假设

是实序列，则满足共轭对称条件，幅度为偶对称，相角为奇对称。所以有：北京航空航天大学204教研室孙国梁19衰减群延迟北京航空航天大学204教研室孙国梁20北京航空航天大学204教研室孙国梁21线性时不变系统稳定的充分必要条件是：系统的单位冲激响应绝对可和如果系统函数的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的，反之亦成立；并行结论是系统的频率响应存在且连续（由于收敛域内复变函数解析）。二、系统函数与因果、稳定性的关系北京航空航天大学204教研室孙国梁22对于因果系统而言，其收敛域：。线性时不变系统因果稳定的充分必要条件是：收敛域必须包括单位圆及单位圆外的所有区域，即：系统函数的全部极点必须在单位圆内部。

ZS不稳定稳定北京航空航天大学204教研室孙国梁23常系数线性差分方程处于零状态时，可描述线性时不变系统。系统函数与常系数线性差分方程之间存在何种关系呢？系统函数为：系统函数分子、分母多项式的系数与差分方程的系数相对应。三、系统函数与差分方程的关系北京航空航天大学204教研室孙国梁24上述由差分方程得来的系统函数并没有给定的收敛域，因而可代表不同的系统这和前面我们说过的差分方程并不唯一地确定一个线性系统的单位抽样响应是一致的,需要有相应的边界条件。北京航空航天大学204教研室孙国梁25单边Z变换系统函数实际上仅仅描述了系统在零状态下的情况，即可以用于解决零状态的常系数线性差分方程，对于非零状态则无法解决。主要原因在于采用的是双边Z变换。为了能够完整地解决系统的非零状态解的问题，将对双边Z变换进行变形，构成单边Z变换,如下：北京航空航天大学204教研室孙国梁26其时移特性如下：北京航空航天大学204教研室孙国梁27单边Z变换的时移特性比双边Z变换的时移特性复杂，但却可以用来解决差分方程非零状态的问题。

Ex:求解差分方程：其中：初始条件为：。解：对差分方程两边同时进行单边Z变换，得到：北京航空航天大学204教研室孙国梁28将初始条件代入后可得：所以：北京航空航天大学204教研室孙国梁29根据上面的分解形式，其各种形式解分别为：（一）零状态+零输入（二）齐次解+特解

（三）暂态响应+稳态响应

（四）完全解北京航空航天大学204教研室孙国梁30式中是系统的零点，是系统的极点，它们都由差分方程的系数和决定。另外也可以看出，除比例常数K以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。四、系统零极点与频率响应的关系北京航空航天大学204教研室孙国梁31频率响应北京航空航天大学204教研室孙国梁32北京航空航天大学204教研室孙国梁33北京航空航天大学204教研室孙国梁34北京航空航天大学204教研室孙国梁35北京航空航天大学204教研室孙国梁36北京航空航天大学204教研室孙国梁37北京航空航天大学204教研室孙国梁38对幅度响应的影响：原点处的零、极点对幅度响应无任何影响。经过单位圆上的一个零点，幅度响应就变为零，经过靠近单位圆的零点则会出现谷点；经过单位圆附近的极点时幅度响应就会出现峰点远离极点和零点的区域幅度特性会比较平坦。结论：北京航空航天大学204教研室孙国梁39对相位响应的影响：原点处的零、极点对相位响应为线性作用