湖南长沙长郡教育集团2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（）A．（3，0） B．（﹣3，﹣9） C．（3，﹣9） D．（0，﹣6）2．若2a＝3b，则下列比列式正确的是（）A． B． C． D．3．抛物线的顶点坐标为A． B． C． D．4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．若是方程的两根，则的值是（）A． B． C． D．6．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是A． B． C． D．7．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A．1颗 B．2颗 C．3颗 D．4颗8．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．－19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．2π C．4 D．4π10．已知，则下列各式中不正确的是（）A． B． C． D．11．下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等12．在同一坐标系中，反比例函数y＝与二次函数y＝kx2+k(k≠0)的图象可能为()A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知中，，，，则的长为__________．14．在△ABC中，已知（sinA-）2+│tanB-│=1．那么∠C=_________度．15．在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（结果保留π）．16．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转，得，则点的坐标为_________.17．一组数据6，2，–1，5的极差为__________．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程：x2－5=4x．20．（8分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，1．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．21．（8分）解方程：x2＋x﹣3＝1．22．（10分）在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为，且经过点．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线y=-x-1与该二次函数图象的交点坐标．23．（10分）用配方法解方程：24．（10分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，（1）求点C到直线AB的距离；（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）25．（12分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB．（1）证明：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，BD＝6，求边AC的长．26．在正方形和等腰直角中，，是的中点，连接、.（1）如图1，当点在边上时，延长交于点.求证：；（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形为菱形，且，为等边三角形，点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．【详解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.2、C【分析】根据比例的性质即可得到结论．【详解】解：∵2a＝3b，∴故选：C．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知其变形.3、B【分析】利用顶点公式，进行计算【详解】顶点坐标为故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练运用抛物线顶点的公式是解题关键.4、B【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5、D【解析】试题分析：x1+x2=-=6，故选D考点:根与系数的关系6、A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范围为a≤且a≠0.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b2-4ac的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的十数根；当△＜0时，方程没有实数根.7、B【解析】试题解析：由题意得，解得：．故选B．8、C【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴.即a的取值范围是且.∴整数a的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.9、B【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝AB2+AC2=42，∠ACB＝∠∴阴影部分的面积＝45π·(42)故选B．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.10、C【分析】依据比例的基本性质，将比例式化为等积式，即可得出结论．【详解】A.由可得，变形正确，不合题意；B.由可得，变形正确，不合题意；C.由可得，变形不正确，符合题意；D.由可得，变形正确，不合题意．故选C．【点睛】本题考查了比例的性质，此题比较简单，解题的关键是掌握比例的变形．11、A【解析】试题分析：A．等弧所对的圆心角相等，所以A选项正确；B．三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C．经过不共线的三点可以作一个圆，所以C选项错误；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．故选C．考点：1．确定圆的条件；2．圆心角、弧、弦的关系；3．三角形的外接圆与外心．12、D【解析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y=，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向上下与y轴交点在原点下方，D符合；②当k＞0时，反比例函数y=，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向上，与y轴交点在原点上方，都不符．分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D．故选D．【点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．二、填空题（每题4分，共24分）13、5或1【分析】作交BC于D，分两种情况：①D在线段BC上；②D在线段BC的延长线上，根据锐角三角函数值和勾股定理求解即可．【详解】作交BC于D①D在线段BC上，如图∵∴∴，在Rt△ACD中，由勾股定理得∴②D在线段BC的延长线上，如图∵∴∴，在Rt△ACD中，由勾股定理得∴故答案为：5或1．【点睛】本题考查了解三角形的问题，掌握锐角的三角函数以及勾股定理是解题的关键．14、2【分析】直接利用非负数的性质和特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的度数，进而根据三角形内角和定理得出答案．【详解】∵(sinA)2+|tanB|=1，∴sinA1，tanB1，∴sinA，tanB，∴∠A=45°，∠B=61°，∴∠C=181°-∠A-∠B=181°-45°-61°=2°．故答案为：2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解答本题的关键．15、．【解析】试题分析：将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是就是以点B为圆心，BC为半径所旋转的弧，根据弧长公式即可求得．试题解析：∵AB=4，∴BC=2，所以弧长=．考点：1．弧长的计算；2．旋转的性质．16、【分析】把点A绕点O顺时针旋转90°得到点A′，看其坐标即可．【详解】解：由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，由图中可以看出，点A′的坐标为（1，3），

故答案为A′（1，3）．【点睛】本题考查点的旋转坐标的求法；得到关键点旋转后的位置是解题的关键．17、7【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.18、．【解析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案为．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．三、解答题（共78分）19、x1=5，x2=﹣1．【解析】试题分析：移项后，用因式分解法解答即可．试题解析：解：∵x2﹣5=4x，∴x2﹣4x﹣5=0，∴（x﹣5）（x+1）=0，∴x﹣5=0或者x+1=0，∴x1=5，x2=﹣1．20、（1）结果见解析；（2）13【解析】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的1种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：412试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．21、x1＝-1+132，x2＝【解析】利用公式法解方程即可.【详解】∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，∴b2﹣4ac＝1＋12＝13＞1，∴x＝﹣1∴x1＝-1+132，x2＝【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解答的关键.22、（1）；（2）两个函数图象的交点坐标是和．【分析】（1）根据题意可设该二次函数的解析式为，把点代入函数解析式，求出a值，进而得出该二次函数的解析式；（2）由题意直线y=-x-1与该二次函数图象有交点得，进行求解进而分析即可.【详解】解：（1）依题意可设该二次函数的解析式为，把代入函数解析式，得，解得，故该二次函数的解析式是.（2）据题意，得，得，.当时，可得；当时，可得.故两个函数图象的交点坐标是和.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是设出二次函数的顶点式，求出函数解析式．23、x1=+1，x2=+1【分析】先把方程进行整理，然后利用配方法进行解方程，即可得到答案.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴x1=+1，x2=+1.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法进行解一元二次方程.24、（1）40海里；（2）小时．【分析】（1）作CD⊥AB，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°知CD＝AC，据此可得答案；（2）根据BC＝求得BC的长，继而可得答案．【详解】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴点C到直线AB距离CD＝AC＝40(海里）．（2）在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，∴BC＝≈＝50（海里），∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.25、（1）见解析;（2）1.【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式求解即可．【