2022年新高考全国Ⅱ卷数学试题及答案解析

年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）已知集合A={−1,1,2,4}，B={x||x−1|≤1}，则A∩B=(    )A.{−1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{−1,4}(2+2i)(1−2i)=(    )A.−2+4i B.−2−4i C.6+2i D.6−2i图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，若<a，A.−6 B.−5 C.5 D.6甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(    )A.12种 B.24种 C.36种 D.48种若sin(α+β)+cos(α+β)=22A.tan(α−β)=1 B.tan(α+β)=1

C.tan(α−β)=−1已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.100π B.128π C.144π D.192π已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则k=122fA.−3 B.−2 C.0 D.1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3A.f(x)在区间(0,5π12)单调递减

B.f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点

C.直线x=7π已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0).若|AF|=|AM|，则A.直线AB的斜率为26 B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF| D.如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED，AB=ED=2FB.记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(    )A.V3=2V2

B.V3=若x，y满足x2+y2A.x+y≤1 B.x+y≥−2 C.x2+y三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=______曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为______，______．设点A(−2,3)，B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1−S2+S3=32，sinB=1在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 )．如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E为PB的中点．

(1)证明：OE//平面PAC；

(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0已知函数f(x)=xeax−ex．

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；

(3)设n∈N∗，证明：111.【答案】B【解析】解：|x−1|≤1，解得：0≤x≤2，

∴集合B={x|0≤x≤2}

∴A∩B={1,2}．

故选：B．

解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．

2.【答案】D【解析】解：(2+2i)(1−2i)=2−4i+2i−4i2=6−2i．

故选：D．

由已知结合复数的四则运算即可求解．3.【答案】D【解析】解：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k4.【答案】C【解析】解：∵向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a+tb，

∴c=(3+t,4)，

∵<a，c>=<b，c>，

∴a⋅c|a|⋅|c|=b⋅c|b5.【答案】B【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A22⋅A44=48种情况，

甲站在两端的情况有33C21AA22=246.【答案】C【解析】解：因为sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ，

所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sinβ，

即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sinβ，

所以sin(α+π4)cosβ+sinβcos(α+π4)=2cos(α+7.【答案】A【解析】解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为332sin60°=3，下底面所在平面截球所得圆的半径为432sin60°=4，如图，

设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得R2−32+R2−42=1，解得8.【答案】A【解析】解：令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=f(x)，即f(x+1)=f(x)−f(x−1)，

∴f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，

∴f(x+3)=−f(x)，则f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，

∴f(x)的周期为6，

令x=1，y=0得f(1)+f(1)=f(1)×f(0)，解得f(0)=2，

又f(x+1)=f(x)−f(x−1)，

∴f(2)=f(1)−f(0)=−1，

f(3)=f(2)−f(1)=−2，

f(4)=f(3)−f(2)=−1，

f(5)=f(4)−f(3)=1，

f(6)=f(5)−f(4)=2，

∴k=16f(k)=1−1−2−1+1+2=0，

∴k=122f(k)=3×0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=−3．

故选：A．

9.【答案】AD【解析】解：因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，

所以2×2π3+φ=kπ，k∈Z，

所以φ=kπ−4π3，

因为0<φ<π，

所以φ=2π3，

故f(x)=sin(2x+2π3)，

令π2<2x+2π3<3π2，解得−π12<x<5π12，

故f(x)在(0,5π12)单调递减，A正确；

x∈(−π12,11π12)，2x+2π3∈(π2,5π2)，

根据函数的单调性，故函数f(x)在区间(−10.【答案】ACD【解析】解：如图，

∵F(p2,0)，M(p,0)，且|AF|=|AM|，∴A(3p4,6p2)，

由抛物线焦点弦的性质可得xA⋅xB=p24，则xB=p3，则B(p3,−6p3)，

∴kAB=kAF=6p2−03p4−p2=26，故A正确；

|OB|=p29+611.【答案】CD【解析】解：设AB=ED=2FB=2，

∵ED⊥平面ABCD，∴|ED|为四棱锥E−ABCD的高，

∵FB//ED，∴|FB|为三棱锥F−ABC的高，

∵平面ADE//平面FBC，∴点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，

即三棱锥E−FBC的高=|DC|=2，

几何体的体积V=VE−ABCD+VE−FBC+VE−ABF=13×SABCD×|ED|+13×S△FBC×|DC|+13×S△ABF×|AB|=4，

V1=13×S△ACD×|ED|=43，

V2=1312.【答案】BC【解析】解：由x2+y2−xy=1可得，(x−y2)2+(32y)2=1，

令x−y2=cosθ32y=sinθ，则x=33sinθ+cosθy=233sinθ，

∴x+y=3sinθ+cosθ=2sin(θ+π13.【答案】0.14【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，

∴P(2<X≤2.5)+P(X>2.5)=0.5，

∴P(X>2.5)=0.5−0.36=0.14，

故答案为：0.14．

利用正态分布曲线的对称性求解．14.【答案】x−ey=0

x+ey=0【解析】解：当x>0时，y=lnx，设切点坐标为(x0,lnx0)，

∵y′=1x，∴切线的斜率k=1x0，

∴切线方程为y−lnx0=1x0(x−x0)，

又∵切线过原点，∴−lnx0=−1，

∴x0=e，

∴切线方程为y−1=1e(x−e)，即x−ey=0，

当x<0时，y=ln(−x)，与y=lnx的图像关于y轴对称，

∴切线方程也关于y轴对称，

∴15.【答案】[【解析】解：点A(−2,3)，B(0,a)，kAB=a−32，所以直线AB关于y=a对称的直线的向量为：3−a2，所以对称直线方程为：y−a=3−a2⋅x，即：(3−a)x−2y+2a=0，

(x+3)2+(y+2)2=1的圆心(−3,−2)，半径为1，

所以|3(a−3)+4+2a|4+(3−a)2≤1，得12a16.【答案】x+【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为E，

由x126+y123=1，x226+y223=1，

相减可得：y22−y12x22−x12=−12，

则kOE⋅kAB=y1+y2x1+x2⋅y2−y1x2−x1=y22−y12x22−x12=−117.【答案】解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，

由a2−b2=a3−b3，得a1+d−2b1=a1+2d−4b1，则d=2b1，

由a2−b2=b4−a4，得a1+d−2b1=8【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1+d−2b1=a1+2d−4b1，a1+d−218.【答案】解：(1)S1=12a2²sin60°=34a2²，

S2=12b2²sin60°=34b2²，

S3=12c2²sin60°=34c2²，

∵S1−S2+S3=34a2²−34b2²+34c【解析】(1)根据S1−S2+S3=32，求得a2−b2+c2=2，由余弦定理求得19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：

x−=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10=47.9岁．

(2)该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的频率为：

(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89，

∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89．

(3)设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40,50)为事件B，此人患这种疾病为事件C，

则【解析】(1)利用平均数公式求解即可．

(2)利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．

(3)利用条件概率公式计算即可．

本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．

20.【答案】解：(1)证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，

又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，

∴∠POA=∠POB=90°，

又PA=PB，OP=OP，则△POA≌△POB，

∴OA=OB，

延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，

在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE//PF，

∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，

∴OE//平面PAC；

(2)过点A作AM//OP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由于PO=3，PA=5，由(1)知OA=OB=4，

又∠ABO=∠CBO=30°，则AB=43，

∴P(23,2,3),B(43,0,0),A(0,0,0),E(33,1,32)，

设AC=t，则C(0,t,0)，

设平面AEB的一个法向量为n=(x,y,z)，又AB=(43,0,0),AE=(33,1,32)，

则n⋅AB=43x=0n⋅AE=33x+y+3【解析】(1)连接OA，OB，可证得OA=OB，延长BO交AC于点F，可证得OE//PF，由此得证；

(2)建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解．

本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)由题意可得ba=3，a2+b2=2，

解得a=1，b=3，

因此C的方程为x23−y2=1，

(2)设直线PQ的方程为y=kx+b，(k≠0)，将直线PQ的方程代入x23−y2=1可得(3−k2)x2−2kbx−b2−3=0，

∴x1+x2=2kb3−k2，x1x2=−b2+33−k2，

∴x1−x2=(x1+x2)2−4x1x2=23⋅b2+3−k23−k2，

设点M的坐标为(xM.yM)，则yM−y1=−3(xM−x1)yM−y2=3(xM−x2)，

两式相减可得y1−y2=23xM−3(x1+x2)，

∵y1−y2=k(x1−x2)，

∴23xM=3(x1+x2)+k(x1−x2)，

解得XM=kb2+3−k2+kb3−k2，

两式相减可得2yM−(y1+y2)=3(x1+x2)，

∵y1+y2=k(x1+x2)+2b，

∴2y【解析】(1)根据渐近线方程和a2=b2+c2即可求