人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：课时提升作业(十九) 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像

PAGE12-课时提升作业(十九)函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.为了得到函数y=cos2x的图像,只要将函数y=sin2x的图像()A.向左平移QUOTE个单位长度B.向右平移QUOTE个单位长度C.向左平移QUOTE个单位长度D.向右平移QUOTE个单位长度【解题提示】注意两个函数名称的差异,选择恰当的诱导公式.【解析】选A.因为y=cos2x=sinQUOTE=sin2QUOTE,所以只要将函数y=sin2x的图像向左平移QUOTE个单位即可.2.(2015·上饶模拟)已知函数y=AcosQUOTE(A>0)在一个周期内的图像如图所示,其中P,Q分别是这段图像的最高点和最低点,M,N是图像与x轴的交点,且∠PMQ=90°,则A的值为()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】选A.依题意QM=QN=QUOTEPQ可得△MNQ是等边三角形,又由于MN等于半个周期长,MN=QUOTE×QUOTE=2.所以A=QUOTE×2=QUOTE.【加固训练】已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图所示,△EFG是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.由函数是奇函数,且0<φ<π可得φ=QUOTE.由图像可得函数的最小正周期为4,ω=QUOTE.由△EFG的高为QUOTE,可得A=QUOTE.所以f(x)=QUOTEcosQUOTE,所以f(1)=QUOTEcosπ=-QUOTE.3.(2015·南昌模拟)若将函数y=2sinQUOTE的图像上各点的横坐标缩短为原来的QUOTE倍(纵坐标不变),再向右平移QUOTE个单位,则所得图像的一条对称轴的方程为()A.x=-QUOTE B.x=-QUOTEC.x=QUOTE D.x=QUOTE【解析】选A.函数y=2sinQUOTE的图像上各点的横坐标缩短为原来的QUOTE倍(纵坐标不变),得到函数y=2sinQUOTE,所得函数再向右平移QUOTE个单位,得到函数y=2sinQUOTE=2sinQUOTE,x=-QUOTE代入得y=-2,故x=-QUOTE是所得函数图像的一条对称轴的方程.4.函数f(x)=2x-tanx在QUOTE上的图像大致为()【解析】选C.函数f(x)=2x-tanx为奇函数,所以图像关于原点对称,排除A,B.当x→QUOTE时,y<0,所以排除D.5.(2015·延安模拟)定义运算QUOTE=ad-bc.将函数f(x)=QUOTE的图像向左平移φ(φ>0)个单位,所得图像关于y轴对称,则φ的最小值为()A.QUOTE B.QUOTEπ C.QUOTE D.QUOTEπ【解题提示】先根据定义运算化简f(x)的解析式,再根据平移后的图像关于y轴对称求φ的最小值.【解析】选D.由定义运算知f(x)=QUOTEcosx-sinx=2cosQUOTE,平移后所得图像对应的函数解析式为g(x)=2cosQUOTE.由题意得函数g(x)是偶函数,所以φ+QUOTE=kπ(k∈Z),即φ=kπ-QUOTE(k∈Z).因为φ>0.所以φ的最小值为π-QUOTE=QUOTEπ.故选D.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视φ的取值范围.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将函数f(x)=sin(2x+θ)QUOTE的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图像,若f(x),g(x)的图像都经过点PQUOTE,则φ的值为.【解析】因为函数f(x)的图像过点P,所以sinθ=QUOTE,又θ∈QUOTE,所以θ=QUOTE,所以f(x)=sinQUOTE.又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=sinQUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,因为0<φ<π,所以φ的值为QUOTE.答案:QUOTE7.(2015·景德镇模拟)设P为函数f(x)=sinQUOTEx的图像上的一个最高点,Q为函数g(x)=cosQUOTEx的图像上的一个最低点,则|PQ|的最小值是.【解题提示】结合函数图像利用其周期设点的坐标求值.【解析】两个函数的周期都为T=QUOTE=4,由正、余弦函数的图像知,函数f(x)与g(x)的图像相差QUOTE周期,设P,Q分别为函数f(x),g(x)图像上的相邻的最高点和最低点,设P(x0,1),则Q(x0+1,-1),则|PQ|min=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加固训练】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)QUOTE的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2QUOTE,则ω=.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为2QUOTE,而f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得QUOTE=QUOTE=2,所以T=4,所以ω=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是.【解析】如图,x=3,x=6是y=Asin(ωx+φ)的对称轴,所以周期T=2×(6-3)=6,f(x)max=f(3)=A,f(x)min=f(0)=-A,所以单调递增区间为[6k,6k+3],k∈Z.答案:[6k,6k+3],k∈Z三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=QUOTEsinQUOTE+1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相.(2)在如图所示坐标系中画出函数y=f(x)在QUOTE上的图像.【解析】(1)f(x)=QUOTEsinQUOTE+1的振幅为QUOTE,最小正周期T=QUOTE=π,初相为-QUOTE.(2)列表并描点画出图像:x-QUOTE-QUOTE-QUOTE2x-QUOTE-QUOTE-π-QUOTE0QUOTEπy211-QUOTE11+QUOTE2故函数y=f(x)在区间QUOTE上的图像是10.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b(A>0,ω>0)的图像.根据以上数据,(1)求函数的解析式.(2)求一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间.【解题提示】(1)根据表格数据求出函数解析式.(2)由y>1.25求解.【解析】(1)依题意得QUOTE解得A=0.5,b=1,ω=QUOTE,则y=0.5cosQUOTEt+1.(2)令y=0.5cosQUOTEt+1>1.25(t∈[0,24])得cosQUOTEt>QUOTE.又t∈[0,24],QUOTEt∈[0,4π],因此0≤QUOTEt<QUOTE或QUOTE<QUOTEt≤2π或2π≤QUOTEt<2π+QUOTE或2π+QUOTE<QUOTEt≤2π+2π,即0≤t<2或10<t≤12或12≤t<14或22<t≤24,在一日内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时.【误区警示】本题容易对t的求解不全面而导致错解.(20分钟40分)1.(5分)(2015·亳州模拟)函数y=sin2x的图像向右平移φ(φ>0)个单位,得到的图像恰好关于直线x=QUOTE对称,则φ的最小值为()A.QUOTE B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解题提示】先根据平移后图像的解析式,确定其所有的对称轴,把x=QUOTE代入求φ的最小值.【解析】选B.由题意,得图像平移后对应的解析式为y=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ),其对称轴为:2x-2φ=kπ+QUOTE(k∈Z).所以2·QUOTE-2φ=kπ+QUOTE.φ=-QUOTEπ-QUOTE(k∈Z).因为φ>0,所以φ的最小值为QUOTE-QUOTE=QUOTEπ.【加固训练】将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移QUOTE个单位.若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能等于()A.4 B.6 C.8 D.12【解题提示】先进行平移,再比较与原函数的差异,解三角方程求ω值.【解析】选B.把f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左平移QUOTE个单位得y=sinQUOTE=sinQUOTE,又该函数图像与原函数图像重合,所以sinQUOTE=sin(ωx+φ)恒成立,所以QUOTEω+φ=2kπ+φ(k∈Z),所以ω=4k(k∈Z),所以ω不可能为6.2.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的部分图像如图所示,则该函数的周期为()A.QUOTEπ B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.π【解题提示】先根据图像求A,φ,ω的值,由ω的值求周期.【解析】选A.由图像可知,A=2.f(0)=QUOTE,所以2sinφ=QUOTE,即sinφ=QUOTE,因为|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE,此时f(x)=2sinQUOTE.又fQUOTE=2,所以2sinQUOTE=2,即sinQUOTE=1.所以QUOTEω+QUOTE=QUOTE+2kπ(k∈Z),即ω=24k+3(k∈Z).由图知QUOTE>QUOTE,即T>QUOTE,故QUOTE>QUOTE.所以0<ω<6,所以ω=3,T=QUOTE.【加固训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图像如图所示,为了得到函数g(x)=-Acosωx的图像,可以将f(x)的图像()A.向左平移QUOTE个单位长度B.向右平移QUOTE个单位长度C.向左平移QUOTEπ个单位长度D.向右平移QUOTEπ个单位长度【解题提示】先根据图像求函数f(x)的解析式,再比较两个函数的解析式选择答案.【解析】选D.由图像可知A=1,QUOTET=QUOTEπ-QUOTE=QUOTE,所以T=π,ω=QUOTE=2.又fQUOTE=sinQUOTE=-1,因为|φ|<π,所以φ=QUOTEπ-QUOTEπ=QUOTE.故f(x)=sinQUOTE,g(x)=-cos2x,因为g(x)=-sinQUOTE=sinQUOTE=sin2QUOTE,f(x)=sin2QUOTE,所以要得到g(x)的图像,只需把f(x)的图像向右平移QUOTE+QUOTE=QUOTEπ个单位长度.3.(5分)将函数y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图像向左平移QUOTE个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则φ的值是.【解析】函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移QUOTE个单位后,得y=sinQUOTE,则QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k∈Z.又0≤φ<π,故φ=QUOTE.答案:QUOTE4.(12分)(2015·南昌模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<2π),满足fQUOTE=fQUOTE,且部分图像如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)若α∈(π,2π),且fQUOTE+fQUOTE=-1,求cosα的值.【解析】(1)依题设知:fQUOTE=f(x),所以f(x)的周期T=QUOTE,所以ω=3.故f(x)=sin(3x+φ)-cos(3x+φ)=QUOTEsinQUOTE,又点QUOTE在其图像上,所以sinφ=0,又0<φ<2π,所以φ=π,所以f(x)=-QUOTEsinQUOTE为所求.(2)依题设及(1)知:fQUOTE+fQUOTE=-QUOTEsinα-QUOTEsinQUOTE=-1.整理得:QUOTEsinα-QUOTEcosα=1,所以sinQUOTE=QUOTE,又依题设:α∈(π,2π),所以α-QUOTE=QUOTE即α=QUOTE+QUOTE,故cosα=cosQUOTE=-