函数的最值与导数

函数的最值与导数(教学设计)教学目标课程目标：运用导数研究函数的单调性，解决函数的一个重要性质——最值素养目标：通过研究函数的导数画出函数的简图，分析函数的最值，培养学生直观想象、数学抽象和数学建模素养教学重难点重点：研究带参数的函数的导数；难点：利用导数求最值教学过程一、复习引入1.用导数确定函数单调性的基本原理是什么？f′(x)≥0f(x)单调递增；f′(x)≤0f(x)单调递减，其中f′(x)不恒等于0.2.用导数确定函数极值的基本原理是什么？当时（1）在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值；（2）在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值.3.用导数求函数极值的步骤是什么？1).写出定义域；2).求导函数；3).求方程的根；4).判断在根两侧的正负符号；5).作结论。4.利用导数可以确定函数的单调性和极值，但在解决实际问题或研究函数的性质时，我们常需要确定函数在某个区间上的最大值和最小值.因此，如何利用导数求函数的最值，就成为一个新的学习课题.二、新知探究探究（一）：函数最值的有关概念思考1：在什么条件下，f(x0)是函数f(x)在区间D上的最大（小）值？定义：若对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)成立，则f(x0)是区间D上的最大值；若对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)成立，则f(x0)是区间D上的最小值.思考2：函数的最大值和最小值的几何意义是什么？最大值：函数图象最高点的纵坐标；最小值：函数图象最低点的纵坐标；思考3：函数的最值就存在性而言有哪几种可能情形？有最小值无最大值；有最大值无最小值；既有最小值又有最大值；没有最值.思考4：函数y＝f(x)图象的最高点和最低点，分别叫做函数f(x)的最大值点和最小值点，如果函数f(x)存在最大值，那么其最大值是否惟一？最大值点是否惟一？最大值惟一，最大值点不惟一.探究（二）：函数最值的求解原理思考1：如果函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，那么f(x)是否存在最值？若存在，其最大值和最小值如何确定？若f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)为最小值，f(b)为最大值；若f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)为最大值，f(b)为最小值.思考2：下图中，函数f(x)在区间[a，b]上是否存在最值？若存在，其最大值和最小值分别是什么？最小值为f(a)，最大值为f(x3).思考3：一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数f(x)在区间[a，b]上是否存在最值？最值原理1：1)连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值:单调函数在端点处取最值；其他函数在端点或极值点处取最值。思考4：如果在开区间（a，b）上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数f(x)在区间（a，b）上是否存在最值？（不一定！）最值原理2：2)若函数开区间(a,b)内只有一个极值点，则必为最值点思考5：一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值？将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值.三、应用举例例1求下列函数的最大值与最小值.小结：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：1)求函数f(x)在开区间（a，b）上的极值；2)将函数f(x)的所有极值与区间端点的函数值进行比较，并得出结论.注意：求函数的最值，显然求极值是关键的一环.但若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得：1)求出导数为零的点；2)比较这些点与端点处函数值得大小，就可求出函数的最大（小）值.例2.1).函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在区间[-2,2]上有最大值3，求此函数的最小值；2).设，函数的最大值1，最小值，求常数a,b的值。四、总结提高1.函数的最值与极值没有必然的联系，一个函数可以有最值但无极值，也可以有极值但无最值.在一个区间内，函数的极大（小）值与最大（小）值可能相等，也可能不相等.2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值分两步进行：（1）求函数f(x)在开区间（a，b）上