非线性系统的初步探究

摘要一个系统,如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。从数学上看，非线性系统的特征是叠加原理不再成立。本实验通过MATLAB建模了解非线性系统的一般特征，又通过测量非线性电阻的伏安特性曲线，了解非线性电阻特性，从而搭建出串联谐振电路，通过改变其状态参数，观察到振荡周期分岔现象和混沌现象。关键词：非线性系统非线性电阻分岔现象混沌现象目录引言实验原理2.1非线性系统及其特征.......................................2.2虫口问题的理论分析........................................2.3非线性电阻伏安特性实验2.3.1非线性电阻..........................................2.3.2非线性电阻伏安特性实验..............................2.4混沌波形发生实验..........................................实验仪器.....................................................四、实验内容及步骤4.1非线性电阻的伏安特性实验..................................4.2混沌波形发生实验..........................................注意事项.....................................................六、数据处理及分析6.1虫口问题的模拟画图及分析6.1.1程序代码...........................................6.1.2图像及分析.........................................6.2非线性电阻的伏安特性实验................................6.3混沌波形发生实验........................................七、总结........................................................非线性系统的初步探究引言1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。非线性科学倍誉为继相对论和量子力学之后，20世纪物理学的“第三次重大革命”。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并成为涉及现代科学的逻辑体系的的根本性问题。本实验的目的是了解非线性系统的特征，学习有源非线性电阻元件的工作原理，借助串联谐振电路掌握非线性动力学运动的一般规律性。通过本实验的学习拓展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。实验原理2.1非线性系统及其特征一个系统,如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。从数学上看，非线性系统的特征是叠加原理不再成立。非线性系统横断各个专业，渗透各个领域。如：脑电波作为一种反应大脑皮层电势变化的生理信号，具有非平稳特性；由于系统参数的不确定性，以及系统受到不确定因素的干扰，倒立摆是一个多变量、严重非线性和绝对不稳定的系统；两个眼睛的视敏度是一个眼睛的6-10倍。可见，非线性就在我们身边。除了输出不与其输入成正比，非线性系统还具有以下特征：在运动形式上，非线性现象表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变；非线性系统中参数的极微小变动，在一些关节点上，可以引起系统运动形式的定性改变。2.2虫口问题的理论分析假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二个春天每个虫卵孵化成虫。显然，若产卵数大于1，则虫口数目会迅速增加。但又由于争夺有限的食物和生存空间而发生咬斗事件，或因接触感染而导致疾病蔓延，虫口数目又会减少。综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，得到虫口方程如下：（1）式中，n=1，2，3...,λ∈[0,4],xn∈[0,1]。假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0，且N0>>1，第n代虫口数为Nn,则第n代相对虫口数xn=Nn/N0。显然xn≤1。λ为控制参量，虫口模型要求λ取值[0,4]，是因为在λ＞4时会出现发散现象，方程会失去意义。如当λ=5时，xn+1=5xn(1-xn),代入xn=0.5时得到xn+1=1.25,而最大相对虫口数只能为1，xn=1.25无意义。作为一个非线性系统模型，虫口模型的解会随控制参量（时间n即控制参量λ）的变化而变化，用Matlab可以作出关于λ确定，xn与n的关系以及n→∞时xn随λ的分布情况的图形。2.3非线性电阻伏安特性实验2.3.1非线性电阻一般的器件是有线的正阻，即当电阻两端啊的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且I-U呈线性变化。相对的有非线性器件和负阻，有源非线性负阻变现在当电阻两端的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流时才会产生，而正阻不论有没有电流流过总是存在的。从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，时耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。图2.3.1实验室中的非线性电阻一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种负阻称为有源负阻。2.3.2非线性电阻伏安特性实验图2.3.2非线性电阻伏安特性原理框图2.4混沌波形发生实验非线性电路如图2.4.1所示。其包含一个非线性电阻R=1/g，为一个有源非线性负阻元件，电感L与C2组成一个损耗很小的振荡回路。可变电阻1/G和电容构成移相电路。由基尔霍夫节点电流定律可以得到串联谐振电路的非线性动力学方程：ic1=i-iRic2=iL-iL(diL/dt)=-Uc2即C1(dUc1/dt)=G(Uc2-Uc1)-Uc1/RC2(dUc2/dt)=G(Uc1-Uc2)+iLL(diL/dt)=-Uc2LL图2.4.1非线性电路图方程组中Uc1、Uc2和iL任何一个量都可以描述系统状态。数值结果表明，对Uc1、Uc2和iL分别求解，可以得到系统相同的运动规律，即由周期振荡通过倍周期分岔进出混沌，具体发展是：周期振荡→2周期→2n周期→阵发混沌→单吸引子→双吸引子临界状态→双吸引子→稳定双吸引子。方程组中R、L、C1、和C2的取值对计算结果的影响极大，取值只要发生微小变化甚至10-6量级，解就会从一个态变成另一个态，甚至从稳定态变成不稳定态，从周期状态变成混沌状态。实验仪器混沌原理及应用实验仪、双通道数字示波器（1台）、电缆连接线（2根）实验内容及步骤4.1非线性电阻的伏安特性实验在混沌原理及应用实验仪面板上接上跳线J1、J2，并将可调电压源处电位器旋钮逆时针旋转到头，在混沌单元1中插上非线性电阻NR1。连接混沌原理及应用实验仪电源，打开机箱后侧的电源开关。面板上的电流表应有电流显示，电压表也应有显示值。按顺时针方向慢慢旋转可调电压源上的电位器，并观察混沌面板上的电压表的读数，每隔0.2V记录面板上的电压表和电流表上的读数，直到旋钮逆时针旋转到头，将数据记录于表1中。以电压为横坐标，电流为纵坐标用第三步所记录的数据绘制非线性电阻的伏安特性曲线。找出曲线拐点，分别计算五个区间的等效电阻值。4.2混沌波形发生实验拔除跳线J1、J2，在混沌原理及应用实验仪面板的混沌单元1中插上电位器W1、电感L1、电容C1、电容C2、非线性电阻NR1，并将电位器W1上的旋钮顺时针旋转到头。用两根Q9线分别连接示波器的CH1和CH2端口到混沌原理及实验仪面板上标号Q8和Q7处。打开机箱后侧的电源开关。把示波器的时基档切换到X-Y。调节示波器通道CH1和CH2的电压档位时示波器显示屏上能显示整个波形，逆时针旋转电位器W1直到示波器上的混沌波形变为一个点，然后慢慢顺时针旋转电位器W1并观察示波器，示波器上应逐次出现单周期分岔（见图4.2.1）、双周期分岔（见图4.2.2）、四周期分岔（见图4.2.3）、多周期分岔（见图4.2.4）、单吸引子（见图4.2.5）、双吸引子（见图4.2.6）现象。图4.2.1单周期分岔图2.4.2双周期分岔图2.4.3四周期分岔图2.4.4多种周期分岔图2.4.5单吸引子图2.4.6双吸引子注意事项在调试出双吸引子图形时，注意感觉调节电位器的可变范围。即在某一范围内变化，双吸引子都会存在。最终应该将调节电位器调节到这一范围的中间点，这时双吸引子最为稳定，并易于观察清楚。数据处理及分析6.1虫口问题的模拟画图及分析6.1.1程序代码（a）λ取固定值，x0为在[0,1]间的任意初值，迭代次数足够大时xn的变化趋势，即xn-n图像。程序代码如下：x0=abs(sin(randn));%x0取[0,1]间的随机数y0=0;lamda=0.8;%λ取固定值xn=x0;%将x0赋给迭代变量xnforn=1:150%以n为循环变量开始循环迭代xn=lamda*xn*(1-xn)%进行迭代150次plot(n,xn,’*b’);%画出每次迭代出的xn值，横坐标为迭代次数holdonEnd(b)用另一种方式找出xn与n的关系。固定参量λ后，将式（1）右边看作y=λx(1-x),将其作为映射函数。为把每一次迭代结果变成下一次的输入量，在图上画一条等分角线y=x,并通过它与映射函数之间做一次投影。取一个初值x0，在图上不断作竖直线和水平线来实现迭代，得到一条轨线x0,x1,x2,…xi,…，其中每一个xi是一个轨道点。程序代码如下：x0=abs(sin(randn));%x0取[0,1]间的随机数xn=x0;yn=y0;lamda=1.2;%设定初值x=0:0.001:1;y=lamda.*x.*(1-x);%得出表达式y=λx(1-x)plot(x,y,’r’);%画出抛物线holdonplot(x,x);%画出等分角线y=xforn=1:150%建立循环开始迭代yn=lamda*xn*(1-xn);%迭代关系式line([xnxn],[xnyn]);%画竖线，与抛物线相交于[xn,yn]点line([xnyn],[ynyn]);%从[xn,yn]点画横线交等分角线于[xn,yn]点xn=yn;%将映射所得的yn赋给下一次迭代的初值xnend%结束循环(c)n取足够大（150次），对于不同的λ，继续迭代若干次，得到定解ξ与参数λ的关系，及ξ-λ图像。程序代码如下：x0=abs(sin(randn));%x0取随机数lamda=0:0.001:4;%λ从0连续取到4，步长为0.001xn=x0;%将x0赋给迭代变量xnfori=1:150%进行迭代循环得到稳定的定解ξxn=lamda.*xn.*(1-xn);%迭代150次endfori=1:200%再进行循环，看定常解ξ与λ的关系xn=lamda.*xn.*(1-xn);%用定常解进行迭代plot(lamda,xn,’k’);%画图holdonend6.1.2图像及分析(a)λ取固定值，x0为在[0,1]间的任意初值，迭代次数足够大时xn的变化趋势，即xn-n图像。（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.1Lamda=0.8,x0=0.19（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.2Lamda=0.8,x0=0.02由图6.1.1、图6.1.2可看出，对于不同的初值，经过一定次数的迭代，都趋近于一个相同稳定值，即x=0。这个平衡点即是说，随着时间的推移，无论初值如何，系统将向稳定不动点发展演化。（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.3Lamda=1.8,n0=0.17（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.4Lamda=1.8，X0=0.20由图6.1.3、图6.1.4可看出，当λ=1.8时，发现经过一定次数的迭代后，系统有了另一个稳定的不动点，在0.444左右。即若初值取不为0的数，迭代结果总会向0.444逼近。若取x0=0，则xn==0，即x=0仍是方程的一个不动点。（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.5Lamda=3.21,x0=0.04由图6.1.5可看出，当λ=3.21，n取足够大时，xn不再趋于一个稳定点，而是在两个稳定点0.80和0.51之间来回振动，即系统迭代结果出现了2倍周期分岔，xn-n曲线变成了两条。这意味着虫子的数量今年多，明年少，后年又多起来，但总是在两个确定的数之间波动。（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.6Lamda=3.5,x0=0.79由图6.1.6可看出，当λ=3.5时，系统的迭代结果在4个稳定点间周期性振动，xn-n曲线分成了4条，系统出现4倍周期分岔。（a）迭代图(b)xn-n图图6.1.7Lamda=3.7,x0=0.01由图6.1.7可看出，当λ=3.7时，系统又一次发生了突变，看不出存在的稳定点，即系统已经失稳，得到的迭代结果似乎只是一系列的随机序列，xn-n图时一些杂乱无章的点。综上，系统的演化结果和稳定性λ与λ有关。(b)n取足够大（150次），对于不同的λ，继续迭代若干次，得到定解ξ与参数λ的关系，及ξ-λ图像。从图6.1.8可以看出λ对系统演化的影响。0<λ<1范围内，系统只有一个稳定的平衡点，即零点。1<λ<3范围内，迭代收敛，迭代结果总是趋向一个稳定的不动点，为一个非零周期解，同样对应系统的稳定状态。3<λ<3.5699迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中系统在3<λ<3.3449之间为2周期，在3.3449<λ<3.544间为4周期...随着λ的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.5699时分岔周期变为∞，最后可取图6.1.8分岔图(0<λ<4)无穷多不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于无周期，系统开始进入完全的混沌状态，混沌状态λ的范围为[3.5699,4]。6.2非线性电阻的伏安特性实验表6.2.1非线性电阻的伏安特性测量电压（V）-13.44-13.24-13.04-12.84-12.64-12.44-12.24-12.04电流（mA）-2.4-1.9-1.4-1-0.500.40.9电压（V）-11.84-11.64-11.44-11.24-11.04-10.84-10.64-10.44电流（mA）1.41.92.32.83.33.84.34.8电压（V）-10.24-10.04-9.84-9.64-9.44-9.24-9.04-8.84电流（mA）4.84.74.64.64.54.44.34.2电压（V）-8.64-8.44-8.24-8.04-7.84-7.64-7.44-7.24电流（mA）4.14.143.93.83.73.73.6电压（V）-7.04-6.84-6.64-6.44-6.24-6.04-5.84-5.64电流（mA）3.53.43.33.23.23.132.9电压（V）-5.44-5.24-5.04-4.84-4.64-4.44-4.24-4.04电流（mA）2.82.82.72.62.52.42.32.3电压（V）-3.84-3.64-3.44-3.24-3.04-2.84-2.64-2.44电流（mA）2.22.121.91.81.81.71.6电压（V）-2.24-2.04-1.84-1.64-1.44-1.24-1.04-0.84电流（mA）1.51.41.41.21.10.90.80.6电压（V）-0.64-0.44-0.24-0.040.160.360.560.76电流（mA）0.50.30.20-0.1-0.2-0.4-0.5电压（V）0.961.161.361.561.761.962.162.36电流（mA）-0.7-0.8-1-1.2-1.3-1.3-1.4-1.5电压（V）2.562.762.963.163.363.563.763.96电流（mA）-1.6-1.7-1.8-1.8-1.9-2-2.1-2.2电压（V）4.164.364.564.764.965.165.365.56电流（mA）-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7-2.7-2.8电压（V）5.765.966.166.366.566.766.967.16电流（mA）-2.9-3-3.1-3.2-3.2-3.3-3.4-3.5电压（V）7.367.567.767.968.168.368.568.76电流（mA）-3.6-3.6-3.7-3.8-3.9-4-4.1-4.1电压（V）8.969.169.369.569.769.9610.1610.36电流（mA）-4.2-4.3-4.4-4.5-4.3-3.9-3.5-3.1电压（V）10.5610.7610.9611.1611.3611.5611.7611.96电流（mA）-2.7-2.3-1.8-1.4-0.9-0.50