4.4 广义灰色关联度

4.4广义灰色关联度一、灰色绝对关联度命题4.4.1设系统行为序列记折线为，令（4.4.1）则1．当为增长序列时，；2．当为衰减序列时，；3．当为振荡序列时，符号不定。由增长序列、衰减序列、振荡序列的定义及积分的性质，上述命题的成立是显然的。定义4.4.1设系统行为序列，为序列算子，且其中，，则称为始点零化算子，为的始点零化像，记为命题4.4.2设系统行为序列的始点零化像分别为令则1．当恒在上方，；2．当恒在下方，；3．当与相交，的符号不定。定义4.4.2称序列各个观测数据间时距之和为的长度。要注意两个长度相同的序列中观测数据个数不一定一样多。例如的长度都是5，但各序列中观测数据个数并不一样多。定义4.4.3设序列与长度相同，,如命题4.4.1中所示，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。这里仅给出长度相同序列之灰色绝对关联度的定义，对于长度不同的序列，可采取删去较长序列之过剩数据或用灰色系统的GM（1，1）模型进行预测，补齐较短序列之不足数据等措施使之化成长度相同的序列，但这样一般会影响灰色绝对关联度的值。定理4.4.1灰色绝对关联度满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。证明1．规范性：显然，.又，所以。2．偶对对称性：易知成立。3．接近性：显然成立。4．由于灰色绝对关联度仅仅是序列与之间关联程度的度量，未考虑其它因素，故这里没有整体性问题。命题4.4.3设序列与的长度相同，令其中为常数，若与的灰色绝对关联度为，则。事实上，对，进行平移不会改变和的值，因此也不改变。定义4.4.4若序列X各对相邻观测数据间时距相同，则称X为等时距序列。引理4.4.1设X为等时距序列，若其时距，则时间轴可将X化为1－时距序列。证明设，在上述变换下，变为，变为，于是变为此为1－时距序列。引理4.4.2设与的长度相同，且皆为-时距序列，而分别为与的始点零化像，则证明分以下三种情况讨论：1．，为增长序列或衰减序列，且折线与不相交此时，，和分别为由，，，，，，所围成的曲边三角形的面积，他们都是个小梯形1)这里三角形视为退化的梯形.的面积之和。这些小梯形的高都是，中小梯形的底边长依次为1)这里三角形视为退化的梯形.中小梯形的底边长依次为中小梯形的底边长依次为所以由，为增长序列或衰减序列且折线与不相交可知，对于，诸符号相同，诸符号相同，诸符号相同，于是有2．，为振荡序列，折线与不相交因为与不相交，由1．中的讨论可知，下面讨论，。因为振荡序列，此时，为由，，所围成的图形之各部分面积的代数和，其中位于之上的部分取正号，位于之下的部分取负号。设仅改变一次符号，为其中惟一的变号点偶。设，，于；；记则图4.4.1现在来计算.如图4.4.1所示，直线的方程为由此可得与的交点为于是有因为，，所以从而考虑到；；即得对于，的情形，亦可类似讨论。对于出现多个变号点偶的情形，对各变号点偶分别讨论，亦不难得出同理可证，当为振荡序列时，亦有3．，为振荡序列，且与相交由2．已有，而为由，，所围成的图形之各部分面积的代数和，其中位于之上的部分取正号，位于之下的部分取负号，仿2．可证得定理4.4.2设序列，长度相同，时距相同，且皆为等时距序列，则证明由引理4.4.1，不妨设，皆为-时距序列，再由引理4.4.2和定义4.4.3，即得结论。定理4.4.3设序列和长度相同，当它们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空穴使之化成时距相同的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。证明分以下几种情形讨论：1．，为时距相同的非等时距序列设仅有一个相邻点偶间的时距为，其它各相邻点偶间的时距皆为，并设，的始点零化像分别为这里，我们只需填补空穴。令，则，皆已化为等时距序列。令，，在未置入时，置入后，同理可证，，亦皆不变，从而，，，不变，故不变。仿引理4.4.2，不难推知，无论点偶，及,是否为变号点偶，以上结论都成立。2．，皆为等时距序列，但它们的时距不同我们不妨设为－时距序列，为－时距序列，设，的始点零化像分别为只需以，填补中相应的空穴，，即化为时距相同的等时距序列，其余的讨论同1．.3．，时距不同且至少有一个为非等时距序列首先作2．中的均值生成填补数据不足序列的对应空穴，将，化为同时距序列，再作1．中的均值生成将，分别化为等时距序列，关于不变的证明与1．中类似。对于序列中两个行为数据之间有多个空穴的情形，可采取分层逐次进行均值生成依次填补空穴，亦可通过作图，将空穴左邻第一个数据与右邻第一个数据连成直线，按照时序在直线上依次取点填补空穴，同理可证，采取这些措施都不会改变灰色绝对关联度的值。例4.4.1设序列试求其绝对关联度。解（1）将化为与时距相同的序列，令于是有（2）将，化为等时距序列，令已皆为1－时距序列。（3）求始点零像化，得（4）求，，（5）计算灰色绝对关联度定理4.4.4灰色绝对关联度具有下列性质：（1）；（2）只与和的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，或者说，平移不改变绝对关联度的值；（3）任何两个序列都不是绝对无关的，即恒不为零；（4）与几何上相似程度越大，越大；（5）与平行，或围绕摆动，且位于之上部分的面积与位于之下部分的面积相等时，；（6）当或中任一观测数据变化时，将随之变化；（7）与长度变化，亦变；（8）（9）。二、灰色相对关联度定义4.4.5设序列，长度相同，且初值皆不等于零，，分别为，的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为。灰色相对关联度是序列与相对于始点的变化速率之联系的表征，与的变化速率越接近，越大，反之就越小。命题4.4.4设，为长度相同且初值皆不等于零的序列，若，其中为常数，则。证明设，则其初值像分别为所以，从而其绝对关联度等于1，因此，与的相对关联度。命题4.4.5设，为长度相同且初值皆不等于零的序列，则其相对关联度与绝对关联度的值没有必然联系，当较大时，可能很小；很小时，也可能很大。证明设，，若，则，即，，的初值像分别为与相应的为易见，只要和的绝对值充分大，就充分大，从而与的绝对关联度即与的相对关联度可充分小。若，，即与，相应的为只要和的绝对值充分大，就充分大，从而，的绝对关联度可充分小。例4.4.2计算例4.4.1中与的相对关联度。解（1）将化为与时距相同的序列，令于是有（2）将，化为等时距序列，令于是已皆为1－时距序列。（3）求，初值像，得(4)求，的始点零像化（5）求，，（6）计算灰色相对关联度命题4.4.6设，为长度相同且初值皆不等于零的序列，为非零常数，与的相对关联度为，则。或者说，数乘不改变相对关联度。事实上，与的初值像分别等于，的初值像，数乘在初值化算子作用下无效，故。定理4.4.5灰色相对关联度具有下列性质：（1）；（2）只与序列和的相对于始点的变化速率有关，而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相对关联度的值；（3）任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即恒不为零；（4）与相对于始点的变化速率越趋于一致，越大；（5）与相对于始点的变化速率相同，即；或与的初值像的始点零像化像，满足：围绕摆动，且位于之上部分的面积与位于之下部分的面积相等时，；（6）当或中任一观测数据变化时，将随之变化；（7）与序列长度变化，亦变；（8）（9）。三、灰色综合关联度定义4.4.6设序列，长度相同，且初值不等于零，和分别为与的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，，则称为与的灰色综合关联度，简称综合关联度。灰色综合关联度既体现了折线与的相似程度，又反映出与相对于始点的变化速率的接近程度，是较为全面地表征序列之间联系是否紧密的一个数量指标。一般地，我们可取，如果对绝对量之间的关系较为关心，可取大一些；如果对变化速率看得较重，可取小一些。例4